高校数学C 空間ベクトルのなす角—向きをそろえて余弦と角の範囲を確かめる｜武蔵野個別指導塾

辺の始点をそろえ、余弦の符号や零ベクトルの除外を通して考えるのが空間ベクトルのなす角です。

三角形の頂点で開く角を求めるとき、辺の両端の座標は合っているのに、余弦の符号が逆になることがあります。よくあるのは、理系の高3が逆向きの辺をそのまま代入する場面です。頂点に向かう矢印と頂点から出る矢印を混ぜると、求めたい角とその補角が入れ替わります。まず角の頂点を書き、そこから出る2つの方向を選びましょう。

平面上の矢印で学んだ角度の考え方は、数学Cで座標を使って空間のベクトルを扱う際にも役立ちます。ここでは空間の2つの非零ベクトルのなす角を扱い、直線や平面のなす角の約束には踏み込みません。座標から角を求める場合も、長さと内積から角を求める場合も、最後に向きと角の範囲を点検します。

どの方向の角を求めるか

問いの形は大きく3つあります。成分が与えられた2つのベクトルについて余弦を計算する形、三角形の3頂点から指定された頂点の角を求める形、文字を含むベクトルが所定の角をなす条件を求める形です。いずれも内積を使いますが、計算に入る前の確認は同じです。

2本がともに零ベクトルでないことを確かめ、角の頂点と矢印の向きを決めます。続いて内積とそれぞれの長さを求め、その比を余弦として読みます。角そのものを求める問題なら、0以上π以下という範囲に戻して答えます。文字を含む問題では、途中の二乗によって符号の条件が失われることがあります。候補を元の余弦に戻すところまでが解答です。

矢印の始点と余弦の符号

a、bをともに零ベクトルでないベクトルとします。2つの始点を平行移動でそろえたときの角をθとし、0 ≦ θ ≦ πと定めます。この範囲では同じ余弦を持つ角は1つです。内積の定義から、次の式が成り立ちます。

a・b = |a||b| cos θ
cos θ = (a・b)/(|a||b|)

長さがともに正なので、分母は0になりません。どちらかが零ベクトルなら向きが定まらず、この式で角を決めることはできません。例えば成分に文字があれば、代入する前に全成分が同時に0になる値を調べます。分母の式を立てた後で0を除くのではなく、角が定義される条件として先に書きます。

図1のように、始点をそろえた2本が開く角を見ます。aを逆向きにした -a とbのなす角は、もとの角と合わせてπです。実際に内積の符号が反転し、長さは変わらないため、余弦も符号が逆になります。図の開き方は向きの関係を表し、投影された角度を実際の角度として測るものではありません。

図1ではaとbの角をθ、逆向きの -a とbの角をπ − θとしました。内積が正ならθは鋭角、0なら直角、負なら鈍角です。平行で同じ向きなら0、逆向きならπも含みます。符号は角の種類を点検する材料ですが、符号だけで角の大きさまでは決まりません。

成分が a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃) なら、内積は a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃、長さの二乗はそれぞれ成分の二乗の和です。内積は数であり、3成分の組ではありません。座標軸が直交することを使って各成分を掛け合わせ、最後に足します。

角ABCなら頂点は真ん中のBです。必要なのはベクトル BA とベクトル BCであって、ベクトル AB とベクトル BCではありません。後者を使うと片方だけが逆向きです。両方を逆にした場合は内積も長さも変わらず、同じ角になりますが、図形の角を読むときは頂点から出す方法が確実です。

基本例題：頂点から辺を取り直す

点 A(2, 0, 0)、B(0, 0, 0)、C(1, 1, 0) について、角ABCをラジアンで求めてください。

Bから出る2本を選びます。AとCはともにBと異なるので、使う2つのベクトルは非零です。図2のように頂点Bからそれぞれに矢印を引き、成分と長さを確認します。

図2の2方向について、終点の座標から始点の座標を引きます。

ベクトル BA = (2, 0, 0)
ベクトル BC = (1, 1, 0)
ベクトル BA・ベクトル BC = 2・1 + 0・1 + 0・0
                              = 2
|ベクトル BA| = √(2² + 0² + 0²) = 2
|ベクトル BC| = √(1² + 1² + 0²) = √2
cos ∠ABC = 2/(2√2)
          = 1/√2

0以上π以下で余弦が 1/√2 となる角は π/4 です。したがって角ABCは π/4 です。内積が正なので鋭角という見通しとも一致します。逆に角を戻すと 2・√2・cos(π/4) = 2 となり、座標から求めた内積に戻ります。

この例では2点の第3成分が0ですが、成分を3つ扱う手順は空間内のほかの三角形でも同じです。見取り図の紙面上の長さを測る必要はありません。指定された頂点からの差を作れば、奥行きの成分も同じ式に入ります。

標準例題：空間の三点から角へ戻す

点 P(1, 2, -1)、Q(2, 0, 1)、R(0, 3, -3) について、角PQRをラジアンで求めてください。

頂点はQです。PとRはそれぞれQと異なるので、ベクトル QP とベクトル QRは非零です。座標の差から次のように計算します。

ベクトル QP = (1 - 2, 2 - 0, -1 - 1)
             = (-1, 2, -2)
ベクトル QR = (0 - 2, 3 - 0, -3 - 1)
             = (-2, 3, -4)
ベクトル QP・ベクトル QR = 2 + 6 + 8
                              = 16
|ベクトル QP| = √(1 + 4 + 4) = 3
|ベクトル QR| = √(4 + 9 + 16) = √29
cos ∠PQR = 16/(3√29)

ここでは余弦が正ですが、特別な角として簡単に表す必要はありません。角の範囲を明示すると、答えは「0 ≦ θ ≦ π で cos θ = 16/(3√29) を満たす θ」です。比の二乗は 256/261 で1より小さく、余弦として可能です。元の2方向に戻すと長さの積 3√29 と余弦の積は16で、成分の内積と一致します。

求めた余弦が負なら、同じ範囲の鈍角を選びます。分子だけに注目して負の角度を選ぶことはできません。また、1より大きい数や -1より小さい数が出た場合は角が存在しないのではなく、まず内積・長さ・約分の計算を見直します。実在する非零の2方向なら余弦は必ず -1以上1以下です。

発展例題：二乗で増えた候補を戻す

実数tに対し、a = (t, 1, 0)、b = (1, 0, 1) とします。aとbのなす角が π/3 となるtを求めてください。

aの第2成分は1、bの第1成分は1なので、どの実数tでも両方とも非零です。長さが0になる場合を別に除く必要はありません。求める角の余弦は正の 1/2 ですから、内積 t も正でなければなりません。

a・b = t
|a| = √(t² + 1)
|b| = √2
cos θ = t/√(2(t² + 1))
t/√(2(t² + 1)) = 1/2
t > 0
4t² = 2(t² + 1)
2t² = 2
t² = 1
t = 1

二乗した式だけからは t = -1 も得られます。しかし t = -1 では余弦が -1/2 となり、角は 2π/3 です。正の余弦という元の条件に合いません。t = 1 を戻すと、a = (1, 1, 0)、b = (1, 0, 1) はそれぞれ長さ √2、内積1なので、余弦は確かに 1/2 です。

二乗は根号を消すための道具ですが、正負を区別しない操作です。二乗前に符号を記録し、候補を元の式と非零条件に戻すと、余分な解を防げます。もし文字によってベクトル自体が0になり得る設定なら、その値は角を持たないため、式を解く前に除きます。

誤答を向きから修正する

基本例題で、ベクトル AB = (-2, 0, 0) とベクトル BC = (1, 1, 0) を用い、余弦を -1/√2、角ABCを 3π/4 と答えたとします。計算自体はこの2ベクトルのなす角として正しいものの、角ABCの答えとしては誤りです。

図3のようにABはBへ入る向き、BCはBから出る向きです。平行移動で始点をそろえれば、この2ベクトルの角は角ABCの補角になります。図3の向きに注意してABを反転し、BAを使えば余弦は正になり、角ABCは π/4 と修正できます。

原因は座標の引き算より前にあります。角の頂点を丸で囲み、矢印の始点が2本ともその頂点かを確かめてから差を取ります。両方の矢印を同時に反転したときと、片方だけ反転したときの違いも説明できると、符号の暗記に頼らずに済みます。

もう1つの失敗は、長さが0のベクトルを内積0という理由で直角とすることです。内積0は非零の2方向について直角を示しますが、零ベクトルには方向がありません。分母を計算して0になった場合は、無理に約分せず、角そのものが定義されないと答えます。文字を含む場合には、どの値でそれが起きるかまで示しましょう。

練習：向きと条件を自分で選ぶ

次の5問は互いに独立です。角はすべてラジアンで表し、特別な角で表せない場合は、0以上π以下の角θを余弦で指定してください。

1. a = (1, 2, 2)、b = (2, -1, 0) のなす角を求めてください。
2. A(1, 1, 1)、B(2, 1, 1)、C(3, 2, 1) とします。角ABCを求めてください。
3. u = (2, 1, 2)、v = (1, 2, 0) のなす角を求めてください。
4. 実数sについて、a = (s, 0, 0)、b = (1, 1, 0) のなす角が定義されるsの範囲と、その角を場合分けして求めてください。
5. 実数kについて、a = (k, 1, 1)、b = (1, 1, 1) のなす角が π/2 となるkを求めてください。

練習の解答と確かめ

1. 直角になる成分

両ベクトルは非零です。内積と長さを順に調べます。

a・b = 1・2 + 2・(-1) + 2・0 = 0
|a| = √(1 + 4 + 4) = 3
|b| = √(4 + 1 + 0) = √5
cos θ = 0/(3√5) = 0
θ = π/2

答えを戻すと、長さの積と cos(π/2) の積は0で、成分の内積と一致します。内積が0でも長さが正かどうかを先に調べた点が必要です。

2. 頂点から出る向き

AとCはBと異なるため、次の2本は非零です。

ベクトル BA = (-1, 0, 0)
ベクトル BC = (1, 1, 0)
ベクトル BA・ベクトル BC = -1
|ベクトル BA| = 1
|ベクトル BC| = √2
cos ∠ABC = -1/√2
∠ABC = 3π/4

BAとBCの内積が負ですから鈍角となり、答えの範囲と合います。1・√2・cos(3π/4) = -1 と戻して内積を確かめられます。ABを使えば余弦の符号が逆になるので、角の頂点を再確認します。

3. 特別な角に限らない答え

u、vはいずれも非零です。成分の積の和と長さを計算します。

u・v = 2・1 + 1・2 + 2・0 = 4
|u| = √(4 + 1 + 4) = 3
|v| = √(1 + 4 + 0) = √5
cos θ = 4/(3√5)

答えは、0 ≦ θ ≦ π で cos θ = 4/(3√5) を満たすθです。比の二乗は16/45で1以下です。長さの積を掛け直すと4となり、元の成分の内積へ戻ります。

4. 零になる値と向きの反転

bは非零ですが、aはs = 0で零ベクトルです。したがって角が定義されるのは s ≠ 0 です。その条件で次のように求めます。

a・b = s
|a| = |s|
|b| = √2
cos θ = s/(|s|√2)

s > 0 なら余弦は 1/√2 なので θ = π/4、s < 0 なら余弦は -1/√2 なので θ = 3π/4 です。s = 0では分母が0であり、角はありません。それぞれの符号で余弦に長さの積を掛けるとsに戻り、与えられた成分の内積と合います。

5. 直角の条件と非零の確認

aの第2成分とbの各成分は1なので、両者はどのkでも非零です。直角である条件は内積が0であることです。

a・b = k + 1 + 1
k + 2 = 0
k = -2

k = -2 を戻すと a = (-2, 1, 1) で、bとの内積は -2 + 1 + 1 = 0 です。aの長さは √6、bの長さは √3 とともに正なので、確かになす角は π/2 です。零ベクトルを含まないことまで確認して答えが完成します。

手元に残す要点

• 角を作る2本が非零であることを先に確かめます。
• 図形の角は頂点から出る2本で表します。
• 余弦は内積を2つの長さの積で割って求めます。
• 角は0以上π以下で選び、二乗後の候補は元の条件に戻します。

どこでつまずいたかを見分ける

余弦の符号が予想と反対なら、まず頂点からの矢印を図に描き直します。成分の符号が合わない場合は、各成分を「終点 − 始点」と声に出して書き、3成分とも照合します。文字を含む場合は、分母が0となる値と、二乗前の符号を別々に欄へ残します。

個別指導で確かめるなら、求めたい角と計算に使った2本を同じ図に示し、片方を反転したときに余弦がどう変わるかを説明してみてください。答えの角から内積へ戻る式も書ければ、計算結果と図形の条件を同時に点検できます。始点と終点をそろえる一手が、空間の角の符号を決めます。