高校数学C 空間ベクトルの垂直条件—内積が零になる成分と長さを求める｜武蔵野個別指導塾

二つの内積を0と置いた連立式に長さの条件を加え、零ベクトルを除外して垂直な方向を絞り込みます。

よくあるのは、内積が0になったことを確かめて、零ベクトルにも90度の角を与えてしまう場面です。成分の計算は正しくても、向きが定まらないベクトルを答えに含めると、図形の条件を満たしたとはいえません。逆に、長さが正と指定されているなら、零ベクトルでないことはその条件から確かめられます。

数学Cでは、平面で扱った座標とベクトルを空間に広げて考えます。ここでは成分の内積を垂直の式へ変え、2本の条件を連立し、長さを使って候補を絞るところまで扱います。

垂直の問いを3つに分ける

1つ目は、2本のベクトルの一方に未知数があり、垂直になる値を決める問いです。3成分の積の和を0と置き、最後に両方が零ベクトルでないかを調べます。値を代入してから長さを求めると、垂直という判定の前提も同時に確認できます。

2つ目は、未知ベクトルが2本のベクトルの両方に垂直である問いです。それぞれについて内積を0と置けば、未知成分に関する2本の一次式になります。通常は1つの実数を残す形で候補が並び、長さの条件を追加して大きさと向きを決めます。

3つ目は、与えられた2本の関係が文字によって変わる問いです。2本が平行な場合は、見かけ上2つある式が同じ条件になることがあります。文字を含む係数で割る前に、その係数が0かどうかを分けると、候補の集まりを落とさずに済みます。

どの型でも、計算した内積と元の図形の意味を往復します。式を解くだけでは、長さ、非零条件、辺の向きが正しいかまでは保証されません。

0という数と向きのある2本

a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃) をベクトルとします。成分で計算する内積は、次の1つの数です。

a・b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

両方が零ベクトルでないとき、なす角をθとすると、a・b = |a||b|cosθ です。したがって、aとbが垂直なら内積は0です。逆に内積が0なら、正の数|a||b|で割ってcosθ = 0となり、0以上π以下の範囲でθ = π/2です。ここで非零の条件が必要なのは、零ベクトルの向きやなす角が定まらないためです。

図1の左は、共通の始点から出る2本の非零ベクトルを、それらの張る平面の中で描いています。直角の印は実際のなす角を表します。右の点は始点と終点が重なった零ベクトルであり、矢印の向きを描けません。

零ベクトルとどのベクトルとの内積も0です。しかし、そこから垂直と結論することはできません。条件を式へ移した後の候補には零ベクトルが混ざるので、「内積0」と「垂直」を同じ言葉として扱わないことが大切です。

逆に、|v| = L で L > 0 が与えられていれば、vは零ベクトルではありません。成分v = (x, y, z)の長さは √(x² + y² + z²) です。長さの条件を二乗して解くときも、Lが正であることを確認し、得た候補を元の長さへ戻します。

2本のベクトルa、bに同時に垂直なvは、v・a = 0とv・b = 0の両方を満たします。両式は常にv = (0, 0, 0)を解に持ちますが、垂直な方向を問われたときは除外します。未知成分に共通の実数tが残るなら、t = 0の扱いを明記します。

基本例題：1つの成分を決める

a = (1, 2, -1)、b = (2, t, 4) が垂直になる実数tを求め、そのときのa、bの長さを根号で表してください。

aは第1成分が1、bは第1成分が2なので、tの値にかかわらず両方とも非零です。よって垂直条件を内積0に置き換えられます。

a・b = 1・2 + 2・t + (-1)・4
     = 2t - 2
2t - 2 = 0
t = 1

b = (2, 1, 4) に戻すと、内積は2 + 2 − 4 = 0です。長さの二乗を各成分から求めます。

|a|² = 1² + 2² + (-1)² = 6
|b|² = 2² + 1² + 4² = 21
|a| = √6、|b| = √21

図2のように、2本を共通の始点から置いて、その張る平面内で垂直に描けます。矢印の長さの比は√6対√21です。成分の符号は図の上下左右を直接表すものではなく、内積の計算と合わせて読み取ります。

答えは t = 1、長さはそれぞれ√6、√21です。長さがともに正であることも、内積0から垂直と判定した条件に戻っています。

標準例題：2本の条件と長さを合わせる

p = (1, 1, 0)、q = (0, 1, 1) の両方に垂直で、長さが√12であるベクトルvを、成分で全て求めてください。

p、qはともに非零です。また、pの第1成分は1ですがqの第1成分は0なので、一方は他方の実数倍ではありません。求めるvも長さ√12が正なので非零です。v = (x, y, z) とすると、2つの内積はそれぞれ次の式です。

v・p = x + y = 0
v・q = y + z = 0
x = -y
z = -y

y = t と置けば、垂直の2条件を満たす候補はv = (-t, t, -t)です。この段階ではt = 0も含まれます。長さの条件を入れてから候補を選びます。

|v|² = (-t)² + t² + (-t)²
     = 3t²
3t² = (√12)²
t² = 4
t = 2 または t = -2

したがって、v = (-2, 2, -2) または v = (2, -2, 2)です。前者について、pとの内積は-2 + 2 = 0、qとの内積は2 − 2 = 0です。長さの二乗は4 + 4 + 4 = 12なので長さは√12です。後者は前者の-1倍なので、2つの内積も0、長さも√12になります。

2つの答えは互いに逆向きです。長さを二乗するときに正負の両方を調べなければ、片方が抜けます。一方、長さの指定がなければ、t ≠ 0を満たす任意のtによって、無数の垂直なベクトルが得られます。

発展例題：2本の条件が重なるとき

実数kに対し、a = (1, 2, 0)、b = (2, 4, k) とします。a、bの両方に垂直で長さが√5のベクトルvを、kの値で場合分けして成分で全て表してください。

aは非零です。bも第1成分が2なので、kがどの値でも非零です。求めるvも長さ√5が正なので、内積0を垂直の条件として使えます。v = (x, y, z) とすると、

v・a = x + 2y = 0
v・b = 2x + 4y + kz = 0

第2式から第1式の2倍を引き、次を得ます。

kz = 0

ここでkで割る前に、k ≠ 0とk = 0に分けます。この分岐は計算上の形式ではなく、2本の垂直条件が独立か重なるかを区別しています。

k ≠ 0のとき

kz = 0よりz = 0です。第1式からx = -2yなので、y = t と置くとv = (-2t, t, 0)です。長さを二乗すると、

|v|² = 4t² + t²
     = 5t²
5t² = 5
t² = 1
t = 1 または t = -1

答えはv = (-2, 1, 0) または v = (2, -1, 0)です。前者を元の2本に戻すと、aとの内積は-2 + 2 = 0、bとの内積は-4 + 4 + k・0 = 0です。長さの二乗は4 + 1 = 5です。後者についても符号が反転するだけなので、両内積が0で長さは√5です。

k = 0のとき

b = 2aとなり、2本の内積の条件は同じです。したがってzを0とする根拠はありません。y = t、z = u と置くとv = (-2t, t, u)で、長さの条件は次のようになります。

|v|² = 4t² + t² + u²
     = 5t² + u²
5t² + u² = 5

答えは、実数t、uが5t² + u² = 5を満たすときのv = (-2t, t, u)です。この式を満たす組は無数にあり、例えば(t, u) = (1, 0)や(0, √5)が使えます。いずれも長さが√5なので零ベクトルではありません。

逆向きの確認も必要です。この形のvはaとの内積が-2t + 2t = 0、b = 2aとの内積も0です。また5t² + u² = 5から長さは√5です。したがって、表した候補は全て条件を満たし、連立式から導いたので他の候補もありません。

k ≠ 0で得た2本はk = 0の答えにも含まれますが、k = 0ではそれ以外にも候補があります。kで無条件に割ると、この追加の候補が消えてしまいます。

誤答を直す：零ベクトルに直角を描かない

基本例題のa = (1, 2, -1)について、v = (0, 0, 0)ならa・v = 0です。ここで「内積が0だからaとvは垂直」と答えるのが誤りです。内積の計算自体は合っていますが、vには向きがなく、なす角を定義できません。

図3の左は零ベクトルを1点で示し、右は基本例題で得た非零のb = (2, 1, 4)をaと共通の始点から示しています。右では両方の長さが正で、内積も0なので直角を判定できます。左にはその判定の前提がありません。

修正するときは、まず内積を計算し、次にそれぞれの長さが正かを確認します。零ベクトルが候補なら、内積の式の解としては残りますが、「垂直なベクトル」の答えからは除きます。長さが正と指定された問題なら、その指定を根拠に非零であることを書けば十分です。

もう1つの誤りは、点A、B、Cで角BACを調べる際、ベクトル ABとベクトル CBを使うことです。角の頂点はAなので、Aから出るベクトル ABとベクトル ACを使います。直角かどうかは片方を逆向きにしても変わりませんが、CBは一般にACの逆向きではなく、別の辺です。始点と終点を座標で引き算してから内積を作ります。

練習：まず5問を自分で立式する

次の問題はすべて実数の範囲で考え、成分は整数または根号を含む形で答えてください。垂直という言葉を使うときは、対象のベクトルが非零であることも確かめます。

1. a = (2, -1, 3)、b = (1, s, -2) が垂直となる実数sと、そのときのbの長さを求めてください。
2. p = (1, 0, 2)、q = (0, 1, -1) の両方に垂直で、長さが√24のベクトルを全て求めてください。
3. a = (1, -1, 1)、v = (t, 2t, t) とします。aとvが垂直となる実数tの範囲を求めてください。
4. A = (1, -2, 1)、B = (3, 0, 2)、C = (2, -1, k) とします。角BACが直角になる実数kと、そのときの線分ACの長さを求めてください。
5. a = (1, 2, 2)、b = (2, -1, 2) の両方に垂直で、長さが√65のベクトルを全て求めてください。

練習の解答と戻し方

1. 未知数を決めて長さに戻す

a、bはそれぞれ第1成分が2、1なので非零です。垂直条件を成分で計算します。

a・b = 2・1 + (-1)・s + 3・(-2)
     = -s - 4
-s - 4 = 0
s = -4

b = (1, -4, -2)となり、長さの二乗は1 + 16 + 4 = 21です。答えはs = -4、|b| = √21です。元の内積に戻すと2 + 4 − 6 = 0で、a、bとも非零です。

2. 2本の式を一度に満たす

p、qは非零で、求めるベクトルも長さが正なので非零です。v = (x, y, z) と置くと、

v・p = x + 2z = 0
v・q = y - z = 0
x = -2z
y = z

z = tとすると、v = (-2t, t, t)です。長さを入れます。

|v|² = 4t² + t² + t²
     = 6t²
6t² = 24
t² = 4
t = 2 または t = -2

答えは(-4, 2, 2)、(4, -2, -2)です。前者はpとの内積が-4 + 4 = 0、qとの内積が2 − 2 = 0で、長さの二乗は16 + 4 + 4 = 24です。後者も逆向きなので両方の内積は0、長さは√24です。

3. 内積0の後に除く値

aは非零です。一方、vが非零である条件はt ≠ 0です。内積は次のように計算できます。

a・v = t - 2t + t
     = 0

tの値によらず内積は0ですが、t = 0ではvが零ベクトルです。したがって答えはt ≠ 0です。例えば任意の非零tに対してvの第1成分は0でなく、長さは√6|t|で正です。元の内積も0なので、残した値は確かに垂直を与えます。

4. 頂点から出る辺を使う

角BACの頂点はAです。B、Cの座標からAの座標を引いて、始点をそろえます。

ベクトル AB = (3 - 1, 0 - (-2), 2 - 1)
            = (2, 2, 1)
ベクトル AC = (2 - 1, -1 - (-2), k - 1)
            = (1, 1, k - 1)

両方とも第1成分が0でないので非零です。内積を0に置くと、

ベクトル AB・ベクトル AC = 2 + 2 + k - 1
                           = k + 3
k + 3 = 0
k = -3

このときC = (2, -1, -3)、ベクトル AC = (1, 1, -4)です。内積は2 + 2 − 4 = 0、長さの二乗は1 + 1 + 16 = 18です。答えはk = -3、AC = √18です。Cの座標へ戻しても、Aからの差が求めた成分と一致します。

5. 分数を避けずに消去する

a、bはいずれも非零で、求めるvも長さが正です。v = (x, y, z)と置いて、2つの内積をそれぞれ0にします。

x + 2y + 2z = 0
2x - y + 2z = 0
x = -2y - 2z
2(-2y - 2z) - y + 2z = 0
-5y - 2z = 0
y = -2z/5
x = -6z/5

z = 5tと置けば、全候補をv = (-6t, -2t, 5t)と表せます。5tと置いても実数zの範囲は変わりません。長さの条件から、

|v|² = 36t² + 4t² + 25t²
     = 65t²
65t² = 65
t² = 1
t = 1 または t = -1

答えは(-6, -2, 5)、(6, 2, -5)です。前者のaとの内積は-6 − 4 + 10 = 0、bとの内積は-12 + 2 + 10 = 0です。長さの二乗は36 + 4 + 25 = 65です。後者はその逆向きで、同じ垂直条件と長さを満たします。

持ち帰る4点

• 非零の2本について、垂直であることと内積が0であることは同値です。
• 同時に垂直なら、相手ごとに内積を0と置いて連立します。
• 文字を含む数で割る前に、その数が0のときを分けます。
• 長さと非零条件を使い、候補を元の内積と長さに戻します。

手が止まったときの確認

式が1本しかできないときは、「どの2本の組について垂直か」を問題文に線を引いて数えます。2本に対する条件なら、それぞれ別の内積を書きます。符号が合わないときは成分の対応を縦に並べ、辺のベクトルなら終点の座標から始点を引き直します。

連立後に自由な文字が2つ残ったら、相手の2本が平行になっていないかを調べます。文字の値によって平行になる場合は、その値を先に分けます。解が0になったときは、式の解としての0と、向きのあるベクトルとしての答えを区別します。

個別指導で確認するときは、自分が立てた内積の式、始点をそろえた図、零ベクトルを除く理由を順に言葉にしてみてください。どこで条件を使ったかが見えれば、答えを元の場面に戻して確かめられます。垂直条件は、内積と向きの両方を見て初めて使えます。