高校数学II 角を置き換える方程式—変換後の区間を先に求め複数周期の解を戻す｜武蔵野個別指導塾

角を一次式に置き換える際の区間変換を、負の係数と開閉端点の例で確かめ、解を元の角へ戻します。

よくあるのは、高2が2θをひとまとまりの角に置き換えた後も、θに指定された範囲のまま方程式を解く場面です。たとえばθが一周する間に、2θは二周します。一周目の候補だけを戻しても、元の方程式には合うため、抜けに気づきにくいのです。角と範囲を一緒に移し、候補を列挙してからθへ戻すと、解の抜けと余分な端点を区別できます。

どんな条件を読み取るか

角の置換が役立つのは、三角関数の中身が2θや3θ − π/2のように、θの一次式になっている方程式です。式の中身をuと置けば、まずsin uやcos uの基本的な方程式として考えられます。ただし、解く対象をθからuに替えた以上、範囲もuの範囲に替えます。

出方は主に3つあります。正の係数で角が複数周する場合は、同じ高さや横座標に当たる位置を周期ごとに拾います。定数が加わる場合は、両端を同じ量だけ移してから候補を探します。負の係数の場合は、θが増えるとuが減るので、大小関係と端点の含み方の両方を入れ替えます。

どの型でも、最後に元のθの範囲と原式へ戻ります。値が原式に合っても、指定範囲の外なら答えではありません。逆に、合う値が見つかったことは、他の候補がない証明にはなりません。変換後の範囲を覆うよう周期ごとに調べることが必要です。ここでは角の一次式を置き換えます。三角関数の値を文字に置く二次方程式は扱いません。

角と区間を一組で移す

u = aθ + bと置くとき、aが正ならθの大小はuでも同じ順です。aが負なら大小が逆になります。端点が等号を含むかどうかは、その端点に対応する値に引き継ぎます。たとえば0 ≤ θ < πでu = -2θ + πなら、θ = 0はu = πに対応して含まれ、θ = πはu = -πに対応して含まれません。したがって -π < u ≤ πです。

図1のように、元の左端と変換後の左端が必ず対応するとは限りません。負の係数では矢印が交差し、含む端点も右側へ移ります。端点を代入して対応を書いてから、小さい方を左に並べると安全です。

sin u = 1/2なら単位円の縦座標が1/2になる位置を考えます。一周ではπ/6と5π/6です。周期は2πなので、それぞれに2nπを加えた角が候補です。nは整数です。cos uなら横座標を使い、tan uなら周期πを使います。tan uはcos u = 0の角では定義されないため、候補の元の角も含めて定義を確かめます。

一般解を作った後、変換後の区間に入る整数nを調べる方法と、区間に沿って一周ずつ位置を並べる方法があります。どちらでも端点を最後に点検します。uからθへ戻す式はaが0でない限り一対一なので、uの候補1つはθの候補1つに対応します。a = 0なら角が定数になり、置換で割らず、定数の等式が真なら指定範囲の全て、偽なら解なしと判定します。

候補を整数で絞るときは、一般解のそれぞれの系列に範囲を適用します。たとえばu = π/6 + 2nπなら、下端と上端の間にこの式を置き、条件を満たす整数nを調べます。もう一方の系列にも同じ作業が必要です。片方だけ調べると、同じ高さの別の位置を落とします。端点に候補が一致した場合は、等号がある側かどうかも見ます。

候補の個数は、区間の長さだけから決まるとは限りません。区間を少し動かすと、片側から1つ出て別の側から1つ入ることがあります。閉区間の両端が周期だけ離れ、両方とも候補なら、端点は異なる2つの角です。三角関数の値が同じでも角としては別々に数えます。反対に、同じ角が2つの一般解の系列に現れたときは、重複を除いて1つにします。

元の角へ戻すときは、平行移動を先に元に戻し、最後に係数で割ります。u = aθ + bなら、まずbを引いてからaで割る順です。負のaで割ると候補の大小も逆転するので、最後にθを小さい順に並べ直します。元の区間との照合は、この並べ替えの前でも後でも構いませんが、端点が含まれるかは必ず元の条件で確かめます。

基本例題：2周分を拾う

0 ≤ θ < 2πで、sin 2θ = 1/2を解き、答えをπを用いて列挙します。

まずu = 2θと置きます。係数2は正なので、両端を2倍すると0 ≤ u < 4πです。θは一周ですが、uは二周します。図2のように、縦座標が1/2となる2つの位置が各周に現れます。

一周目の候補はπ/6と5π/6です。次の一周ではそれぞれに2πを加えるので、変換後の範囲にある候補は次の4つです。

u = π/6, 5π/6, 13π/6, 17π/6

u = 2θを解いてそれぞれ2で割ります。

θ = π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12

いずれも0以上2π未満です。2θに戻すと上に列挙した4つになり、それぞれの正弦は1/2です。u = 0とu = 4πでは正弦が0なので、含まれる左端も含まれない右端も解にはなりません。単位円の一周に位置が2つあり、範囲はちょうど二周分なので、途中の候補も落としていません。

範囲を変換せず0 ≤ u < 2πで解いた場合、前の2つしか得られません。代入が正しいことと、解を全て拾ったことは別の確認です。二周目が必要になる理由を、θがπから2πまで動く間にuが2πから4πまで動く、と説明できるか確かめます。

標準例題：平行移動した範囲

-π/2 ≤ θ ≤ π/2で、cos(2θ + π/3) = 1/2を解き、答えをπを用いて列挙します。

u = 2θ + π/3と置きます。2倍してからπ/3を加え、両端を含む範囲を求めます。

-π ≤ 2θ ≤ π
-2π/3 ≤ u ≤ 4π/3

cos u = 1/2の一般解はu = 2nπ ± π/3です。nは整数です。この範囲では -π/3とπ/3が入ります。次の候補は左側が -5π/3、右側が5π/3なので範囲外です。端点の -2π/3と4π/3の余弦はどちらも -1/2で、解ではありません。

2θ + π/3 = -π/3 または π/3
2θ = -2π/3 または 0
θ = -π/3 または 0

どちらも元の閉区間にあります。実際に角を作り直すと順に -π/3、π/3となり、余弦はいずれも1/2です。右端が4π/3だからといって、そこまでの一周を0から始める必要はありません。負の角も含めて、指定された区間そのものを見ます。

発展例題：負の係数と開閉端点

0 < θ ≤ πで、sin(π − 2θ) = 0を解き、答えをπを用いて列挙します。

u = π − 2θと置きます。θが0に近い側ではuがπに近く、θ = πではu = -πです。負の係数で順序が逆になり、0 < θ ≤ πに対応するのは -π ≤ u < πです。含む端点は -π、含まない端点はπです。

sin u = 0となる角はu = nπで、nは整数です。この範囲に入るのは -πと0です。πは正弦が0でも、開いた端点なので入りません。

π - 2θ = -π または 0
-2θ = -2π または -π
θ = π または π/2

小さい順にθ = π/2, πです。元の範囲ではπ/2が内部、πが含まれる端点です。角を作り直すとそれぞれ0、-πになり、正弦は0です。除いたu = πはθ = 0に戻り、こちらは元の範囲でも除外されています。端点を誤って入れ替えると、この2つの区別が逆になります。

誤答を直す：範囲をそのまま使わない

基本例題で「u = 2θ、0 ≤ u < 2π、よってθ = π/12, 5π/12」と書いたとします。この2つは原式を満たしますが、答えとしては不足です。原因は、文字だけ置き換えて、その文字が動く範囲を変えなかったことにあります。

図3の上段は誤って一周で止めた範囲、下段は正しい二周分です。下段の後半にも同じ高さの位置が2つあります。修正するときは、出た2つを消して勘で増やすのではなく、0 ≤ 2θ < 4πから候補を数え直します。対応するθを2で割って得た後、元の範囲と原式を別々に確認します。

別の失敗は、端点の数だけを見て閉区間にしてしまうことです。たとえば変換後が -π ≤ u < πなら、両端ともsinの値は0ですが、πは候補に入りません。また、解の候補が区間内に1つもなければ、無理に数を作らず解なしと答えます。値域の外の数を右辺に持つ場合も、周期を調べる前に解なしとわかります。

練習問題

いずれも指定範囲の解をπを用いて小さい順に列挙してください。解がなければ解なしと答えてください。

1. 0 ≤ θ < πで、cos 3θ = 0を解きます。
2. 0 < θ ≤ πで、sin(2θ − π/2) = 1を解きます。
3. -π/2 ≤ θ < π/2で、cos(π/2 − 2θ) = -1を解きます。
4. 0 ≤ θ ≤ πで、tan(2θ + π/4) = 1を解きます。正接が定義されない角も確かめます。
5. 0 ≤ θ ≤ 2πで、sin(3θ + π/6) = 2を解きます。

練習の答えと考え方

1. 三周分の半分を調べる

u = 3θと置くと0 ≤ u < 3πです。cos u = 0となる角はu = π/2 + nπで、nは整数です。範囲内の候補はπ/2、3π/2、5π/2です。3πは含まれませんが、そもそも余弦は0ではありません。

3θ = π/2, 3π/2, 5π/2
θ = π/6, π/2, 5π/6

3倍して元の角に戻すと3候補となり、いずれも余弦が0です。3つとも指定範囲に入ります。次の候補7π/2は3πより大きいので採りません。

2. 最大値の位置は一周に1つ

u = 2θ − π/2と置くと -π/2 < u ≤ 3π/2です。sin u = 1はu = π/2 + 2nπで、nは整数です。この範囲に入るのはπ/2です。両端では正弦が -1なので、端点は候補になりません。

2θ - π/2 = π/2
2θ = π
θ = π/2

θ = π/2は元の範囲内で、元の角はπ/2となります。正弦は確かに1です。一般的な高さでは一周に2点ある場合もありますが、最大値1を取る位置は一周に1点です。重複した候補を2個の解として数えません。

3. 負の係数で端点を移す

u = π/2 − 2θと置きます。θ = -π/2は含まれてu = 3π/2に、含まれないθ = π/2はu = -π/2に対応します。よって -π/2 < u ≤ 3π/2です。

cos u = -1はu = π + 2nπで、nは整数です。この区間の候補はπだけです。

π/2 - 2θ = π
-2θ = π/2
θ = -π/4

-π/4は元の区間に入り、元の角はπです。その余弦は -1です。両端の余弦は0なので、端点の開閉にかかわらず、この問題では端点は解になりません。

4. 正接の周期と定義域

u = 2θ + π/4と置くとπ/4 ≤ u ≤ 9π/4です。tan u = 1はu = π/4 + nπで、nは整数です。両端を含むため、候補はπ/4、5π/4、9π/4の3つです。

2θ + π/4 = π/4, 5π/4, 9π/4
2θ = 0, π, 2π
θ = 0, π/2, π

候補の角の余弦はいずれも0ではなく、正接は定義されて値1を取ります。元の範囲の両端も含まれます。一方、u = π/2と3π/2では正接が定義されません。それぞれθ = π/8と5π/8に対応し、答えには入りません。未定義点を方程式の解として数えない点が、正弦や余弦との違いです。

5. 候補が存在しない場合

u = 3θ + π/6と置けばπ/6 ≤ u ≤ 37π/6です。しかし、実数の角uに対して -1 ≤ sin u ≤ 1なので、sin u = 2を満たす角はありません。したがって解なしです。

範囲が何周分あっても、単位円の縦座標が2になる点はありません。端点を含め、指定されたどのθでも元の左辺は1以下なので、元の条件に戻しても解なしと確認できます。

覚えておくこと

• 角を置いたら、その両端を代入して新しい範囲を作ります。
• 負の係数では大小と端点の位置を入れ替えます。
• 周期ごとの候補と、開いた端点を点検します。
• 元の角へ戻し、範囲と原式の両方を確かめます。

つまずきの見分け方

途中で止まったら、まず「θの右端に対応するuはいくつか」を口に出して確かめます。答えが元の範囲の右端と同じなら、角の係数を範囲に反映し忘れた可能性があります。次に、候補を1周分ずつ区切って数え、各候補を何で割ってθに戻したかを説明します。

個別指導で確認するなら、正の係数の問題を解いた後、同じ端点の含み方で係数を負に変え、どちらの端点が移るか図に書いてもらいます。さらに、候補を原式に代入できるかだけでなく、候補の外に解がない理由を周期と範囲から説明できるかを見ます。端点の丸と候補の数が一致すると、角の置換は解を漏らさず戻す手順になります。