数検4級—中2程度の範囲、連立方程式と一次関数｜武蔵野個別指導塾

中2の2学期に数検4級を受けるなら、1次50分30問と2次60分20問の形を先に知り、連立方程式と一次関数と確率の自作の例題3問で手順を確かめてください。

数検4級は、中学2年程度の数学で解く級です。先に結論を表に置きます。

主催は公益財団法人 日本数学検定協会で、正式な名前は実用数学技能検定です。検定日によって受けられる級と会場が違うので、申し込みの前に協会の案内で確かめてください。

よくあるのは、中学2年の2学期、連立方程式の小テストが返ってきた放課後に、点数だけを見て筆箱を閉じてしまうという場面です。10問中6問。間違えた4問を開くと、加減法で2つの式を引くときに符号を落としたものが3問、文章題で式を1本しか立てられなかったものが1問。小テストの範囲は、そのまま数検4級の中心です。4級を受けると決めた日から、この4問の直しが検定の準備の最初の1ページになります。

試験のかたちと範囲

数検4級は、図1のように1次と2次の2つの検定でできています。1次は計算技能検定で、50分で30問を解きます。2次は数理技能検定で、60分で20問を解きます。初めて受ける人は同じ日に両方を受け、1次は全問題の70%程度、2次は全問題の60%程度が合格の基準です。両方に合格して4級の合格です。片方だけ合格したときは、次に受けるときに合格した側の免除を申請して、残った側だけを受ける仕組みがあります。免除の申請のしかたは協会の案内で確かめ、結果の通知は次の申し込みまで手元に残しておいてください。

1次と2次の違いは、問題の数と時間だけではありません。1次は計算の手が速くて正確かを見る検定です。文字式の四則混合計算、等式の変形、連立方程式、一次関数の式を求める問題などが、短い問いの形で並びます。30問を50分で解くので、1問あたり1分40秒です。見直しの時間を残すには、1問1分で解く速さが要ります。2次は数理技能検定で、文章題と図形の問題が中心です。式を立てる場面の説明、合同の証明、確率の場合の数え上げ、簡単な統計の読み取りが出ます。20問を60分で解くので、1問あたり3分です。1次より時間はありますが、答えだけではなく途中の式や理由を書く問題があるので、書く速さも要ります。

出題の範囲は、協会の案内で「中学校2年程度」とされています。内容として挙げられているのは、文字式を用いた簡単な式の四則混合計算、文字式の利用と等式の変形、連立方程式、平行線の性質、三角形の合同条件、四角形の性質、一次関数、確率の基礎、簡単な統計などです。協会の案内には、目安の学年の内容が中心ですが、それより下の学年で学ぶ内容も含めて出題されることがあると書かれています。正負の数、文字式の基本、比例と反比例、平面図形と空間図形といった中学1年の内容も、4級の問題の中に顔を出します。中学2年の内容だけを仕上げて1年の内容を忘れていると、1次の前半で取れる問題を落とします。

図形の証明は、4級で一番とまどう人が多いところです。三角形の合同条件は3つあり、3組の辺がそれぞれ等しい、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、のどれかを選んで書きます。2次では、証明の全文を書く問題のほかに、証明の空欄を埋める問題や、どの合同条件を使うかを答える問題も出ます。全文を書けなくても、仮定と結論を分けて、どの辺と角が等しいかを図に印をつけて拾えれば、部分的に答えられます。確率は、さいころや硬貨や玉の取り出しで、すべての場合を表や樹形図で数え、求める場合の数で割る、という中学2年の範囲です。簡単な統計は、度数分布表やヒストグラムを読み、相対度数を求める問題が中心です。

合格までの進め方

4級の準備は、図2のように6週間を4つの段に分けると進めやすくなります。最初の2週間は計算の反復です。1次の30問のうち、文字式の計算、等式の変形、連立方程式が大きな部分を占めるので、ここを毎日10問、時間を測らずに正確さだけを見て解きます。理由は、速さは正確さの後からついてくるからです。符号を落とす癖がある人は、速く解こうとするほど落とします。最初の2週間は、1問ごとに途中の式を全部書き、解けたあとに元の式に代入して確かめる習慣をつけます。連立方程式なら、出た x と y を2本の式の両方に入れて、両方が成り立つかを見ます。

3週目と4週目は、単元の穴を戻って埋める期間です。2週間の計算の反復で、どの単元で手が止まるかがわかっています。たとえば、一次関数の式を求める問題で、傾きは出せるのに切片で止まるなら、1つの点の座標を式に代入するという手順が抜けています。その手順だけを、教科書の例題の数を変えて5問解きます。中学1年の比例や反比例、平面図形の作図や角度で止まるなら、1年の教科書に戻ります。戻るのは遠回りに見えますが、4級の1次には1年の内容も含まれるので、戻った分だけ点が増えます。

5週目は2次の文章題と証明です。2次は20問を60分で解き、全問題の60%程度が合格の基準です。つまり、全部を解けなくても合格できます。この週は、解ける問題と解けない問題を分ける練習をします。文章題は、問題文の数量に線を引き、わからない数量を x と y と置き、式を2本立てるところまでを型として身につけます。証明は、仮定と結論を書き出し、等しい辺と角に印をつけ、合同条件を1つ選ぶ、という3つの手順を毎回同じ順で踏みます。確率は、表か樹形図を必ず書いてから数えます。頭の中で数えると、硬貨2枚の表と裏の組み合わせを3通りと数えるような誤りが出ます。

6週目は時間を測ります。1次は50分、2次は60分で、本番と同じ時間で通して解きます。時計を机の上に置き、1次なら25問目で35分、2次なら10問目で30分を目安に進み方を確かめます。遅れていたら、止まっている問題を飛ばして先へ進みます。通して解いたあとは、間違えた問題を3つに分けます。知らなかった問題、知っていたのに時間が足りなかった問題、知っていたのに符号や計算で落とした問題です。3つ目が一番多い人は、6週目でも1日10問の計算の反復を続けます。

1日の量の例は、計算10問と文章題1問で30分です。朝に計算10問を15分、夜に文章題1問を15分と分けると、続けやすくなります。文章題は1日1問でも、6週間で40問を超えます。部活のある日は計算10問だけに減らし、休みの日に文章題を2問にして帳尻を合わせます。量を減らす日があっても、ゼロの日を作らないことが、6週間を通すこつです。

例題で確かめる

4級の中心になる3つの単元から、例題を1問ずつ置きます。手順を声に出しながら解いてください。

例題1は連立方程式です。次の連立方程式を解きます。

3x + 2y = 12 x − y = -1

加減法で解きます。y の係数をそろえるために、2本目の式の両辺を2倍します。2x − 2y = -2 です。これを1本目の式にたすと、y が消えて 5x = 10 となり、x = 2 です。x = 2 を2本目の式に代入すると、2 − y = -1 なので、y = 3 です。答えは x = 2、y = 3 です。確かめとして1本目の式に入れると、3 × 2 + 2 × 3 = 6 + 6 = 12 で成り立ちます。代入法で解くこともできます。2本目の式から x = y − 1 として1本目に代入すると、3(y − 1) + 2y = 12 となり、5y − 3 = 12 から y = 3、x = 2 です。どちらの方法でも同じ答えになることを、一度は自分の手で確かめておくと、本番でどちらを選んでも迷いません。

例題2は一次関数です。2点 (1, -1) と (3, 3) を通る直線の式を求め、x = 5 のときの y の値を答えます。

一次関数の式は y = ax + b の形です。a は変化の割合で、y の増加量を x の増加量で割って求めます。x が1から3まで2増えるとき、y は -1 から3まで4増えるので、a = 4 ÷ 2 = 2 です。次に b を求めます。y = 2x + b に、通る点の1つ (1, -1) を代入すると、-1 = 2 × 1 + b なので、b = -3 です。式は y = 2x − 3 です。もう1つの点 (3, 3) を入れて確かめると、2 × 3 − 3 = 3 で成り立ちます。x = 5 のときは、y = 2 × 5 − 3 = 7 です。答えは、式が y = 2x − 3、x = 5 のとき y = 7 です。

例題3は確率です。大小2つのさいころを同時に投げるとき、出た目の和が7になる確率と、和が9以上になる確率を求めます。

すべての場合の数は、大のさいころが6通り、小のさいころが6通りで、6 × 6 = 36 通りです。どの目も同じように出ると考えます。和が7になるのは、(1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)、(6, 1) の6通りなので、確率は 6/36 = 1/6 です。和が9以上になるのは、和が9のとき (3, 6)、(4, 5)、(5, 4)、(6, 3) の4通り、和が10のとき (4, 6)、(5, 5)、(6, 4) の3通り、和が11のとき (5, 6)、(6, 5) の2通り、和が12のとき (6, 6) の1通りで、合わせて10通りです。確率は 10/36 = 5/18 です。答えは、和が7になる確率が 1/6、和が9以上になる確率が 5/18 です。表を書いて数えると、(3, 6) と (6, 3) を別の場合として数えることを忘れません。

まちがえやすいところ

4級で落とす問題の多くは、知らない問題ではなく、知っている問題の途中の1か所です。よくある誤りを3つ挙げます。

1つ目は、連立方程式の加減法で、式どうしを引くときの符号です。たとえば 5x + 3y = 19 から 5x − 2y = 4 を引くとき、3y − (-2y) = 5y となるところを、3y − 2y = y としてしまう誤りです。引き算は、引く式の全部の項の符号を変えてたす、と決めておくと落としません。2本目の式を -5x + 2y = -4 と書き直してからたせば、5y = 15 で y = 3 と出ます。加減法で引く場面では、必ず引く式の符号を全部変えて書き直してから計算してください。

2つ目は、一次関数の傾きと切片の読み取りです。図3は例題2で求めた y = 2x − 3 のグラフです。図3のように、切片の -3 は直線が y 軸と交わる点の y 座標で、傾きの2は右へ1進むと上へ2上がる割合です。グラフから式を読むとき、直線が x 軸と交わる点を切片と読んでしまう誤りと、右へ1進んだときの上がり方ではなく点の y 座標そのものを傾きと読んでしまう誤りがあります。図3の直線は (1, -1) を通りますが、傾きは -1 ではなく2です。傾きを読むときは、格子の交点を2つ選び、右へいくつ、上へいくつ、と数えてから割ります。

3つ目は、確率で同じように起こる場合の数え方です。硬貨を2枚投げて、表が1枚と裏が1枚になる確率を、表表、表裏、裏裏の3通りのうちの1通りと考えて 1/3 とする誤りです。2枚の硬貨を区別すると、(表, 表)、(表, 裏)、(裏, 表)、(裏, 裏) の4通りで、表が1枚と裏が1枚になるのは2通りなので、確率は 2/4 = 1/2 です。さいころでも玉の取り出しでも、同じ種類のものを区別して数えるのが確率の約束です。表か樹形図を書けば、区別を忘れません。

図形の証明では、合同条件の名前を正しく書けないという誤りも多く見ます。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、を、2組の辺と1組の角、と書くと、間の角でなくてもよいことになり、条件として成り立ちません。3つの合同条件は、文言ごと声に出して覚えてください。

確かめの問題

例題とは別の数で、3問を解いてください。答えは下の解説で確かめます。

問1。次の連立方程式を解きなさい。

2x + 3y = 7 4x − y = 7

問2。変化の割合が -3 で、x = 2 のとき y = 1 である一次関数の式を求めなさい。また、y = -5 になるときの x の値を求めなさい。

問3。赤玉3個と白玉2個が入った袋から、同時に2個の玉を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めなさい。また、少なくとも1個が白玉である確率を求めなさい。

答えと解説

問1は代入法が速い問題です。2本目の式を y について解くと y = 4x − 7 です。これを1本目の式に代入すると、2x + 3(4x − 7) = 7 となり、2x + 12x − 21 = 7 から 14x = 28、x = 2 です。y = 4 × 2 − 7 = 1 です。答えは x = 2、y = 1 です。確かめとして1本目の式に入れると、2 × 2 + 3 × 1 = 7 で成り立ちます。加減法なら、2本目の式を3倍した 12x − 3y = 21 を1本目にたして、14x = 28 とする道もあります。

問2は、変化の割合がそのまま a になります。y = -3x + b に x = 2、y = 1 を代入すると、1 = -3 × 2 + b なので、b = 7 です。式は y = -3x + 7 です。y = -5 のときは、-5 = -3x + 7 から 3x = 12、x = 4 です。答えは、式が y = -3x + 7、y = -5 のとき x = 4 です。傾きが負の数のときは、右へ1進むと下へ3下がる直線です。

問3は、赤玉3個と白玉2個を全部区別して数えます。5個から同時に2個を取り出す組み合わせは、1個目が5通り、2個目が4通りで 5 × 4 = 20 通りですが、同時に取り出すので順番の違いは同じ場合と考え、20 ÷ 2 = 10 通りです。2個とも赤玉になるのは、赤玉3個から2個を選ぶ場合で、3 × 2 ÷ 2 = 3 通りです。確率は 3/10 です。少なくとも1個が白玉になるのは、2個とも赤玉になる場合の残りなので、10 − 3 = 7 通りで、確率は 7/10 です。少なくとも、という言葉が出たら、反対の場合を全体から引く、と覚えておいてください。

次に受ける級と入試での扱い

4級に合格したら、次は中学3年程度の3級です。3級の範囲は、平方根、2次方程式、関数 y = ax²、相似、三平方の定理など、高校入試の数学と大きく重なります。4級の連立方程式と一次関数は、3級でも入試でも道具として使い続けるので、4級の準備で身につけた符号の確かめと、式を2本立てる型は、そのまま次の級へ持ち越せます。数検の級が高校入試でどう扱われるかは、学校や都道府県によって違います。願書に書けるかどうか、出願の条件に関わるかどうかは、受ける学校の募集要項で確かめてください。個別指導では、4級の準備を始める前に、中学1年の正負の数と文字式の計算まで戻って、符号の扱いが安定しているかを確かめます。

まとめ

4級は、1次50分30問と2次60分20問の2つの検定で、中学2年程度の連立方程式、一次関数、合同条件、確率が中心です。6週間を、計算の反復、単元の穴を戻る、2次の文章題、時間を測る、の4つの段に分け、毎日30分を続けます。2学期の小テストで落とした連立方程式の符号の1か所を、声に出して確かめながら解けるようになった日が、4級の準備が形になった日です。