高校数学I 二次関数の変わる定義域—片端が動く区間の存在条件を確認して値域を求める｜武蔵野個別指導塾

片端が動く定義域で空区間と1点の区間を見分け、頂点が入る時点と最大・最小を与える端点の切替えを区別します。

よくあるのは、復習中に文字を含む定義域を見て、端点の値をすぐ代入する場面です。例えば 2 ≦ x ≦ t と書かれていても、t が 2 より小さければ、2 以上かつ t 以下の x はありません。存在しない x に対応する値もありません。放物線の形を調べる前に、まず区間があるかどうかを確かめましょう。

何が動き、何を答えるのか

片端を固定し、もう一方の端を文字で動かす問題には、いくつかの型があります。右端が動く区間 L ≦ x ≦ t では、t が L 以上で初めて区間ができます。左端が動く区間 t ≦ x ≦ R では、t が R 以下で初めて区間ができます。文字の大小関係を逆にしないよう、数直線で左端と右端を書いてから考えます。

次に、区間が存在するときの値域を求める型があります。値域とは、許された x に対して関数が実際に取る y の値の範囲です。閉区間では端点も含むため、最大値と最小値を両端に含めた不等式で表せます。端点が一致するときは x が1個あり、値域も1個の値です。空区間と区別してください。

さらに、求めた値域がある条件を満たすように文字を逆算する型もあります。このとき、得た候補を元の区間の存在条件と、採用した最大値・最小値の分岐に戻すことが必要です。平方完成と一次不等式は、この確認に必要な範囲で使います。

端点と頂点を同じ数直線に置く

二次関数 y = a(x − p)² + q は a ≠ 0 です。軸は x = p、頂点は (p, q) です。a > 0 なら頂点に近いほど値が小さく、a < 0 なら頂点に近いほど値が大きくなります。これは (x − p)² が軸からの距離の2乗であり、a の符号によって値の増減の向きが決まるからです。

図1のように、右端 t を左から動かすと、固定端 L に到着するまでは区間が空です。L で初めて1点になり、それより右で長さを持ちます。頂点が区間内に入るのは t が p に達したときです。ただし、この図は L < p の場合です。固定端が頂点の右にある問題では、頂点は最初から区間に入りません。

図1のように区間の有無を先に判定した後、頂点と両端を比較します。上に開く放物線の最小値は、頂点が区間内なら頂点の値です。頂点が区間外なら、軸に近い端点の値です。一方、最大値は軸から遠い端点で取ります。左右の端が軸から同じ距離なら、両端で同じ最大値を取ります。

例えば L < p < t なら、固定端と動く端の距離はそれぞれ p − L、t − p です。両者が等しい境目は t = 2p − L です。頂点が入る境目 t = p と、遠い端が切り替わる境目 t = 2p − L は別です。下に開く場合は、同じ距離の比較で最大と最小の役割が入れ替わります。

基本例題：右端が頂点を越える

問題。y = (x − 2)² − 1 の定義域を 0 ≦ x ≦ t とします。実数 t の範囲ごとに値域を不等式で表し、値域がない場合も答えてください。

まず 0 ≦ x ≦ t を満たす x の有無を調べます。t < 0 では x が存在しません。t = 0 では x = 0 の1点です。t > 0 では閉区間ができます。以下では t ≧ 0 として計算します。

軸は x = 2 で、係数は正です。固定端の値と動く端の値は次のようになります。

f(0) = (0 - 2)² - 1 = 3
f(t) = (t - 2)² - 1
     = t² - 4t + 3

0 ≦ t ≦ 2 では区間が軸の左側にあります。x が 0 から t へ動くと軸までの距離が小さくなるため、最小値は f(t)、最大値は f(0) です。t = 0 でも両端は同じ点なので、この式は値域 3 ≦ y ≦ 3 を表します。

2 ≦ t では頂点が区間に入ります。最小値は -1 です。最大値は両端を比較します。

f(t) - f(0) = t² - 4t
                = t(t - 4)

今は t ≧ 2 なので t は正です。したがって 2 ≦ t ≦ 4 では f(t) ≦ f(0)、t ≧ 4 では f(t) ≧ f(0) です。t = 4 では両端が同じ高さです。

図2では縦横を同じ縮尺にそろえ、点 (0, 3)、(2, -1)、(4, 3) と、横軸との交点 (1, 0)、(3, 0) を描きます。頂点が入る境目は t = 2、最大値を取る端が変わる境目は t = 4 です。両端で決まる境目は頂点の位置そのものではありません。

答えは次のとおりです。

t < 0          値域なし
0 ≦ t ≦ 2    t² - 4t + 3 ≦ y ≦ 3
2 ≦ t ≦ 4    -1 ≦ y ≦ 3
t ≧ 4          -1 ≦ y ≦ t² - 4t + 3

境界が2行に重なっていますが、t = 2 ではどちらも -1 ≦ y ≦ 3、t = 4 でもどちらも -1 ≦ y ≦ 3 です。例えば t = 1 では区間は 0 ≦ x ≦ 1 で、端の値は 3 と 0 です。t = 3 では頂点を含み、端の値は 3 と 0 です。t = 5 では端の値は 3 と 8 なので、右端が最大です。各値を元の式に戻すと、区間の条件と一致します。

標準例題：左端が動き、下に開く

問題。y = -(x − 1)² + 4 の定義域を s ≦ x ≦ 3 とします。実数 s に応じた値域を不等式で表し、区間が空の場合も答えてください。

右端が 3 に固定されているので、区間の存在条件は s ≦ 3 です。s > 3 では値域がありません。s = 3 では x = 3 の1点です。係数は -1 で、軸は x = 1、頂点の値は 4 です。端点の値は次のとおりです。

f(3) = -(3 - 1)² + 4 = 0
f(s) = -(s - 1)² + 4

1 ≦ s ≦ 3 では区間が軸の右側です。軸に近い左端で最大、遠い右端で最小となります。よって 0 ≦ y ≦ -(s − 1)² + 4 です。s = 3 では 0 ≦ y ≦ 0 となり、1点の値域を表します。

s ≦ 1 では頂点を含むので最大値は 4 です。最小値は軸から遠い端で取ります。右端までの距離は 2、左端までの距離は 1 − s です。

1 - s = 2
s = -1

-1 ≦ s ≦ 1 では右端が少なくとも同じだけ遠く、最小値は 0 です。s ≦ -1 では左端が少なくとも同じだけ遠く、最小値は f(s) です。s = -1 では両端で 0 を取ります。

s > 3          値域なし
1 ≦ s ≦ 3    0 ≦ y ≦ -(s - 1)² + 4
-1 ≦ s ≦ 1   0 ≦ y ≦ 4
s ≦ -1         -(s - 1)² + 4 ≦ y ≦ 4

s = 1 と s = -1 では隣り合う式が一致します。s = -2 では左端の値は -5、頂点の値は 4、右端の値は 0 です。s = 2 では端点の値は 3 と 0 で、頂点 x = 1 は区間外です。s = 3 では元の定義域に戻して x = 3、y = 0 と確認できます。上に開く基本例題と比較すると、軸に近い点が与えるのは最大値になっています。

発展例題：値域の幅から端を逆算する

問題。y = (x − 3)² の定義域を 1 ≦ x ≦ u とします。値域の最大値と最小値の差が 5 となる実数 u を、根号を用いて正確に求めてください。

区間が空なら最大値と最小値はありませんから、まず u ≧ 1 が必要です。軸は x = 3 で、固定端の値は 4 です。頂点が入る境目は u = 3、両端が軸から等距離になる境目は u = 5 です。

1 ≦ u ≦ 3 では、最大値は 4、最小値は (u − 3)² です。幅を 5 と置くと、

4 - (u - 3)² = 5
(u - 3)² = -1

実数の2乗は負にならないので、この範囲に解はありません。これは計算が失敗したのではなく、指定された幅を作れないことを示しています。

3 ≦ u ≦ 5 では、最小値が 0、最大値が 4 です。幅は 4 なので条件に合いません。u ≧ 5 では、最小値は 0、最大値は (u − 3)² です。

(u - 3)² = 5
u - 3 = √5 または u - 3 = -√5

ここでは u ≧ 5 なので u − 3 ≧ 2 です。負の候補は範囲外で、正の候補 3 + √5 は 3 + √5 > 5 を満たします。したがって、答えは u = 3 + √5 です。

実際に区間は 1 ≦ x ≦ 3 + √5 で、頂点 x = 3 を含みます。右端の値は (√5)² = 5、固定端の値は 4、頂点の値は 0 です。よって値域は 0 ≦ y ≦ 5 で、幅は確かに 5 です。候補を式に入れるだけでなく、採用した端が本当に最大となることまで戻して確かめます。

空区間で値を作る誤りを直す

誤答例として、基本例題で t = -1 のとき、f(0) = 3、f(-1) = 8 だから 3 ≦ y ≦ 8 とする考えを見ます。計算した2つの値自体は正しいものの、どちらの x も 0 ≦ x ≦ -1 を満たしません。端点として式に書かれていても、左右の順序が逆なら定義域の点ではありません。

図3のように、0 以上と -1 以下を同時に満たす位置はありません。したがって値域は空で、最大値も最小値も存在しません。これに対して t = 0 なら x = 0 が許され、値域は y = 3 です。空と1点を同じ「幅がないもの」として処理すると、この違いを落とします。

修正するときは、端点への代入の前に「左端 ≦ 右端」を書きます。等号が成り立つ場合は、その1点を元の式へ代入します。区間ができる範囲だけで頂点や距離を比べれば、存在しない端点から値域を作る誤りを防げます。

もう1つの誤りは、頂点が入った瞬間に最大値も動く端で取ると決めることです。基本例題で t = 3 のとき、頂点は入りますが、固定端から軸までの距離は 2、動く端から軸までの距離は 1 です。最大値は固定端の 3 です。最小値の切替えと最大値の切替えを別々の問いとして扱います。

練習問題

各問の文字は実数です。値域を問う問題では、不等式で答え、空区間も明記してください。

1. y = (x − 4)²、2 ≦ x ≦ v の値域を v の範囲ごとに求めてください。
2. y = -(x + 1)² + 9、w ≦ x ≦ 1 の値域を w の範囲ごとに求めてください。
3. y = (x + 2)² + 1、-1 ≦ x ≦ r の値域を r の範囲ごとに求めてください。
4. y = -(x − 2)² + 6、0 ≦ x ≦ h について、値域が1個の値となる h とその値を求めてください。
5. y = (x − 1)²、-2 ≦ x ≦ k について、値域の最大値が 16 となる k を整数で求めてください。

練習の答えと道筋

1. 存在条件は v ≧ 2 です。軸は 4、固定端の値は 4、動く端の値は (v − 4)² です。頂点が入るのは v ≧ 4、両端が等距離になるのは v = 6 です。

v < 2          値域なし
2 ≦ v ≦ 4    (v - 4)² ≦ y ≦ 4
4 ≦ v ≦ 6    0 ≦ y ≦ 4
v ≧ 6          0 ≦ y ≦ (v - 4)²

v = 2 では x = 2 の1点で y = 4、v = 4 では頂点の値が 0 です。v = 6 では両端の値がともに 4 となり、隣り合う答えも一致します。

2. 存在条件は w ≦ 1 です。軸は -1、右端の値は 5、左端の値は -(w + 1)² + 9 です。頂点が入る境目は w = -1、両端が等距離になる境目は w = -3 です。

w > 1           値域なし
-1 ≦ w ≦ 1   5 ≦ y ≦ -(w + 1)² + 9
-3 ≦ w ≦ -1  5 ≦ y ≦ 9
w ≦ -3          -(w + 1)² + 9 ≦ y ≦ 9

w = 1 なら x = 1、y = 5 の1点です。w = -3 では両端の値が 5 で、頂点の値は 9 です。下に開くため、軸に遠い方が小さい値を与えます。

3. r < -1 なら区間は空です。r ≧ -1 なら区間全体が軸 x = -2 の右側にあるので、固定端で最小、動く端で最大です。

r < -1     値域なし
r ≧ -1     2 ≦ y ≦ (r + 2)² + 1

r = -1 のときは x = -1 の1点で y = 2 です。r が大きくなっても頂点は定義域に入らないため、頂点の値 1 を最小値にしてはいけません。

4. h < 0 では値域がなく、1個の値ではありません。h = 0 では x = 0 の1点なので y = 2 です。h > 0 なら区間内には 0 と、0 より大きく 2 以下の点を選べ、その点の値は 2 より大きくなります。したがって答えは h = 0、値は 2 です。例えば選ぶ点を h ≦ 2 なら h、h > 2 なら 2 とすれば、どちらも区間に入り、値が異なることを確認できます。

5. k ≧ -2 が区間の存在条件です。固定端の値は 9、頂点の値は 0 です。最大値が 16 となるには動く端が固定端より遠く、

(k - 1)² = 16
k - 1 = 4 または k - 1 = -4
k = 5 または k = -3

k = -3 は存在条件に反します。k = 5 では区間は -2 ≦ x ≦ 5、両端の値は 9 と 16 で、頂点も入ります。よって求める整数は k = 5 です。

手元に残す要点

• 左端と右端の順序で、空・1点・長さのある区間を区別します。
• 頂点が入る境目と、遠い端が切り替わる境目を別に求めます。
• 係数が負なら、軸に近い点と遠い点の最大・最小が逆になります。
• 境界で隣り合う式を照合し、求めた候補を元の条件に戻します。

自分の答案を点検する場所

値域の式を書き始める前に、文字に固定端より小さい値、等しい値、大きい値を順に入れてみてください。空のときにも端点を代入しているなら、区間の存在判定からやり直します。1点のときに不等式の両端が一致しないなら、端点の扱いを見直します。

個別指導で確かめるなら、まず数直線に固定端、軸、動く端を置き、どの点が区間に含まれるかを言葉にしてもらいます。次に各端の軸からの距離を式にし、等しくなる境界を説明できるかを見ます。最後に境界の左右で実際の値を代入し、最大と最小の候補が逆転する理由を確認します。定義域が存在するところから、値域の議論が始まります。