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高校数学C 二次曲線の極方程式—焦点を極に置き準線までの距離から式を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 式と曲線を掘り下げる

焦点と準線の距離比から、分母の符号と双曲線の両枝をたどる鍵は離心率です。

よくあるのは、理系の高3が焦点と準線の距離比から極方程式を作り、距離の絶対値を外したまま双曲線の図に2つの枝を描いてしまう場面です。分母の符号を無視すると、式が表さない枝を付け足したり、逆に必要な枝を落としたりします。焦点を原点に置き、準線の左右で距離の式を分けてから、求めた点を元の距離比に戻しましょう。

文部科学省の高等学校学習指導要領解説の数学Cでは、平面上の曲線に極方程式と離心率による二次曲線の関連が含まれます。ここでは焦点と準線の配置が決まった場合の式と点の範囲を扱います。

どの条件を式へ運ぶか

出題の型は主に3つです。焦点、準線、距離比から極方程式を求める問題では、準線のどちら側に点があるかを調べます。逆に極方程式から曲線を判断する問題では、計算で得た準線が、その式の点に対してどちら側にあるかを確かめます。もう1つは離心率を変えたときの分類と、分母が0または負になる角の扱いを問う問題です。

どの型でも、答えは式の見た目だけでは決まりません。rは極からの距離なので負にはできず、分母が0ならその分数は定義されません。また、同じ焦点と準線の距離比を満たす集合が双曲線の場合、1つの分数だけが両方の枝を表すとは限りません。問題が求める集合と、式が表す集合を照らして答えます。

絶対値が教える準線の両側

焦点を極O、始線を正のx軸とし、準線を x = d とします。ここで d > 0、離心率 e > 0 とします。点Pの極座標を (r, θ) とし、r ≥ 0、角は弧度法とします。直交座標では x = r cos θ、y = r sin θ です。Pから焦点までの距離は r、準線までの距離は |d − r cos θ| なので、求める条件は次です。

r = e|d - r cos θ|

原点では左辺が0、右辺が ed > 0 です。したがって原点は集合に含まれず、条件を満たす点では r > 0 です。原点の角が一意でないことと、原点が条件を満たさないことは別々に確かめます。図1のように、準線の左側と右側では点から直線までの距離の式が変わります。

まず x ≤ d、つまり d − r cos θ ≥ 0 の側では、絶対値の中はそのままです。

r = e(d - r cos θ)
r(1 + e cos θ) = ed
r = ed/(1 + e cos θ)

最後の式を使うには 1 + e cos θ > 0 が必要です。分子 ed は正なので、分母が負なら r < 0 になり、採用できません。分母が0なら、その前の式は 0 = ed となり不可能です。逆に分母が正なら r > 0 であり、元の式から d − r cos θ = r/e > 0 です。したがって得た点は確かに準線の左側にあり、距離比も成立します。

他方 x ≥ d の側では、絶対値の中の符号を反転します。

r = e(r cos θ - d)
r(e cos θ - 1) = ed
r = ed/(e cos θ - 1)

この式も分母 e cos θ − 1 > 0 の角に限ります。逆にその条件があれば r cos θ − d = r/e > 0 となり、右側の距離条件へ戻れます。等号 x = d なら準線までの距離は0ですが、焦点は準線上にないため r > 0 です。よって曲線は準線上に点を持ちません。

0 < e < 1 では 1 + e cos θ > 0 がすべての角で成り立ち、もう一方の分母は正になりません。e = 1 でも右側の分母は正にならず、左側の分母が0になる角を除きます。e > 1 では右側の分母が正になる角もあり、2つの式がそれぞれ別の枝を表します。e = 0 はこの有限の準線を使った正の距離比の分類に含めません。

分類を式から確認しましょう。最初の距離条件を二乗し、x² + y² = r² を使うと次の式です。二乗前の両辺は非負なので、この場合は逆向きにも戻せます。

x² + y² = e²(d - x)²
(1 - e²)x² + y² + 2e²dx - e²d² = 0

0 < e < 1 では平方完成後に2つの平方の係数が正となり楕円、e = 1 では x² の項が消えて放物線、e > 1 では2つの平方の係数の符号が異なり双曲線です。二乗した直交座標の式は距離条件の全体を表し、双曲線では2枝を含みます。一方、符号を決めて導いた分数は、指定した側の点に限られます。

基本例題：放物線の式と除く角

焦点を原点、準線を x = 3 とする放物線を考えます。r ≥ 0、0 ≤ θ < 2π として極方程式と使える角の範囲を求め、分数と角の記号を用いて答えてください。軸上の点を元の距離に戻して確かめます。

放物線なので距離比 e = 1 です。準線の右側であれば r = x − 3 ですが、r ≥ x と x > 3 を合わせると r > x − 3 となり矛盾します。準線上も距離が一致しないので、点は左側にあります。したがって次の変形ができます。

r = 3 - r cos θ
r(1 + cos θ) = 3
r = 3/(1 + cos θ)

分子は正なので 1 + cos θ > 0 が必要です。指定された角の範囲では θ = π のときだけ分母が0であり、その角には解がありません。それ以外の角では分母が正で、式から 3 − r cos θ = r > 0 と戻るため、元の条件を満たします。

図2の頂点Vは θ = 0 のとき r = 3/2 なので V = (3/2, 0) です。焦点からの距離と準線までの距離は、ともに 3/2 です。また θ = π/2 では r = 3 で P = (0, 3) となり、焦点と準線までの距離はいずれも3です。図の両点が式と一致します。

直交座標でも範囲を確認できます。元の条件の両辺は非負なので、二乗と整理は同値です。

x² + y² = (3 - x)²
y² = 9 - 6x
x = (9 - y²)/6

最後の式から x ≤ 3/2 < 3 です。従って直交座標の放物線も準線の左側にあり、元の条件へ戻ります。θ = π を分母0として除いたことは、負のx軸上の点を除くことではありません。θ = π の向きに有限の点がないという意味です。負のx座標の点も、yが0でなければ別の角で表れます。

標準例題：分数が表す枝を調べる

焦点を原点、準線を x = 2、離心率を e = 2 とします。距離比を満たす全点の極方程式を、r ≥ 0、0 ≤ θ < 2π の範囲とともに求めてください。曲線の種類を答え、各枝の軸上の点について距離比を確認してください。

左側と右側をそれぞれ立式します。

x < 2 の側: r = 2(2 - r cos θ)
r(1 + 2 cos θ) = 4
r = 4/(1 + 2 cos θ)

x > 2 の側: r = 2(r cos θ - 2)
r(2 cos θ - 1) = 4
r = 4/(2 cos θ - 1)

前者は cos θ > -1/2、後者は cos θ > 1/2 が必要十分です。指定範囲に直すと前者は 0 ≤ θ < 2π/3 または 4π/3 < θ < 2π、後者は 0 ≤ θ < π/3 または 5π/3 < θ < 2π です。分母0の端は含めません。角が共通する範囲では、同じ向きの半直線上に2点ある場合があります。2つの式を一方にまとめず、両方の点を残します。

θ = 0 では左側の式から r = 4/3、右側の式から r = 4 です。前者は焦点距離 4/3、準線距離 2/3 で比は2、後者は焦点距離4、準線距離2で比は2です。2点の間に準線があります。どちらも元の条件に戻るので、2つの枝に実際の点が存在します。

全体を直交座標で見ます。両辺の非負性を確認してから二乗します。

x² + y² = 4(2 - x)²
x² + y² = 16 - 16x + 4x²
3x² - y² - 16x + 16 = 0
3(x - 8/3)² - y² = 16/3
(x - 8/3)²/(16/9) - y²/(16/3) = 1

正の項がxの平方なので左右に開く双曲線です。中心は (8/3, 0)、頂点のx座標は 4/3 と4です。元の距離条件はこの2枝を含みますが、最初の分数は x < 2 の枝、次の分数は x > 2 の枝に対応します。1つ目の分数を負の分母まで広げても、r ≥ 0 の表し方ではもう一方の枝は生まれません。

発展例題：式から準線と元の集合へ

極を原点、始線を正のx軸とし、r ≥ 0、0 ≤ θ < 2π で r = 6/(2 + cos θ) を考えます。この式の曲線の種類、対応する焦点と準線、離心率を求めてください。準線は直交座標の式、離心率は分数で答え、逆向きに距離条件が成立することも示してください。

分母は 2 + cos θ ≥ 1 なので、指定範囲のすべての角で正です。分子と分母を2で割って、焦点を極にした形と比較します。

r = 3/(1 + (1/2) cos θ)
e = 1/2
ed = 3
d = 6

候補の焦点は原点、準線は x = 6、離心率は 1/2 です。式を掛け戻して、絶対値を含む距離条件まで戻れるか調べます。

r + (1/2)r cos θ = 3
r = (1/2)(6 - x)
6 - x = 2r > 0
r = (1/2)|6 - x|

反対向きも必要です。距離条件を満たす点では、準線の右側なら r = (x − 6)/2 ですが、r ≥ x かつ x > 6 と矛盾します。準線上も不可能です。従って左側にあり、同じ分数へ戻れます。この式は候補の距離条件の全点を表します。0 < e < 1 なので曲線は楕円です。

直交座標の形も確かめます。両辺が非負の距離条件を二乗し、平方完成します。

4(x² + y²) = (6 - x)²
3x² + 4y² + 12x - 36 = 0
3(x + 2)² + 4y² = 48
(x + 2)²/16 + y²/12 = 1

中心は (-2, 0)、長半軸は4、短半軸は 2√3 です。焦点の中心からの距離は √(16 − 12) = 2 なので、原点が焦点の1つであることとも一致します。θ = 0 では r = 2、準線までの距離4に対して比は 1/2 です。θ = π では r = 6、点は (-6, 0) で準線までの距離12、比は同じです。

誤答を距離に戻して直す

標準例題の焦点と準線で、次のように考えたとします。「r = 4/(1 + 2 cos θ) を全角で使えば、双曲線の2つの枝を描ける」。図3はこの式の点と、距離条件が求めるもう一方の枝を対比しています。

誤りの原因は、絶対値を外すときの x < 2 という条件を忘れたことです。例えば θ = 0 の代入では r = 4/3 であり、距離条件を満たします。しかし同じ角にある r = 4 はこの分数の値ではありません。実際には焦点距離4、準線距離2なので元の距離比を満たし、別の枝に属します。

修正するときは、まず正しい左側の式に 1 + 2 cos θ > 0 を添えます。続いて右側で符号を変え、r = 4/(2 cos θ − 1)、2 cos θ − 1 > 0 を得ます。θ = π では前者の分母が負、後者も負なので、どちらも r ≥ 0 の解を持ちません。負の値を別の向きの点として勝手に使うことは、この約束ではできません。

分母が0の境界も点として扱わないでください。例えば θ = 2π/3 では左側の変形前の式が 0・r = 4 となり、有限のrは存在しません。分母が負の場合、0の場合、正の場合を分けると、欠ける点と追加された点の両方に気づけます。

練習：距離と角の条件を往復する

いずれも極は原点、始線は正のx軸、r ≥ 0、0 ≤ θ < 2π です。角は弧度法で表し、座標や係数は整数、分数、または根号で答えてください。

焦点を原点、準線を x = 4、離心率を 1/2 とします。距離条件を満たす全点の極方程式と曲線の種類を求め、θ = 0 の点について距離比を確かめてください。
焦点を原点、準線を x = 5 とする放物線の極方程式と、指定範囲で使えない角を求めてください。θ = π/2 の点も座標で答えてください。
焦点を原点、準線を x = 1、離心率を 3 とします。全点を表す極方程式を準線の両側に分け、分母の条件を cos θ の不等式で答えてください。θ = 0 の各点の距離比も確認してください。
極方程式 r = 8/(4 − cos θ) が表す全点について、焦点を原点とする準線の式と離心率、曲線の種類を求めてください。θ = π の点で距離比を確認してください。
焦点を原点、準線を x = 3、離心率を 2 とします。θ = π/3 と θ = π のそれぞれの半直線上に距離条件を満たす点が何個あるか、整数で答え、存在する点のrを求めてください。

練習の答えと解き方

準線の左側から r = 2/(1 + (1/2) cos θ) です。分母は 1/2 以上なので、指定範囲の全角で使えます。右側の式は (1/2) cos θ − 1 ≤ -1/2 で正にならず、点はありません。e = 1/2 より楕円です。θ = 0 のとき r = 4/3、準線までの距離は 4 − 4/3 = 8/3 で、距離の比は 1/2 です。分母が正の式から 4 − x = 2r > 0 と戻れるため、式の点に余分なものはありません。
r = 5/(1 + cos θ) で、θ = π を除きます。準線の右側では r = x − 5 が必要ですが r ≥ x に反します。左側の分母が正なら 5 − x = r > 0 と戻れます。θ = π/2 のとき r = 5、点は (0, 5) です。原点からの距離と直線 x = 5 までの距離はともに5です。原点自身は距離0と5を比べるため含まれません。
左側は r = 3/(1 + 3 cos θ)、cos θ > -1/3、右側は r = 3/(3 cos θ − 1)、cos θ > 1/3 です。前者は 1 − x = r/3 > 0、後者は x − 1 = r/3 > 0 を満たすので、式から距離条件に戻れます。θ = 0 では r = 3/4 と 3/2 です。前者の準線距離は 1/4、後者は 1/2 で、それぞれの焦点距離との比は3です。分母が0の角では有限のrはありません。
分母を4で割ると r = 2/(1 − (1/4) cos θ) です。距離の式に戻すと次のようになります。

r - (1/4)x = 2
r = (1/4)(8 + x)
8 + x = 4r > 0
r = (1/4)|x + 8|

したがって準線は x = -8、離心率は 1/4、曲線は楕円です。逆に距離条件を満たす点が x < -8 にあると、r = (-8 − x)/4 < -x ≤ r となり矛盾します。よって分数は距離条件の全体を表します。θ = π では r = 8/5、点は (-8/5, 0)、準線距離は 32/5 です。比は (8/5)/(32/5) = 1/4 です。

左側は r = 6/(1 + 2 cos θ)、右側は r = 6/(2 cos θ − 1) です。θ = π/3 では左側の分母が2で r = 3、右側の分母が0なので、点は1個です。点のx座標は 3/2、焦点距離3、準線距離 3/2 で比は2です。θ = π では両方の分母が負なので点は0個です。分母0を0で割って点を作ることも、負のrを採用することもできません。