高校数学C 極方程式のグラフ—角の対応表と対称性から曲線の形と範囲を描く｜武蔵野個別指導塾

角と距離の表から原点や重複を点検し、対称性と範囲を読み解く題材は極方程式のグラフです。

よくあるのは、理系の高校3年生が角を等分して打った点を、直交座標でも等間隔だと考えて結ぶ場面です。極方程式では角が等しく増えても、原点からの距離も変わります。点の向きと距離を別々に読み、対称性で補える部分と、角の範囲のために補えない部分を分けましょう。

どんな順番で形を決めるか

出方の1つは、与えられた極方程式の概形を描く問題です。まず代表的な角で距離を計算し、原点、軸との交点、遠くまで伸びる方向を押さえます。次に対称性を使って点を補いますが、表の点を機械的に等間隔で置いてはいけません。

もう1つは、角の範囲を限定したときに曲線のどの部分が残るかを問う問題です。式が対称でも、指定された角の集合が対称とは限りません。端の角を含むかどうか、原点に達するか、同じ点をもう一度通るかまで確かめます。

さらに、式に負の値を与える角が混じる場合があります。ここでは原則として r ≥ 0 とし、負の値になる角は採用しません。別の約束で負の距離を反対向きに描く方法とは混ぜず、与えられた条件の下で点の集合を作ります。面積の計算には進まず、形と範囲を調べます。

角は向き、rは距離

極を原点O、始線をx軸の正の向きにとります。点Pの極座標を (r, θ) とすると、rはOからPまでの距離、θは始線からの角です。角は弧度法で測り、直交座標との関係は次のとおりです。

x = r cosθ
y = r sinθ
r² = x² + y²

r > 0なら、同じ点を表す角は2πの整数倍だけ異なります。一方、r = 0ではどの角でも原点です。原点を通る角が複数あっても、原点が複数あるわけではありません。式がある角でr = 0を許すかは、その角を元の式と指定範囲に代入して判定します。

図1のように、角をπ/4ずつ増やしても、半直線上の点までの距離が変化すれば点の間隔は変わります。図では例として r = 1 + cosθ の上半分をとり、θ = 0、π/2、π に対応する距離を2、1、0としています。半直線は向きを示し、曲線を等間隔に区切る目盛りではありません。

図1の原点にある点はθ = πから得られます。表を作るときは、角、cosθやsinθ、r、必要なら直交座標の順に書くと、距離と位置の混同を防げます。値が正確な角を先に選び、曲がり方が判断しにくい区間には中間の角を追加します。

対称性は、式に角を代入して確かめます。例えば r = f(θ) で f(-θ) = f(θ) なら、同じ距離でy座標の符号が反対になるため、角の範囲が対応する限りx軸対称です。f(π − θ) = f(θ) ならy軸対称です。ただし角に制限があると、対応する角が範囲外になることがあります。式だけでなく範囲も変換してから使います。

全体の形を推測した後も、点を打って終わりにはしません。rが連続して変わる式なら、区間内で角を動かした点が途切れず動くことを利用できます。それでも、少数の点を結ぶだけでは輪や折り返しを見逃し得ます。距離の増減、原点を通る角、角の範囲を合わせて曲線を判断します。

基本例題：右へふくらむ曲線

問題：0 ≤ θ ≤ 2π、r = 2(1 + cosθ) とします。代表点と対称性を用いて概形を描き、原点を与える角と、原点以外で重複して表される点を調べてください。座標は整数または根号で表します。

まず -1 ≤ cosθ ≤ 1 なので、0 ≤ r ≤ 4です。全範囲で距離は負になりません。次の表の点は、各角について式を直接計算したものです。

例えば θ = π/2 では r = 2、x = 2 cos(π/2) = 0、y = 2 sin(π/2) = 2です。θ = πではrが0ですから、向きが左でも点は原点にあります。0と2πは同じ向きで同じ距離なので、表の両端は同じ点です。

対称性は次の計算で確認します。

cos(2π - θ) = cosθ
r(2π - θ) = 2(1 + cosθ) = r(θ)
cos(2π - θ) = cosθ
sin(2π - θ) = -sinθ

したがって対応する点はx軸について対称です。0からπまでではcosθが1から-1へ減るので、距離は4から0へ減ります。πから2πでは対称な経路を通り、図2のように上下が鏡映しになる形です。

図2の右端は (4, 0)、上下の軸上の点は (0, 2)、(0, -2) です。原点を与えるには cosθ = -1 が必要で、指定区間では θ = πです。原点以外で同一点なら、正の距離と向きが一致する必要があります。区間内で角が2πだけ異なる組は0と2πなので、重複点は (4, 0) です。この確認は、計算した点を元の式と角の範囲に戻しています。

標準例題：範囲を切ると対称性はどうなるか

問題：r = 3(1 − sinθ)、0 ≤ θ ≤ π とします。軌跡の概形と、原点を与える角を求め、端点の直交座標を整数で答えてください。

sinθはこの範囲で0以上1以下です。よって0 ≤ r ≤ 3で、どの角も距離の条件を満たします。まず端と中央を代入します。

θ = 0 のとき r = 3(1 - 0) = 3、(x, y) = (3, 0)
θ = π/2 のとき r = 3(1 - 1) = 0、(x, y) = (0, 0)
θ = π のとき r = 3(1 - 0) = 3、(x, y) = (-3, 0)

原点では角が決まらないという性質と、与えられた式がその角で成り立つことは別です。r = 0を元の式に入れると sinθ = 1となり、この範囲ではθ = π/2です。例えばθ = 0を原点の角として勝手に使うと、式の右辺は3なので条件を満たしません。

0 ≤ θ ≤ π/2ではsinθが増え、rは3から0へ減ります。π/2 ≤ θ ≤ πではsinθが減り、rは0から3へ増えます。さらに sin(π − θ) = sinθ なので、対応する点は同じ距離を持ち、x座標の符号が逆です。範囲もθからπ − θへ移して変わらないため、全体はy軸対称です。

中間点も確認しましょう。θ = π/6では r = 3/2で、座標は (3√3/4, 3/4) です。θ = 5π/6では (-3√3/4, 3/4) となります。いずれも元の距離は3/2、指定角も範囲内です。点は上半平面にあり、原点をはさんで左右の弧を作ります。下側は式を全周で考えた場合には現れますが、この問題の範囲から追加することはできません。

発展例題：距離が負になる角を除く

問題：r = 1 + 2 cosθ、0 ≤ θ < 2π、r ≥ 0 とします。許される角の範囲、原点を与える角、軌跡の概形を求めてください。端点はπを用いて表します。

まず式の右辺が距離として許される条件を解きます。

1 + 2 cosθ ≥ 0
cosθ ≥ -1/2
0 ≤ θ ≤ 2π/3 または 4π/3 ≤ θ < 2π

等号を含む2つの角ではr = 0です。逆に、原点を与えるには1 + 2 cosθ = 0が必要なので、この2角以外はありません。どちらも同じ原点を表します。範囲外の角では右辺が負となり、r ≥ 0を満たす点がないため、そこで別の小さな輪を描いてはいけません。

代表点を求めます。

θ = 0 のとき r = 3、(x, y) = (3, 0)
θ = π/2 のとき r = 1、(x, y) = (0, 1)
θ = 2π/3 のとき r = 0、(x, y) = (0, 0)
θ = 4π/3 のとき r = 0、(x, y) = (0, 0)
θ = 3π/2 のとき r = 1、(x, y) = (0, -1)

cos(2π − θ) = cosθ であり、許される角の集合もこの変換で対応します。よって上側と下側はx軸対称です。0から2π/3へ動かすと (3, 0) から上を通って原点に至り、4π/3から2πへ動かすと原点から下を通って右端に近づきます。2πは含みませんが、右端はθ = 0で既に含まれます。端の扱いを角だけでなく点について調べることが必要です。

原点以外では、同じ点なら距離は正で、方向は2πの整数倍を除き一致します。指定区間は2πを含まないため、原点以外の重複はありません。表の各点も、長さと角を式に代入すると上の距離に戻ります。

誤答を直す：等しい角と等しい点間距離

誤答として、基本例題のθ = 0、π/2、πに対応する3点を、一直線上に等間隔で並べたとします。角の増分はどちらもπ/2ですが、距離は4、2、0と変わり、方向も変わっています。直交座標に直せば、点は (4, 0)、(0, 2)、(0, 0) です。

図3のように、最初の2点の距離の二乗は20、次の2点の距離の二乗は4です。したがって長さはそれぞれ2√5と2で、等しくありません。図3は点を結ぶ線分の比較であり、その線分自体を曲線だと主張していません。

原因は、角の目盛りを直交座標の目盛りと同じものとして扱ったことです。修正するときは、まず各半直線を描き、そこに対応するrを測って点を置きます。それから点の間に中間角を入れ、対称性と距離の増減を見て滑らかにつなぎます。

別の失敗は、r = 0を調べる前にrで式を割ることです。割った式が原点以外を表していても、原点の有無は元の式に戻すまで決まりません。また、制限された角を無視して対称な点を足すと、元の条件を満たさない部分が現れます。描いた点ごとに許された角があるかを逆向きに確かめます。

練習：点と範囲を自分で追う

次の問題ではr ≥ 0とし、座標は整数、分数または根号で表してください。概形を求める際は、代表点と対称性を答案に添えます。

1. r = 4(1 + cosθ)、0 ≤ θ ≤ 2πについて、θ = 0、π/2、πの点と原点を与える角を求め、概形を描いてください。
2. r = 2(1 − cosθ)、0 ≤ θ ≤ πについて、両端の点とθ = π/2の点を求め、軌跡の範囲を述べてください。
3. r = 2 + 4 cosθ、0 ≤ θ < 2πについて、許される角の範囲と原点を与える角を求めてください。
4. r = 3(1 + sinθ)、0 ≤ θ ≤ 2πについて、原点を与える角とy軸上の最高点を求め、y軸対称性を確かめてください。
5. r = 2、π/3 ≤ θ < 4π/3について、両端に対応する点、端点の包含、原点の有無を調べてください。

練習の答えと道筋

1. cosθを代入するとrは順に8、4、0です。対応する座標は (8, 0)、(0, 4)、(0, 0) です。原点には cosθ = -1が必要なのでθ = πです。cos(2π − θ) = cosθよりx軸対称で、下側には (0, -4) があります。0からπへ距離が8から0へ減る上側と、その対称な下側を描きます。代入した各距離は非負で、角も指定区間内です。

2. 順に計算すると次のとおりです。

θ = 0：r = 2(1 - 1) = 0、(x, y) = (0, 0)
θ = π/2：r = 2(1 - 0) = 2、(x, y) = (0, 2)
θ = π：r = 2(1 + 1) = 4、(x, y) = (-4, 0)

区間内のsinθは非負でrも非負なのでy ≥ 0です。原点から上側を通り左端へ至る部分を描きます。式を全周で考えた曲線の下側は、指定範囲にない角を要するため入りません。端点は両方含み、元の式へ代入して距離0と4を確認できます。

3. 距離が非負であるための条件を解きます。

2 + 4 cosθ ≥ 0
cosθ ≥ -1/2
0 ≤ θ ≤ 2π/3 または 4π/3 ≤ θ < 2π

原点では等号なのでθ = 2π/3、4π/3です。両角で元の右辺は0になり、範囲にも入ります。その間の角では右辺が負となり、指定された距離の条件に反します。2πは角として含まれませんが、同じ向きの0は含まれています。

4. r = 0から sinθ = -1、よってθ = 3π/2です。y軸上ではx = r cosθ = 0です。原点以外ではr > 0なのでcosθ = 0となり、θ = π/2または3π/2です。前者はr = 6で (0, 6)、後者は原点です。したがって最高点は (0, 6) です。実際、y = r sinθ ≤ r ≤ 6で、この点で等号が成立します。sin(π − θ) = sinθで、対応する角を2πの周期で区間に戻せるのでy軸対称です。各点の距離を元の式に戻しても一致します。

5. 距離は常に2なので、原点中心、半径2の円周上です。始点では座標が (1, √3)、終わりの角に対応する座標が (-1, -√3) です。前者は角を含むので含まれ、後者は角を含まないので含まれません。この区間内に終点と同じ向きの別の角はないため、終点は別の角からも得られません。r = 2は0でないので原点はありません。座標の二乗和はどちらも4で、距離2と一致します。

持ち帰る4行

角は方向、rは原点からの非負の距離です。 原点はr = 0を元の式と範囲に戻して調べます。 対称性は式と角の範囲の両方で確かめます。 端点や重複は角ではなく点として判定します。

どこで止まったかを見つける

表の数値は合うのに図がずれる場合は、各点の直交座標と原点からの距離を見比べます。点が合うのに余分な弧がある場合は、その弧の各方向に指定範囲内の角があるか、右辺が非負かを確かめます。原点が抜ける場合は、変形前の式にr = 0を代入した行へ戻ります。

個別指導では、まず本人に角を1つ選んで半直線を描き、式から求めた距離をその上に置いてもらいます。次に対称な点を示す角を答えてもらい、その角が範囲内かを確認します。図の点を逆に式へ戻せれば、角の表は単なる作図の補助ではなく、軌跡の範囲を検証する道具になります。