高校数学II グラフからの式の決定—山と谷と零点を条件にして係数と位相を絞る｜武蔵野個別指導塾

山と谷の高さから振幅を計算し、隣り合う山の間隔と通過方向を使って式の係数を絞ります。

よくあるのは、高2がグラフから求めた式と答えの式を見比べ、文字の並びが違うという理由で自分の式を誤答と決める場面です。山の位置を基準にするか、中央の高さを上向きに通る位置を基準にするかで、同じ曲線にも異なる表し方が生まれます。まず与えられた条件で曲線が定まるかを調べ、そのうえで指定された形に整えます。

どの情報から何を決めるか

山と谷の高さがわかる型では、上下の幅から振幅を、その中間から中心の高さを求めます。続いて隣り合う山の間隔、または山から隣の谷までの間隔から周期を定めます。最後に山や上向きの中心通過点を使って位相を選びます。高さだけでは横方向の位置を決められないので、順序を分けると条件の使い忘れを防げます。

周期と1つの通過点が与えられる型では、その点が上向きか下向きかまで必要です。中心の高さを通る点には、1周期に上向きと下向きの2種類があります。点の座標だけで位相を選ぶと、山と谷が逆になる候補を取り違えることがあります。

一方、2つの山が指定されても、隣り合うとは限らなければ周期は一意に決まりません。間に別の山がある可能性が残るからです。情報が足りない場合は無理に1つの式を選ばず、異なる式を2つ示して、どちらも条件を満たすことを確かめます。

振幅、周期、位相を分けて読む

ここでは y = A sin(Bx+C)+D または y = A cos(Bx+C)+D を考えます。A > 0、B > 0とし、Cは問題ごとに指定された範囲に入れます。Aは振幅、Dは中心の高さです。Bが正なので、xが増えるにつれて角Bx+Cも増えます。Cはx = 0での角で、ここでは位相と呼びます。グラフを横にどれだけ移したかは -C/B であり、Cそのものとは異なります。

最大値をM、最小値をmとすると、正の振幅と中心は次のように求まります。

A = (M-m)/2
D = (M+m)/2

sinとcosの基本周期は2πです。角が2π進むと同じ状態に戻るため、xの周期TはT = 2π/Bです。山から隣の谷までは半周期、山から次の上向きの中心通過点までは3周期の4分の1です。左右の向きを読み違えないよう、どの点を起点にしているかを言葉にします。

図1のように、中心を上向きに通ってから山、下向きの中心通過、谷へと進みます。横の間隔がそれぞれT/4です。図1では山と谷の高さの差が2Aで、その中点がDです。図の曲線は一例であり、指定された範囲の外にも周期的に続きます。

sin型では、上向きに中心を通るx = pにおいて角を0とみなせます。したがってBp+Cは2πの整数倍です。cos型では、山のx = qにおいてBq+Cが2πの整数倍です。どちらも整数倍の違いは同じ値を与えますが、指定されたCの範囲に入る代表を最後に選びます。

零点はy = 0の点です。Dが0でなければ中心通過点の高さはDなので、零点と中心通過点を同一視できません。たとえばDが振幅より大きいと曲線はx軸に届かず、零点は存在しません。高さ0と中心の高さを最初に区別しておきます。

基本例題：上向きの零点を使う

最大値が2、最小値が-2で、隣り合う山のx座標がπ/2と5π/2です。また、x = 0でx軸を上向きに通ります。この曲線を y = A sin(Bx+C)+D の形に表してください。ただしA > 0、B > 0、0 ≤ C < 2πとし、係数は厳密な値で答えます。

最大値と最小値から、中心と振幅を計算します。

A = (2-(-2))/2
A = 2
D = (2+(-2))/2
D = 0

隣り合う山の間隔が周期です。間に山がないという条件があるので、間隔をそのまま周期にできます。

T = 5π/2-π/2
T = 2π
B = 2π/T
B = 1

x = 0では角がCです。上向きに中心を通るsinの角は2πの整数倍なので、指定範囲ではC = 0です。よって求める式は y = 2 sin x です。

図2のように、原点から上がり、x = π/2で高さ2の山になります。次の山はx = 5π/2です。図2で山の間にある谷はx = 3π/2、高さ-2であり、求めた式の周期と高さの両方を確認できます。原点を通るという条件だけでは y = -2 sin x も通りますが、そちらは原点で下向きです。上向きという情報が候補を区別しています。

同じ曲線は y = 2 cos(x-π/2) とも表せます。cos(x-π/2) = sin x ですから、任意のxで値が一致します。こちらはcos型であり、求める形がsin型と指定されている場合には、その指定に合わせて答えます。式が異なることと曲線が異なることは同じではありません。

標準例題：中心がx軸からずれるとき

最大値が5、最小値が1で、隣り合う山のx座標が1と5です。x = 1で山になる曲線を y = A cos(Bx+C)+D の形に表してください。A > 0、B > 0、0 ≤ C < 2πとし、係数はπを用いた厳密な値で答えます。

上下の高さと山の間隔から、次のように定まります。

A = (5-1)/2
A = 2
D = (5+1)/2
D = 3
T = 5-1
T = 4
B = 2π/4
B = π/2

山ではcosの角が2πの整数倍です。x = 1を代入すると、π/2+Cが2πの整数倍になります。0 ≤ C < 2πを満たすのはC = 3π/2です。

y = 2 cos(πx/2+3π/2)+3

x = 1では角が2πとなり高さ5、x = 5では角が4πとなり再び高さ5です。x = 3では角が3πとなって高さ1です。山の間隔が4で、途中の谷が1つという条件にも戻ります。中心の高さは3で、最小値が1なので、この曲線はx軸と交わりません。中心を通る点を零点と呼ぶと存在しない交点を作ってしまいます。

同じ曲線を y = 2 cos(π(x-1)/2)+3 と書いても正しい曲線です。角の差は2πであるためです。ただし展開するとC = -π/2となり、指定された位相範囲には入りません。曲線の一致と解答形式の適合を別々に判定します。

発展例題：条件不足を見抜く

ある曲線は y = sin(Bx) の形で、B > 0です。x = π/2とx = 5π/2でともに高さ1の山になります。この条件からBが一意に決まるか答え、一意でなければ条件に合う異なるBを2つ厳密な値で示してください。2つの山が隣り合うとは指定されていません。

B = 1では、両方の角がそれぞれπ/2、5π/2です。どちらもsinの山なので条件を満たします。B = 5でも、角は5π/2、25π/2となり、やはり両方とも山です。2つの値は異なるため、Bは一意ではありません。

この2つの曲線は同じものではありません。たとえばx = π/10では、B = 5の曲線は高さ1ですが、B = 1の曲線は高さ1になりません。指定された2点で一致しても、その間に何回振動するかは異なり得ます。B = 1では指定された山が隣り合い、B = 5では間に別の山があります。条件に「隣り合う」が追加された場合に限り、この間隔2πを周期としてB = 1と決められます。

誤答から条件を戻す

基本例題について「y = 2 cos x も高さ2と-2を取るから同じグラフ」と答えたとします。高さの幅と周期は合っていますが、x = 0で2となり、原点を通りません。高さと周期を照合した時点で判定を終え、位相を確認しなかったことが原因です。

図3のように、同じ振幅と周期でも山の位置がずれます。図3では紺の曲線が原点を上向きに通るsin型、赤の曲線がx = 0で山になるcos型です。両者を重ねて見ると、山の横座標が一致しないことがわかります。修正には、まず指定された通過点の座標を代入し、次に進む向きを確かめます。y = 2 cos(x-π/2) なら原点で0となり、その後に正の値を取るので、基本例題の曲線に一致します。

逆に、見た目が違う式を即座に誤りとするのも危険です。角の差が2πの整数倍なら同じ三角関数の値を取ります。またsinとcosは角をπ/2ずらすと一致します。等式を使って任意のxで一致することまで確かめれば、数点だけの偶然の一致と区別できます。

練習問題

各問の係数は厳密な値で答えてください。A > 0、B > 0とし、位相Cは0 ≤ C < 2πに入れます。山や谷が隣り合うと明記された場合、その間に別の山や谷はありません。

1. 最大値3、最小値-3、周期πの曲線がx = 0でx軸を上向きに通ります。y = A sin(Bx+C)+Dを求めてください。
2. 最大値4、最小値-2の曲線で、隣り合う山がx = 0とx = 6にあります。y = A cos(Bx+C)+Dを求めてください。
3. 最大値1、最小値-1の曲線で、x = π/2に山があり、その右隣の谷がx = 3π/2にあります。y = A cos(Bx+C)+Dを求めてください。
4. y = 4 sin(x+π/2) と y = 4 cos x は同じ曲線ですか。任意のxについて理由を示してください。またx = 0の高さと周期を答えてください。
5. y = sin(Bx)、B > 0がx = πとx = 5πでともに0となるとします。この情報だけでBは一意ですか。一意でなければ異なる値を2つ示し、各点での値を確かめてください。

練習問題の解答と解き方

1. 最大値と最小値からA = 3、D = 0です。周期πよりB = 2π/π = 2です。x = 0で上向きに中心を通るのでC = 0です。答えは y = 3 sin 2x です。x = π/4では角がπ/2となり高さ3、x = 3π/4では角が3π/2となり高さ-3です。x = πで角が2πに戻り、指定周期にも合います。原点から右へ少し進むと正になることも向きの確認です。

2. A = (4-(-2))/2 = 3、D = (4+(-2))/2 = 1です。隣り合う山の間隔からT = 6、B = π/3です。x = 0で山なので、指定範囲のCは0です。答えは y = 3 cos(πx/3)+1 です。x = 0と6で高さ4、間のx = 3で高さ-2となります。中心の高さ1と零の高さは異なるため、中心通過点をそのまま零点として読まないことも確かめます。

3. A = 1、D = 0です。山から右隣の谷までの距離はπなので、半周期がπ、周期は2πです。したがってB = 1です。山の条件からπ/2+Cが2πの整数倍となり、指定範囲ではC = 3π/2です。答えは y = cos(x+3π/2) です。x = π/2で高さ1、x = 3π/2で高さ-1です。山と谷が隣り合うので、途中に別の山や谷を入れない周期になっています。

4. sin(x+π/2) = cos x なので、任意のxで同じ曲線です。x = 0ではどちらも高さ4で、周期は2πです。原点での高さと周期が一致することは必要な確認ですが、それだけでは一般に同一性の証明になりません。ここでは角の関係式が任意のxで成立するので同一と判断できます。

5. 一意ではありません。B = 1なら角はπと5π、B = 2なら角は2πと10πで、いずれもsinの値は0です。たとえばx = π/4では前者が√2/2、後者が1となるので曲線は異なります。零点の指定だけでは、その間にある零点の個数や通過方向を決めていません。指定された点を両方通ることと、曲線が1本に決まることを分けて考えます。

覚えておくこと

最大値と最小値から振幅と中心を求めます。
隣り合う同種の点の間隔から周期を求めます。
通過方向または山の位置から位相を選びます。
別の式は恒等式と指定範囲の両方で判定します。

つまずきの見分け方

振幅を最大値そのものと答えたときは、中心が0でないグラフで山から中心までの距離を指せるか確かめます。周期を山と谷の間隔と答えたときは、その先の次の山までを描き、半周期と1周期を分けて説明できるか見ます。位相の符号に迷うときは、移動量だけを暗記せず、指定された点のxを角に代入して山や上向きの通過に対応するか調べます。

個別指導では、まず本人に図から読み取った量と、そこから計算した量を別々に書いてもらいます。次に、隣り合うという条件を取り去った場合に何が決まらなくなるかを問い、別の候補を作って元の条件へ戻します。最後に同じ曲線を表す別の形を比べ、恒等式による一致と位相の範囲への適合をそれぞれ説明できるか確かめます。山の高さ、横の間隔、通過の向きをつなぐことで、式の候補を根拠を持って絞れます。