高校数学I 二次関数の最大最小から定数決定—値を取る位置の候補を戻して条件を検証する｜武蔵野個別指導塾

閉区間の端と頂点を使い、指定された最小値や最大値から候補を求め、元の条件に戻して定数を決定します。候補の適否を調べる鍵は逆算です。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、最小値の式から定数の候補を出したところで答えにしてしまう場面です。その式は、軸がある範囲にあると仮定して作ったものかもしれません。候補がその範囲の外なら、式の計算が合っていても最初の最小値の条件には戻りません。

二次関数の値を順に求めるときは、定数を決めてからグラフのどこが一番高いか、低いかを調べます。ここでは逆に、値を取る場所を仮定して定数を求め、その仮定と元の最大値・最小値に合うかを調べます。候補を出すことと、答えとして採用することは別の段階です。

要点（結論から）

• 上に開く放物線の最小は軸に最も近い点、最大は最も遠い端で取ります。
• 指定値の方程式を解いたら、その式を使った範囲に候補を戻します。
• 最大と最小の差は、全体の高さを変える項を消す手がかりです。

指定された値から何を探すか

問題には主に次のような型があります。いずれも定義域は端を含む固定された区間です。

1. 最小値が指定され、軸の位置を表す定数を求める型です。軸が区間内なら頂点、区間外なら近い端が最小の候補です。
2. 最大値が指定され、端点の値から定数を求める型です。上に開くグラフでは、軸から遠い端を選びます。両端が同じ値になる場合もあります。
3. 最大値と最小値の両方から2つの定数を決める型です。まず2つの値の差に注目すると、高さを一様に変える定数を消せることがあります。

必要なのは平方完成、一次不等式、2つの値の比較です。軸の位置による場合分けは、候補を見落とさないための道具として使います。閉区間では端点を含むので、軸が端点と一致する境界も採用できます。

最小を取る場所と最大を取る場所

まず y = (x − p)² + q を考えます。二次係数は 1 で 0 ではなく、放物線は上に開きます。軸は x = p、頂点は (p, q) です。定義域を L ≦ x ≦ R、ただし L < R とします。定数 p と q は実数です。

図1のように、y の大小は軸からの距離 |x − p| の大小で決まります。最小値を取る場所は、軸が区間の左なら左端 L、区間内なら p、右なら右端 R です。軸が端点と一致するときは頂点と端点が同じ点です。例えば p = L は左側の式でも中央の式でも同じ値を与えます。

最大値は両端のうち軸から遠いほうで取ります。区間内のどの点も、軸からの距離は両端の距離の大きいほうを超えないからです。両端から軸までの距離が等しいのは p = (L + R)/2 のときで、そのときは両端で最大値を取ります。最大値という数は1つでも、その値を取る x は2つありえます。

下に開く y = -(x − p)² + q なら、距離が小さいほど値は大きくなります。したがって上の最小と最大の位置が入れ替わります。二次係数が文字で変わる問題では、符号や 0 を別に確かめる必要がありますが、ここでは開き方が固定された式を扱います。

逆算の順番を整理しましょう。まず軸の位置によって、指定値を取る点とその値の式を決めます。次にその式を指定値に等しくして候補を求め、場合分けの範囲に戻します。最後に元の関数と区間で本当に指定された値が最大または最小かを調べます。式が解けても、範囲に入らなければ不適です。

基本例題：最小値から軸を探す

実数 a について、0 ≦ x ≦ 4 における y = (x − a)² の最小値が 1 となる a をすべて求め、整数で答えてください。また、その最小値を取る x も答えてください。

平方の係数は正なので、最小値は軸に最も近い点で取ります。まず a < 0 の場合、区間の左端 x = 0 が軸に最も近く、最小値は a² です。指定値を代入すると、次のようになります。

a² = 1
a = -1 または a = 1

この場合の条件は a < 0 です。a = -1 は条件に合いますが、a = 1 は合いません。a = 1 では軸が区間の中にあるので、左端の値を最小値として用いることはできません。

次に 0 ≦ a ≦ 4 なら軸が区間内にあり、x = a で最小値は 0 です。指定の 1 と異なるため、この範囲には答えがありません。軸がちょうど端点にある a = 0、4 も、最小値 0 に含めています。

最後に a > 4 なら、右端 x = 4 が最も軸に近くなります。最小値を 1 と置き、平方を解きます。

(4 - a)² = 1
4 - a = 1 または 4 - a = -1
a = 3 または a = 5

条件 a > 4 に合うのは a = 5 です。a = 3 は区間内に軸があるので除きます。図2の2本は採用する場合のグラフです。縦と横の縮尺は異なります。

答えは a = -1 のとき x = 0、a = 5 のとき x = 4 です。元の条件へ戻すと、a = -1 では区間内の x + 1 は 1 以上 5 以下なので、平方の最小は x = 0 で 1 です。a = 5 では 5 − x が 1 以上 5 以下なので、平方の最小は x = 4 で 1 です。どちらも指定値を実際に取り、それより小さい値を区間内で取りません。

この問題で候補を4つ書いて終えると、2つの不要な値が残ります。逆に、最初から左右の一方しか調べなければ、条件に合うもう一方を落とします。範囲と照合する作業は、余分な答えを消すと同時に、必要な場合を残すための作業です。

標準例題：最大値を取る端を決める

実数 a について、-1 ≦ x ≦ 3 における y = x² − 2ax の最大値が 8 となる a をすべて求め、分数または整数で答えてください。それぞれについて最大値を取る x も答えてください。

平方完成すると y = (x − a)² − a² です。二次係数は正で、軸は x = a ですから、最大値はどちらかの端点で取ります。中点は 1 なので、a が 1 より右なら左端が遠く、1 より左なら右端が遠くなります。端点の値でも同じ結論を確かめます。

y(-1) = 1 + 2a
y(3) = 9 - 6a
y(-1) - y(3) = 8a - 8

a ≧ 1 では左端の値が右端以上です。ここで最大値を 8 と置きます。

1 + 2a = 8
2a = 7
a = 7/2

7/2 ≧ 1 なので採用できます。x = -1 で 1 + 7 = 8、反対側の x = 3 では 9 − 21 = -12 です。左端が最大という判定と、指定値の両方が成り立ちます。

一方、a ≦ 1 では右端の値が左端以上です。右端の値を 8 と置きます。

9 - 6a = 8
-6a = -1
a = 1/6

1/6 ≦ 1 なのでこちらも採用します。x = 3 で 9 − 1 = 8、x = -1 では 1 + 1/3 = 4/3 です。よって答えは a = 7/2 のとき x = -1、a = 1/6 のとき x = 3 です。

境界 a = 1 は両方の条件に入れました。このとき両端の値はともに 3 で、指定値 8 ではありません。等号を片側にしか付けない分け方でも答えは同じですが、境界をどちらの式で計算しても一致することを確認すると、抜けや二重の数え間違いを防げます。

発展例題：最大値と最小値の差を使う

実数 a、b について、0 ≦ x ≦ 4 における y = x² − 2ax + b の最小値が -1、最大値が 8 です。条件を満たす組 (a, b) をすべて求め、それぞれ整数で答えてください。また両方の値を取る x を答えてください。

平方完成すると y = (x − a)² + b − a² です。軸は x = a、上に開くグラフです。最小値と最大値の差は 8 − (-1) = 9 です。b − a² は各点の値に同じように加わるため、差を取ると消えます。まず距離の平方の差で a を求め、後から b を決めます。

区間の端は 0 と 4、中点は 2 です。軸が端と中点のどこにあるかで、最小と最大を取る位置が変わります。境界を含めて次の4つを調べます。

a ≦ 0 では最小は x = 0、最大は x = 4 です。差を 9 と置きます。

(4 - a)² - a² = 9
16 - 8a = 9
a = 7/8

7/8 は a ≦ 0 に合いません。したがってこの範囲には答えがありません。

0 ≦ a ≦ 2 では最小は x = a、最大は x = 4 です。差は (4 − a)² となります。

(4 - a)² = 9
4 - a = 3 または 4 - a = -3
a = 1 または a = 7

範囲に合うのは a = 1 です。最小値の式 b − a² = -1 に戻すと b − 1 = -1、したがって b = 0 です。元の式は y = x² − 2x = (x − 1)² − 1 です。x = 1 で最小値 -1、x = 4 で最大値 8、もう一方の端 x = 0 で 0 です。

2 ≦ a ≦ 4 では最小は x = a、最大は x = 0 です。差は a² です。

a² = 9
a = -3 または a = 3

範囲に合う a = 3 を使います。b − 9 = -1 から b = 8 です。元の式は y = x² − 6x + 8 = (x − 3)² − 1 です。x = 3 で最小値 -1、x = 0 で最大値 8、もう一方の端 x = 4 で 0 です。

a ≧ 4 では最小は x = 4、最大は x = 0 です。

a² - (4 - a)² = 9
8a - 16 = 9
a = 25/8

25/8 は 4 未満なので、この範囲には答えがありません。4つの範囲は実数全体を覆い、重なった境界でも隣り合う式が一致します。a = 0、2、4 で差は順に 16、4、16 なので、指定された差 9 にはなりません。

答えは (a, b) = (1, 0)、(3, 8) です。前者は x = 1 で最小、x = 4 で最大、後者は x = 3 で最小、x = 0 で最大です。2組は左右対称ですが、対称性だけで他の組がないと判断せず、4つの場合を調べて候補を尽くしました。

標準例題との違いは、値の上下を決める b が加わっている点です。端の値をいきなり 8 にすると a と b の両方が残ります。差を使えば上下の移動を消せますが、差が 9 という条件だけでは高さが決まりません。最後に最小値 -1 を使って b を戻すことが必要です。

誤答を直す：方程式の解と問題の答え

基本例題で、a² = 1 から a = -1、1 とし、どちらも答えに入れる誤りを考えます。計算そのものは正しいものの、a² を最小値にしたのは a < 0 と仮定した場合です。図3のように a = 1 では軸が区間内に入り、x = 1 で y = 0 を取ります。左端では 1 ですが、それは最小値ではありません。

修正するときは、候補の横に元の仮定を書きます。a = 1 は a < 0 に反するので左端を使った場合からは除外します。さらに中央の場合にも戻して最小値 0 を確かめると、この候補が別の場合の答えでもないと判断できます。

最大値でも同じ注意が必要です。例えば上に開くグラフで片方の端の値が指定値に等しくても、もう片方の端がそれより大きければ指定値は最大値ではありません。また、最小値と最大値の差が指定の差に合っても、それぞれの高さが合わないことがあります。候補ごとに「位置」「大小」「指定された値」を確かめると、誤りの場所を特定できます。

練習問題

各問題の定数は実数とします。定義域は両端を含みます。指定された形で答え、値を取る x も求めてください。答えが存在しない場合は、その理由を書いてください。

1. 1 ≦ x ≦ 5 における y = (x − t)² + 2 の最小値が 6 です。t をすべて整数で求めてください。
2. 0 ≦ x ≦ 2 における y = (x − t)² の最大値が 9 です。t をすべて整数で求めてください。
3. 0 ≦ x ≦ 2 における y = x² − 2px の最大値が -1 です。p をすべて求めてください。
4. 0 ≦ x ≦ 2 における y = -(x − q)² + 5 の最小値が 1 です。q をすべて整数で求めてください。
5. 0 ≦ x ≦ 2 における y = x² − 2px + c の最小値が -2、最大値が -1 です。組 (p, c) をすべて整数で求めてください。

練習の答えと解き方

1

t < 1 なら最小値は (1 − t)² + 2 です。これを 6 と置くと (1 − t)² = 4、t = -1 または 3 です。t < 1 に合うのは -1 です。1 ≦ t ≦ 5 では最小値は 2 なので合いません。t > 5 なら (5 − t)² = 4 から t = 3 または 7 となり、範囲に合うのは 7 です。

答えは t = -1 のとき x = 1、t = 7 のとき x = 5 です。それぞれ軸から最も近い端までの距離は 2 で、値は 2² + 2 = 6 です。もう一方の端までの距離は 6 ですから、指定値より小さな値はありません。

2

上に開くので、最大値は軸から遠い端で取ります。中点は 1 です。t ≦ 1 なら右端で (2 − t)² = 9、t = -1 または 5 です。この範囲に合うのは -1 です。t ≧ 1 なら左端で t² = 9、t = -3 または 3 となり、合うのは 3 です。

答えは t = -1 のとき x = 2、t = 3 のとき x = 0 です。どちらも遠い端までの距離は 3、近い端までの距離は 1 なので、最大値は 9 です。境界 t = 1 では両端が最大ですが、その値は 1 であり、指定の 9 にはなりません。

3

答えは存在しません。どの p でも、定義域に含まれる x = 0 で y = 0 です。最大値はその値以上なので、-1 にはなりません。端点の一方で -1 を取る p が見つかっても、x = 0 の値と比較する前に採用できないことがわかります。

4

下に開くため、最小値は軸から遠い端で取ります。q ≦ 1 では右端が遠く、5 − (2 − q)² = 1 です。(2 − q)² = 4 から q = 0 または 4 となり、範囲に合うのは 0 です。q ≧ 1 では左端が遠く、5 − q² = 1 です。q = -2 または 2 のうち、範囲に合うのは 2 です。

答えは q = 0 のとき x = 2、q = 2 のとき x = 0 です。遠い端では軸からの距離が 2 なので値は 1、近い端は頂点で値 5 です。境界 q = 1 では両端の値が 4 となり、条件の 1 とは異なります。

5

平方完成すると y = (x − p)² + c − p² です。最大値と最小値の差は 1 です。p ≦ 0 では差が (2 − p)² − p² = 4 − 4p なので、4 − 4p = 1 から p = 3/4 です。これは p ≦ 0 に合いません。

0 ≦ p ≦ 1 では差が (2 − p)² です。これを 1 とすると p = 1 または 3 で、範囲に合うのは 1 です。1 ≦ p ≦ 2 では差が p² です。p² = 1 の候補 -1、1 のうち、範囲に合うのは 1 です。p ≧ 2 では差が p² − (2 − p)² = 4p − 4 です。4p − 4 = 1 から p = 5/4 ですが、範囲に合いません。

残る p = 1 では、最小値 c − 1 = -2 より c = -1 です。答えは (p, c) = (1, -1) です。元の式 y = (x − 1)² − 2 は x = 1 で -2、両端 x = 0、2 で -1 を取ります。軸からの距離は区間内で 0 以上 1 以下なので、この2つが指定された最小値と最大値です。p = 1 を隣り合う2つの場合で得ても、同じ1組として数えます。

要点を短く整理

• 上に開く放物線の最小は軸に最も近い点、最大は最も遠い端で取ります。
• 指定値の方程式を解いたら、その式を使った範囲に候補を戻します。
• 最大と最小の差は、全体の高さを変える項を消す手がかりです。
• 境界、両端の同値、答えがない場合も元の区間で確かめます。

どこで止まったかを見分ける

方程式は解けるのに答えが合わない場合は、候補の横に「どの点を最大または最小と仮定したか」を書いてみてください。その点が実際に区間内で最も軸に近いか、遠いかを数直線で確認します。軸が区間内なのに端を最小としたなら、計算をやり直す場所は平方根を求める行ではなく、最初の位置の判定です。

個別指導で確かめるなら、候補を1つ選び、軸と両端を図に置いて、値を取る x とその値を口に出して説明できるかを見ます。差を利用した問題では、差が合うことと各値が合うことを分けて尋ねます。指定値に戻して初めて、逆算した定数が答えになります。