高校数学II 三角関数のグラフの変形—角の係数をくくり移動と拡大縮小を読み取る｜武蔵野個別指導塾

2x-π/2の零点と周期を座標対応から追い、負の係数や正接の未定義点まで追うグラフ変形を学べます。

よくあるのは、高2が三角関数のグラフを描くとき、角の係数を無視して横移動を読む場面です。sin(2x-π/2)の「-π/2」だけを見て右へπ/2移すと、山も零点も本来の位置からずれます。まず角全体を2(x-π/4)と見て、元のグラフの点がどこへ移るかを調べましょう。角の変化と横座標の変化を分けると、縮小と移動が重なる場合にも道筋が見えます。

問われ方と最初の判断

式から概形を描く問題では、中心線、上下の幅、周期、代表点の順に調べます。正弦や余弦なら、一周期を4等分した5点を対応させると、山と谷を取り違えにくくなります。横軸と交わる点は、中心線が横軸と違うときには中心線との交点と同じとは限りません。

次に、指定された区間内で最大値や最小値を読む問題があります。全体の振幅だけで答えず、区間に山や谷が実際に入るかを確かめます。端点を含むかも重要です。点を移した後で指定範囲からはみ出した点は、その区間の答えに使えません。

正接では、波の上下の幅を考えるより先に、式が定義されない位置を探します。枝の端にある未定義点を曲線で結んではいけません。どの型でも共通の出発点は、元の角を1つの文字に置き、その角とxの対応を解くことです。

座標を対応させる

元の曲線をy=f(u)とし、変形後をy=A f(Bx+C)+Dとします。ここではBは0でない実数です。元の点を(u, v)とするとv=f(u)ですから、対応する点の座標は次の関係で決まります。

u = Bx+C
x = (u-C)/B
y = Av+D

この対応は点を左右どちらへ運ぶかも教えてくれます。Bが正ならuの増加とxの増加は同じ向きです。Bが負なら向きが逆になります。横の距離は1/|B|倍、縦の値はA倍してからDを足します。Aが負なら中心線y=Dに関して上下が反転します。A=0なら、元の関数が定義される場所ではy=Dですが、tanを含む式の未定義点は消えません。

角をB(x+C/B)とくくれば、元の角が0になる位置はx=-C/Bです。したがって、横移動の符号と量は-C/Bで読みます。Cだけを移動量にしてはいけません。ただし移動前の横の縮小をどの順で描くかで言い方が変わるため、点の対応式を基準にすれば順序に迷いません。

図1のように、元の正弦曲線の5点を角uからxへ移します。図の例はu=2(x-π/4)です。元の0、π/2、π、3π/2、2πにそれぞれπ/4、π/2、3π/4、π、5π/4が対応します。角が2π進む間にxはπ進むので、周期はπです。

図1の対応は、曲線を点ごとに写した結果です。一般にsinとcosの最小正周期は2π/|B|、tanはπ/|B|です。ただしA=0のとき、正弦と余弦は定数となり最小正周期はありません。Aが0でない場合は、元の最小正周期を横の倍率1/|B|で変えます。正接では未定義点も同じ倍率で並び、その間隔が周期になります。

正弦と余弦でAが0でない場合、中心線はy=D、振幅は|A|です。全実数で見た値の範囲はD-|A|以上D+|A|以下です。Aの符号は振幅には含めず、山と谷の反転を別に追います。正接には有限の最大値と最小値がないため、振幅という言葉を同じ意味では使いません。

基本例題：角をくくって5点を写す

問題。y=2 sin(2x-π/2)+1のグラフについて、1周期分の代表的な5点、中心線、振幅、周期を求めて描きます。5点のx座標はπを含む厳密値で答え、角が0から2πまで動く部分を使ってください。

まず2は0でないので横座標の対応を解けます。角をuと置きます。

u = 2x-π/2
u = 2(x-π/4)
x = u/2+π/4

元のy=sin uで、uが0、π/2、π、3π/2、2πのとき、値は順に0、1、0、-1、0です。それぞれを対応式に代入し、縦の値には2倍して1を足します。

中心線はy=1、振幅は2、周期はπです。図2のように5点を滑らかにつなぎ、両側にも同じ形を繰り返します。中心線との交点の高さは1なので、これらを横軸上に置かないことが必要です。

例えばx=π/2では角がπ/2となり、元の正弦の値1からy=3が得られます。x=5π/4では角が2πとなり、最初の点と同じ高さ1に戻ります。xの差はπですから、指定した1周期分という条件にも合います。点が合うことだけでなく、その間に角が0から2πまで順に進むことも確認しましょう。

標準例題：負の角の係数を追う

問題。y=-3 cos(-2x+π)+2について、角が0から2πまで増えるときに対応する5点、中心線、振幅、周期を求めます。座標はπを含む厳密値で表し、点はxの小さい順に並べてください。

角をu=-2x+πと置きます。係数-2は0でないので、次のように解けます。

u = -2x+π
x = (π-u)/2

uが0から2πへ増えると、xはπ/2から-π/2へ減ります。元の余弦の値は順に1、0、-1、0、1ですが、xの小さい順は逆です。縦座標には-3倍して2を加えます。

中心線はy=2、振幅は3、周期はπです。例えばx=0では角がπ、余弦が-1なのでy=5です。両端では角がそれぞれ2πと0となり、いずれもy=-1です。角の向きの逆転と、係数-3による上下反転は別々の操作です。片方を忘れると表の対応が崩れます。

発展例題：正接の枝と未定義点

問題。y=tan(2x-π/2)+1について、0≤x≤2πで定義されないxをπを含む厳密値で列挙し、中心となる点と周期を使ってグラフの描き方を説明します。

正接は角の余弦が0のとき定義されません。nを整数として、未定義の角はπ/2+nπです。角の係数2は0でないため、次のように対応を戻します。

2x-π/2 = π/2+nπ
2x = π+nπ
x = π/2+nπ/2

指定区間の未定義点は0、π/2、π、3π/2、2πです。端点も式が定義されないため曲線に含めません。正接の角が0となるx=π/4ではy=1です。ここから横にπ/2進むと角がπ進むので、周期はπ/2です。例えば区間0<x<π/2の枝は(π/4, 1)を通り、両端の直線に近づきますが、両端で値を持ちません。

x=3π/4でも角はπとなり、y=1です。2つの中心点の間隔がπ/2で、未定義点の間隔とも一致します。指定区間の各開区間に同じ形の枝を描き、未定義点を越えて1本の線にしないことが条件への戻し方です。

誤答から移動量を直す

基本例題で、2x-π/2を見て「右へπ/2」としてしまうと、元の角0の点をx=π/2に置くことになります。しかしそこでは角はπ/2です。図3のように、誤った位置と正しい位置を角そのものに代入して比べると、ずれの原因を特定できます。

原因は、引かれる量π/2をxの単位と見なしたことです。正しくは2x-π/2=2(x-π/4)とくくり、角0に対応するx=π/4を使います。図3の正しい位置に戻すと、基本例題の中心線との交点が表と一致します。

別の失敗は、縦の移動後にも横軸との交点が同じだと考えることです。基本例題では元の値0が高さ1へ移るので、横軸との交点とは区別します。また正接では、移動した未定義点を曲線上の点として塗ってしまうことがあります。点の値を計算する前に角の余弦が0かどうかを調べれば、この誤りを避けられます。

練習問題

各問とも角はラジアンとし、座標と周期はπを含む厳密値で答えてください。グラフは代表点と必要な未定義点を示して描きます。

1. y=sin(3x+π)について、角が0から2πまで進む部分の5点と周期を求めます。
2. y=-2 cos(x-π/3)-1の中心線、振幅、周期と、角が0、π/2、πのときの対応点を求めます。
3. y=sin(-x+π/2)について、0≤x≤πでの最大値と最小値、それぞれを取るxを求めます。
4. y=tan(x/2+π/4)-2について、-π≤x≤3πでの未定義点を列挙し、周期と、角が0に対応する点を求めます。
5. y=3 sin(x/2)-1について、0≤x≤πでの最大値と最小値、それぞれを取るxを求めます。

練習の解答と解き方

1. 横に縮めてから位置を対応させる

u=3x+πとすると、3は0でないのでx=(u-π)/3です。u=0、π/2、π、3π/2、2πを順に代入すると、対応する点は次の通りです。

(-π/3, 0)、(-π/6, 1)、(0, 0)、(π/6, -1)、(π/3, 0)

最初と最後のxの差は2π/3で、周期も2π/3です。左端では角0、右端では角2πとなるため、与えられた角の範囲をちょうど1回通ります。例えば中央のx=0では角πで、元の式の値も0です。

2. 中心線と上下反転を分ける

u=x-π/3ならx=u+π/3です。角が0、π/2、πのとき、余弦の値は順に1、0、-1です。よって対応点は次のようになります。

(π/3, -3)、(5π/6, -1)、(4π/3, 1)

中心線はy=-1、振幅は2、周期は2πです。最初の点は中心線より2下、最後の点は2上です。元の式へx=4π/3を入れると角はπ、値は1となり、上下反転を含めて一致します。

3. 角の範囲を逆順に戻す

u=-x+π/2とすると、0≤x≤πに対して-π/2≤u≤π/2です。uはxと逆向きに動きます。この範囲の正弦は-1から1までの値を取り、1はu=π/2、-1はu=-π/2で取ります。

したがって最大値は1でx=0、最小値は-1でx=πです。どちらの端点も指定区間に含まれます。実際に元の式に代入すると、順にsin(π/2)=1、sin(-π/2)=-1です。全体の振幅から値を推測するだけでなく、その値を取る点が区間内にあることまで確認します。

4. 未定義点を先に分ける

正接の角がπ/2+nπのとき未定義です。nは整数として、角の式を解きます。

x/2+π/4 = π/2+nπ
x/2 = π/4+nπ
x = π/2+2nπ

指定区間に入る未定義点はπ/2、5π/2です。-πと3πはどちらも未定義点ではありません。角が0のときx=-π/2で、対応点は(-π/2, -2)です。周期は2πです。2つの未定義点の間隔も2πで、対応点では正接の値が0なので縦移動後の高さ-2に戻ります。枝は未定義の2本の直線を越えてつなぎません。

5. 限られた区間で山に届くかを見る

u=x/2と置くと、0≤x≤πから0≤u≤π/2です。この範囲のsin uは0から1まで増えます。3は正なので、3倍して1を引いても大小の順は変わりません。

最小値 = 3・0-1 = -1
最大値 = 3・1-1 = 2

最小値はx=0、最大値はx=πで取ります。両端を元の式に代入するとそれぞれ-1、2で、指定区間の両端が含まれることも満たします。全体の谷に当たる値-4は、この区間の角が3π/2まで進まないため取れません。

覚えておくこと

角u=Bx+Cを置き、x=(u-C)/Bで点を戻します。 横の倍率は1/|B|、負のBでは点の順が逆です。 縦はA倍の後にDを足し、正接の未定義点も移します。 制限区間では端点と山・谷の位置を確認します。

つまずきの見分け方

自分の描いた点を1つ選び、そのxを元の角に戻して、対応する元の点の角になるかを説明してみます。角は合うのに高さが違うなら、縦の倍率か移動を調べます。高さは合うのに点の順が違うなら、Bの符号と、角が増える向きを調べます。

個別指導で確かめるときも、完成した曲線だけでなく、角をくくった式、5点の表、定義されない位置を順に見ます。途中で誤った移動量を選んだ場合は、角0になるxを代入して根拠を言葉に戻します。区間内の最大値を扱う場合は、山の位置が区間に入るか、端点を含むかまで問い直します。点と角の対応が、グラフの形を支えます。