高校数学II 正接の方程式—周期と除外角をそろえて一般解と区間の解を出す｜武蔵野個別指導塾

sin θ = k cos θを割る前の確認から、π周期の一般解と指定区間の候補の選び方まで、正接の方程式をたどります。

よくあるのは、sin θとcos θを含む等式を見て、両辺をcos θで割り、除外した角を調べないまま答えを書く場面です。割った先のtan θの計算が正しくても、割る前の式に戻れば別の解が残っているかもしれません。まず割れない角を確かめ、その後で周期を使って候補を並べると、各段階の役割がはっきりします。

どの形から始めるか

正接の方程式には、例えば次の3つの入り口があります。いずれも角はラジアンで扱います。

• tan θ = cの形なら、tanが定義される角を意識し、同じ値を取る角をπ周期で表します。
• sin θ = k cos θの形なら、cos θ = 0を先に元の式へ代入し、割ることで解を落とさないと確認します。
• 有限区間が指定されたら、一般解から整数を絞り、端点を含むかどうかまで点検します。

最初から区間の図だけで答える場合も、同じ値を取る位置の間隔がπである理由を押さえると、負の角や2周以上の区間にも対応できます。一方、一般解を求める問題では、最初の1周の候補だけでは足りません。問題文が何を答えさせているかを先に確認します。

一直線上の2点とπ周期

原点を中心とする半径1の円で、角θに対応する点の座標は(cos θ, sin θ)です。cos θが0でないとき、tan θ = sin θ/cos θは、その点と原点を結ぶ直線の傾きです。縦の直線にあたるcos θ = 0では、この商を定義できません。したがってθ = π/2 + nπはtanの式から除きます。ここでnは整数です。

図1のように、原点を通る傾きcの直線は円と反対側の2点で交わります。2点の動径の差はπです。そこからさらに1周すると同じ点に戻るので、同じ傾きの角はπずつ並びます。直線は円と最大2点で交わるため、そのほかに異なる位置はありません。c = 0でも直線は横軸となり、同じ説明が成り立ちます。

図1では同じ直線上の2点を示しています。基準となる角αが与えられ、tan α = cなら、すべての解はθ = α + nπ、nは整数です。α自体で正接が定義されているので、これらの角も除外角にはなりません。sinとcosがともにπだけで符号を反転するため、商は同じ値に戻ります。

sin θ = k cos θの場合、cos θ = 0なら単位円上の点は(0, 1)または(0, -1)です。右辺は0、左辺は1または-1なので等式は成立しません。よって、この形では割れない角が解に含まれないと示してから、cos θで割れます。この確認は、別の式でも同じ結論になるという意味ではありません。例えばcos θを共通因子に持つ式では、cos θ = 0が解になる場合があります。

一般解から候補を取り出す

一般解の整数nは、回転回数を1つずつ書き並べるための記号です。nが負でもよく、負の角を含む問題では特に必要です。例えば基準角からπを引けば、反対側の位置に対応する負の角が得られます。同じ動径を表す角であっても、実数として異なれば一般解には別々に含まれます。

区間に戻すときは、一般解をそのまま不等式へ代入する方法が確実です。下端と上端を基準角の分だけ移し、正のπで割って整数の範囲を求めます。上端に等号がなければ、整数がちょうどその端に一致しても採用しません。図でおおよその個数を見積もった後に不等式で確認すると、端点が角の候補と一致する場合も判定できます。

また、tan θ = cには、正弦や余弦と異なり、実数cの大きさによる値域の制限はありません。ただし、任意のcに対する角を特殊角として書けるとは限りません。問題に基準角が与えられている場合は、その角を使って答えます。数値を推測して近い特殊角に置き換えると、元の等式を正確に満たす保証がありません。

割る操作を逆にたどる

cos θが0でない範囲では、sin θ = k cos θの両辺をcos θで割る操作と、tan θ = kの両辺にcos θを掛ける操作は互いに戻せます。したがってこの範囲で得た候補は、元の等式を満たします。別に調べたcos θ = 0の角と合わせることで、最初に考えた範囲全体を扱ったことになります。

式が積の形のときは、どの因子が0になるかを先に分けます。特定の因子が0でない場合に限って割り、その後の方程式を解きます。最後に各場合の答えを合わせると、解の重なりがあっても1回ずつ書けます。この順序を守れば、割る操作で失われる候補と、正接が定義されない角を区別できます。

基本例題：区間の中で数える

問題：0 ≤ θ < 2πで、tan θ = √3を満たすθをすべて求め、πを用いて表してください。

まずtanが定義されないπ/2と3π/2は候補にできません。単位円の特殊角からtan(π/3) = √3です。正接の周期はπなので、一般解は次の形です。

θ = π/3 + nπ　（nは整数）

図2のように、区間の始点から順にπずつ進めます。n = 0でπ/3、n = 1で4π/3です。n = -1では-2π/3となり始点より小さく、n = 2では7π/3となり終点より大きくなります。整数をそれ以上増減しても区間へ戻りません。

したがって答えはθ = π/3, 4π/3です。図2の2点はどちらも除外角ではなく、それぞれの正接は√3です。0では正接が0であり、終点2πは問題の区間に含まれません。値が等しくなる点を示すだけでなく、指定された範囲に戻して数を確定することが必要です。

標準例題：割れない角から調べる

問題：-π ≤ θ ≤ πで、sin θ = -cos θを満たすθをすべて求め、πを用いて表してください。

cos θ = 0となるのは、この区間ではθ = -π/2, π/2です。両方とも右辺は0ですが、左辺はそれぞれ-1, 1なので元の式を満たしません。残りではcos θで割れるため、等式は次と同値です。

sin θ/cos θ = -1
tan θ = -1

tan(-π/4) = -1より、一般解はθ = -π/4 + nπ、nは整数です。n = 0なら-π/4、n = 1なら3π/4が区間に入ります。n = -1では-5π/4、n = 2では7π/4となり、外れます。答えはθ = -π/4, 3π/4です。

両端も含む区間ですが、θ = -πとπでは左辺が0、右辺が1なので解ではありません。得た2角ではsinとcosの符号が反対で絶対値がともに√2/2となり、元の式へ戻しても成立します。負の角を正の角に直してから考えても構いませんが、その場合も最後は指定区間の表現に戻します。

発展例題：基準角と開いた端点

問題：0 < α < π/2、tan α = 2とします。-π − α < θ ≤ π − αで、sin θ = 2 cos θを満たすθを、αとπを用いてすべて表してください。

αの具体的な値を求める必要はありません。cos θ = 0ではsin θが1または-1なので元の式は成立しません。それ以外では両辺をcos θで割るとtan θ = 2です。条件で与えられたαを使えば、一般解はθ = α + nπ、nは整数です。

この候補を区間条件に代入し、まず整数nの範囲を考えます。

-π - α < α + nπ ≤ π - α
-π - 2α < nπ ≤ π - 2α
-1 - 2α/π < n ≤ 1 - 2α/π

0 < α < π/2より、0 < 2α/π < 1です。したがって左端は-2と-1の間、右端は0と1の間にあり、入る整数は-1と0です。答えはθ = α − π, αです。

この2つは差がπなので、どちらも正接は2です。さらに左端とα − πとの差は2αで正、右端とαとの差はπ − 2αで正です。2つとも指定区間の内部にあります。元の式でも、cosが0でない各候補についてtan θ = 2からsin θ = 2 cos θが成立します。端点の扱いは不等号を残して整数を絞れば確認できます。

誤答から割る条件を戻す

例えばcos θ(sin θ − cos θ) = 0を解くとき、cos θで割ってsin θ = cos θだけを残すのは誤りです。cos θ = 0なら積全体が0になり、その角は元の式の解です。割り算は0でない数に限られるので、この場合を消してしまいます。

図3のように、積が0になる道を2つに分けます。一方はcos θ = 0、もう一方はsin θ − cos θ = 0です。後者ではcos θ = 0を代入しても成立しないことを確認してから割れます。前者の角と後者の角を最後に合わせ、指定された範囲へ絞ります。

図3の分岐は、式を機械的にtanに変える前の点検を表します。元の式がsin θ = k cos θであれば、割れない角は解ではありません。しかし共通因子を持つ別の式では解になり得ます。どちらかを暗記して当てはめるのでなく、割る前の式に代入して判断します。tanの未定義角は、tanの式の解にはできなくても、tanを含まない元の式の解にはなり得ます。

練習問題

各問とも、指定範囲の解をすべて求め、πを使う角はπを用いて表してください。整数を使う場合はその条件も明記します。

1. tan θ = -√3を満たすすべての実数θを一般解で表してください。
2. 0 ≤ θ ≤ 2πで、tan θ = 0を解いてください。
3. -π < θ < πで、sin θ = (1/√3) cos θを解いてください。
4. 0 ≤ θ < 2πで、cos θ(sin θ + √3 cos θ) = 0を解いてください。
5. 0 < β < π/2、tan β = 3とします。-β ≤ θ < 2π − βで、sin θ = -3 cos θをβとπで表してください。

練習の解答と考え方

1. tan(-π/3) = -√3です。よってθ = -π/3 + nπ、nは整数です。基準角のcosは0でなく、πを加えた角でも正接は同じです。直線が単位円と交わる2位置がπ間隔で繰り返されるので、この形で他の解も尽くします。

2. tan θ = 0は、正接が定義される範囲でsin θ = 0と同値です。指定区間ではθ = 0, π, 2πです。3角ともcosは0でなく、元の正接は0です。両端に等号があるため、同じ動径でも0と2πは異なる実数の解として両方書きます。

3. cos θ = 0なら左辺は±1、右辺は0なので解ではありません。それ以外ではtan θ = 1/√3となります。tan(π/6) = 1/√3より、一般解はθ = π/6 + nπ、nは整数です。指定区間に入るのはθ = -5π/6, π/6です。どちらも元の等式に戻せ、開いた両端は候補ではありません。

4. 積が0なので、cos θ = 0またはsin θ + √3 cos θ = 0です。前者からθ = π/2, 3π/2を得ます。後者ではcos θ = 0は成立しないので割るとtan θ = -√3です。区間内ではθ = 2π/3, 5π/3です。したがって答えはθ = π/2, 2π/3, 3π/2, 5π/3です。π/2と3π/2では第1因子cos θが0です。2π/3と5π/3では第2因子sin θ + √3 cos θが0になるので、4角とも元の積を0にします。

5. cos θ = 0では元の式は成立しません。それ以外で割るとtan θ = -3です。tan(-β) = -3なので、一般解はθ = -β + nπ、nは整数です。区間に代入すると0 ≤ n < 2です。よってn = 0, 1で、答えはθ = -β, π − βです。左端は含まれ、n = 2に対応する右端は含まれません。両角とも正接が-3で、元の式も満たします。

覚えておくこと

• tan θ = tan αならθ = α + nπ、nは整数です。
• tanの式ではcos θ = 0を除きます。
• 割る前の式に除外角を戻し、解を落とさないか調べます。
• 指定区間では整数を絞り、端点の等号を確認します。
• 最後に答えを元の式と区間へ戻します。

つまずきを見分けるには

答えが1つ足りないときは、まずπを足した角を探せるか聞いてみます。2πを周期として動かしていたなら、反対側の点でも傾きが同じになることを単位円で確かめます。端点の誤りなら、一般解に代入した不等式を一行ずつ書き、等号がどちらに付いていたかをたどります。

個別指導で確かめる箇所は、cos θ = 0を元の式へ代入した説明と、残りを割ってよい理由です。正しい答えが出ても、この2つが混ざっていれば、共通因子がある問題で解を落としかねません。逆に、除外角を調べた後で一般解の整数を動かし、元の条件に戻せれば、角の数え方を自分で点検できます。割る前の一手が、答えの範囲を守ります。