高校数学III 不定積分と積分定数—原始関数の族を初期条件と微分から確かめる｜武蔵野個別指導塾

初期条件の代入と区間が分かれる場合の比較を通して、微分から積分定数を追います。

よくあるのは、導関数と曲線上の1点が与えられているのに、積分した式から積分定数を消してしまう場面です。微分すると定数は見えなくなるため、元の式を探すときにはその分を戻さなければなりません。さらに、元の関数が定義される範囲が途中で切れる場合には、左右の定数が同じとは限りません。式の形を覚えるだけでなく、微分と代入の両方から答えを確かめます。

積分の基本性質と計算法を考察することは、数学IIIの学習範囲に含まれます。ここでは原始関数と定数の役割に焦点を当て、面積や体積には進みません。

答えの形を決める3つの場面

最初の型は、導関数から原始関数全体を求める問題です。例えば多項式の各項を微分の逆向きにたどり、最後に任意定数を付けます。定数を付けない式は、求める族の中の1つを示すにとどまります。問題が「1つ求めよ」なのか「すべて求めよ」なのかで答えの範囲が変わります。

次の型は、導関数に加えて1点の値が与えられる問題です。まず定数を含む族を作り、次に点の座標を代入して定数を決めます。点を先に使おうとして定数を省くと、その点を通らない式を答えにする危険があります。最後は導関数と点の両方に戻して照合します。

もう1つは、定義域が離れた区間に分かれる問題です。微分が0の関数は区間上で一定ですが、切れ目を隔てた値まで等しいとは結論できません。どの区間に条件の点があるかを確認すると、決まる定数と残る定数が区別できます。

原始関数はなぜ一族になるのか

区間I上で微分可能な関数Fが、Iの各点でF′(x)=f(x)を満たすとき、FをI上のfの原始関数といいます。原始関数Fが1つあるなら、任意の定数CについてF(x)+Cの導関数もf(x)です。定数の微分が0だからです。これらをまとめて、I上で∫ f(x) dx = F(x)+Cと表し、不定積分と呼びます。

逆に、I上の別の原始関数をGとすると、差H=G-FはI上で微分可能で、H′(x)=0です。I内の異なる2点を取ると、その間で平均値の定理を適用でき、Hの2点での値は等しくなります。したがってHはI上で一定です。この議論により、F+Cは例を並べたものではなく、I上の原始関数全体を表します。区間であることが、2点の間をつなぐために必要です。

図1のように、微分は定数を消し、原始関数を探す向きでは定数の違いが生まれます。1点の値は、その族から該当する関数を選ぶ条件です。

図1ではF+Cからfへの矢印が微分を表します。逆向きには1つの関数ではなく、Cを動かした族が対応します。なお原始関数の存在は前提です。以下の例では候補を実際に微分して存在を確かめます。

初期条件F(a)=bは、族の中の曲線が点(a, b)を通るという意味です。F(x)+Cにx=aを代入するとF(a)+C=bとなり、C=b-F(a)と決まります。点が区間に含まれていることを先に確かめれば、この代入が意味を持ちます。区間の外の値を条件として使うことはできません。

また、微分して同じ式になる2つの候補を見つけたとき、見かけが違っても差が定数なら同じ族を表します。例えばF(x)+CとF(x)+2+Dは、Dが任意ならC=2+Dと置き換えられます。一方、差にxが残り、その導関数が0でなければ同じ族とはいえません。計算結果の見比べには、この差の確認が役立ちます。

基本例題：1点を通る関数を選ぶ

関数Fは実数全体で微分可能で、F′(x)=6x-4、F(2)=5を満たします。F(x)を求め、整数または分数の係数で表してください。

まず6xの原始関数として3x²、-4の原始関数として-4xを選びます。微分するとそれぞれ6x、-4に戻るためです。実数全体は1つの区間なので、原始関数全体は次の形です。

F(x)=3x²-4x+C
F(2)=3・2²-4・2+C
5=4+C
C=1
F(x)=3x²-4x+1

2行目は指定された点のx座標を代入し、3行目ではその値を5と置きました。4行目で定数を決めてから、最後に族の式へ戻しています。Cを求めた時点で終えると、問われた関数自体が答えに残りません。

図2のようにCの異なる曲線は上下に移った関係です。点(2, 5)を通る条件でC=1が選ばれます。横軸と縦軸の位置を比較し、同じxでの縦の差が定数であることも見てください。

図2の点を式に戻すと、3・2²-4・2+1=5です。また答えの導関数は6x-4です。微分の条件と点の条件の両方を満たすので、求めた関数は条件に合います。原始関数全体から定数が一意に定まったため、他の答えはありません。

標準例題：2つの条件から係数も決める

実数全体でF′(x)=4x+a、F(0)=3、F(2)=15を満たす関数Fと定数aを求めてください。答えは整数または分数で表します。

aはxに関して定数ですから、その原始関数はaxです。4xの原始関数は2x²です。したがって実数全体で次のように置けます。

F(x)=2x²+ax+C
F(0)=C
C=3
F(2)=8+2a+3
15=11+2a
2a=4
a=2
F(x)=2x²+2x+3

原点での値からCが決まり、もう一方の点からaが決まります。2つの条件を同時に使う場合も、初めに定数を含む関数を書くことは変わりません。aを定数Cと混同すると、xを含む項まで落としてしまいます。

検算ではF′(x)=4x+2であり、求めたaを元の導関数の式に入れた結果に一致します。またF(0)=3、F(2)=8+4+3=15です。2つの点と導関数のいずれか1つだけを調べても、残りの条件を満たす保証はありません。

発展例題：切れた定義域では何が残るか

Dをx<0またはx>0からなる集合とします。D上で微分可能な関数FがF′(x)=2xを満たし、F(1)=4です。D上のFをすべて求め、任意定数を含めて区間ごとに表してください。

x²の導関数は2xです。まず負の区間と正の区間を別々に見ると、それぞれが区間なので、原始関数の差は各区間で一定です。しかし0はDに含まれず、負の点と正の点を結ぶ区間全体で差を微分することはできません。そこで2つの定数を別に置きます。

x<0 では F(x)=x²+A
x>0 では F(x)=x²+B
F(1)=1+B=4
B=3

よって、x<0ではF(x)=x²+A、x>0ではF(x)=x²+3です。Aは任意の実数です。条件の点1は正の区間にあるため、負の区間のAを決める情報にはなりません。

実際に各区間で微分すると、Aの値にかかわらず導関数は2xです。正の区間ではF(1)=1+3=4も成立します。例えばA=0とA=5は異なる関数を与えますが、どちらも元の条件を満たします。定数を1つにまとめると、許される関数を取り落とします。

もし別にF(-1)=7が加わるなら、負の区間で1+A=7となりA=6です。一方、0を定義域に加えて実数全体で微分可能と仮定する別の問題なら、実数全体が1つの区間となり、定数の比較の仕方が変わります。与えられていない0での連続性を勝手に追加しないことが大切です。

定数を消した答案を直す

基本例題でF(x)=3x²-4xと書き、そのまま答えにしたとします。微分すると6x-4なので、導関数の確認は通ります。しかしF(2)=4で、指定された5にはなりません。微分だけの検算では、定数が抜けた失敗を見つけられないのです。

図3のように、導関数へ戻す検査と、点へ戻す検査は異なる役割を持ちます。前者が通って後者が通らないときは、積分定数を含む族に戻り、点を代入して修正します。

図3の修正では、3x²-4x+Cにx=2と値5を代入してC=1を得ます。反対に点を通っていても、導関数が違えば別の誤りがあります。例えば式にxの項を誤って足すと、定数の調整で点を通せても傾きの条件は直りません。両方を独立に調べる習慣が必要です。

練習：条件を式に戻す

次の5問はそれぞれ独立です。関数は指定された範囲で微分可能とします。答えは整数または分数の係数で表し、任意定数が残る場合はそれを明記してください。

1. 実数全体でF′(x)=8x+3を満たす原始関数をすべて求めてください。
2. 実数全体でG′(x)=3x²-2、G(1)=4を満たすG(x)を求めてください。
3. 実数全体でH′(x)=2x+b、H(0)=-1、H(3)=14を満たすHと定数bを求めてください。
4. x<0またはx>0でJ′(x)=4x³、J(-1)=6を満たすJをすべて求めてください。
5. 実数全体でK′(x)=6x²-4x、K(-1)=2を満たすKを求めてください。

練習の解答と確かめ

1. 原始関数全体

8xの原始関数は4x²、3の原始関数は3xです。実数全体は区間なので、そこに任意定数Cを加えます。

F(x)=4x²+3x+C
F′(x)=8x+3

微分して元の式に戻ります。初期条件がないためCの値を決めることはできず、任意の実数として残します。差の導関数が0という議論から、他の形の原始関数もこの式に含まれます。

2. 1点の値を代入する

x³の導関数は3x²、-2xの導関数は-2です。まず定数Cを含めます。

G(x)=x³-2x+C
G(1)=1-2+C
4=-1+C
C=5
G(x)=x³-2x+5

導関数は3x²-2で、元の条件に一致します。点に戻してもG(1)=1-2+5=4です。定数を求める途中の符号と、求めた後の関数への戻しを別々に確認できます。

3. 未知の係数と定数を分ける

2x+bの原始関数はx²+bx+Cです。0での値はCを直接決めます。

H(x)=x²+bx+C
H(0)=C=-1
H(3)=9+3b-1
14=8+3b
3b=6
b=2
H(x)=x²+2x-1

H′(x)=2x+2なのでb=2を元の導関数に代入した式と一致します。さらにH(0)=-1、H(3)=9+6-1=14です。どちらの点も元の条件に戻っています。

4. 負と正の区間を分ける

x⁴の導関数は4x³です。2つの区間の定数を別に置き、条件の点がある側から決めます。

x<0 では J(x)=x⁴+A
x>0 では J(x)=x⁴+B
J(-1)=1+A=6
A=5

答えはx<0でJ(x)=x⁴+5、x>0でJ(x)=x⁴+Bです。Bは任意の実数です。各区間で微分すると4x³になり、負の区間でJ(-1)=1+5=6です。正の区間には値を指定する条件がないので、Bを5に固定する根拠はありません。

5. 負の点で代入する

6x²の原始関数は2x³、-4xの原始関数は-2x²です。負の数を代入するとき、2乗と3乗の符号を分けて計算します。

K(x)=2x³-2x²+C
K(-1)=-2-2+C
2=-4+C
C=6
K(x)=2x³-2x²+6

K′(x)=6x²-4xで、K(-1)=-2-2+6=2です。導関数と指定点の両方へ戻すと、計算した定数が条件に合うことを確かめられます。

手元に残す要点

原始関数の差は、同じ区間上では定数です。
初期条件は定数を含む式へ代入します。
離れた区間の定数は、条件で結ばれない限り別に置きます。
答えは微分と条件への代入の両方で確かめます。

どこで止まったかを見分ける

微分は合うのに指定点で値がずれる場合は、積分定数の省略や代入の符号を点検します。点は合うのに導関数が違う場合は、定数を調整する前の原始関数候補を微分し直します。区間が分かれる問題で定数を1つにした場合は、差の導関数が0という事実をどの区間で使ったかを言葉にすると、推論の飛躍が見えます。

個別指導では、答案の最初の族、条件の代入行、最後の微分を順に見て、どの条件がどの定数を決めたかを本人に説明してもらいます。原始関数の族と条件の対応が見えれば、残る自由度も判断できます。