高校数学II 正接のグラフ—定義域を区切り漸近線と周期から各枝を描く｜武蔵野個別指導塾

正接の零点と未定義の角を先に定め、π周期で枝を移しながら漸近線の両側を描き分けます。

よくあるのは、正接のグラフを描くとき、紙の上で途切れた曲線をなめらかにつなぎたくなる場面です。高2の学習では、右上へ伸びた線と、少し右の左下から現れた線を、縦の線を越えて結んでしまうことがあります。しかし、その縦線の位置には正接の値がありません。線が紙の外に出ることと、そこで値が定義されないことを分けて考えます。

何を手がかりに描くか

正接の基本グラフでは、まず描いてはいけない縦線の位置を探します。次に横軸との交点を入れ、最後にその間の枝の向きを調べます。角を横軸、正接の値を縦軸に取り、角はラジアンで表します。

問いの型は主に3つあります。指定範囲のグラフを描くときは、範囲内の未定義点と端点を先に印します。点がグラフ上にあるかを問われたら、横座標で正接が定義されるかを確かめてから値を調べます。周期を使って別の枝を描くときは、横方向にπだけ移した対応点と、枝を区切る縦線を同時に移します。

この順序なら、定義されない角を途中の計算で見失いにくくなります。以下では基本の y = tan x を扱い、係数や平行移動を加えたグラフには広げません。

正接の値と枝の境界

単位円上で角 x に対応する点の横座標は cos x、縦座標は sin x です。cos x が0でないとき、tan x = sin x/cos x と定義します。cos x = 0 となる x = π/2 + nπ では割ることができません。ここで n は整数です。したがって、これらの角を定義域から除きます。

図1のように、未定義の位置に縦の破線を引くと、隣り合う破線の間に1本ずつ枝が入ります。破線はグラフの一部ではありません。枝がその線に近づきながら上下へ伸びるため、この直線を漸近線と呼びます。

図1の中央の枝は原点を通り、右へ向かって上がります。左右の枝も同じ形です。破線上には点を打たず、左右の枝を結びません。

零点は tan x = 0 となる位置です。分母が0でないことを伴って sin x = 0 となるので、x = nπ です。この位置では cos x は1または-1であり、正接は確かに定義されます。一方、x = π/2 + nπ では sin x は1または-1ですが、分母が0です。値が0なのではなく、値そのものがありません。

単位円の点は角をπだけ進めると原点に関して反対側へ移ります。sin と cos の符号はともに反転するため、どちらの角でも分母が0でなければ tan(x + π) = tan x です。よってπは周期です。また、周期がπより短い正の数なら、原点の値0に対応する別の零点が0とπの間に必要ですが、そこに零点はありません。したがって最小の正の周期はπです。

中央の枝では -π/2 < x < π/2 の範囲を考えます。この範囲の単位円上の点は右半円にあり、その点と原点を結ぶ直線を x座標が1の縦線まで伸ばすと、交点の高さが tan x です。角を大きくすると直線の傾きが大きくなるため、交点は下から上へ動きます。この幾何の見方から、中央の枝は右上がりです。他の枝もπずつの移動で同じ向きになります。

右端のπ/2に左から近づくと、単位円上の点の横座標は正のまま0に近づき、縦座標は1に近づきます。そのため商は正の方向に限りなく大きくなります。反対に-π/2に右から近づくと、横座標は正のまま0に近づき、縦座標は-1に近づくので、商は負の方向に限りなく小さくなります。極限の計算を使わずとも、分子と分母の動きから枝の両端の向きを判断できます。

基本例題：中央の枝を描く

問題：-π/2 < x < π/2 で y = tan x のグラフを描き、漸近線と横軸との交点を示してください。補助点の座標はπと分数を用いた厳密値で表します。

この区間の両端では cos x = 0 です。端点は含まれず、直線 x = -π/2 と x = π/2 が漸近線です。範囲の中には cos x = 0 となる角はありません。

まず x = 0 では sin 0 = 0、cos 0 = 1 です。したがって tan 0 = 0 となり、横軸との交点は (0, 0) です。次に x = π/4 では sin と cos が等しく、どちらも0ではないので tan(π/4) = 1 です。同様に tan(-π/4) = -1 です。

図2のように3点を打ち、2本の破線の間に右上がりの曲線を描きます。左の破線に向かって下へ、右の破線に向かって上へ伸ばします。紙面で線を打ち切っても、その位置が枝の端点という意味ではありません。

図2の各補助点は、角を実際に代入した値に対応します。例えば (π/4, 1) は、横座標をπ/4としたとき縦座標が1であることを表します。破線と曲線が交差する点や、破線上の空丸は描きません。定義されない位置には、含まれない有限の値を表す空丸すら置けないためです。

描いた後は、原点を通ること、2点の高さが逆符号であること、枝が2本の破線の間に収まることを点検します。3点を通るだけの適当な曲線では、端の向きや右上がりを表せません。点と境界の両方を使って形を決めます。

標準例題：複数の枝を描く

問題：-π ≤ x ≤ 2π で y = tan x のグラフを描いてください。範囲内の漸近線と横軸との交点を、πを用いた厳密値で列挙します。

未定義点は x = π/2 + nπ です。指定範囲に入るものを、整数 n を変えて調べます。

n = -1 のとき x = -π/2
n = 0 のとき x = π/2
n = 1 のとき x = 3π/2

その前後の整数では範囲外です。したがって、この3本を破線で示します。零点は x = nπ なので、範囲と両端を点検すると交点は (-π, 0)、(0, 0)、(π, 0)、(2π, 0) です。両端はいずれも定義され、問題の範囲にも含まれます。

中央の枝を描き、それを左右へπだけずらすと、隣の枝の形が得られます。指定範囲にある部分だけ残すと、左端から最初の破線までは枝の後半、最後の破線から右端までは枝の前半です。中央の2区間にはそれぞれ1本の枝が入ります。

検算として、端の x = -π と x = 2π はともに sin が0で、cos は0ではありません。どちらの高さも0となり、描いた端点は原式に合います。また、π周期で原点をπずつ移すと列挙した4点が得られます。描く範囲の端点と漸近線を同じ扱いにしないことが重要です。

発展例題：一部を切り取って判断する

問題：π/3 ≤ x < 7π/4 の範囲で y = tan x のグラフを描き、含まれる漸近線の位置と、グラフが取る値の範囲を示してください。角と値はπ、分数、根号を用いた厳密値で表します。

この範囲の未定義点は x = π/2 と x = 3π/2 です。したがって、範囲は次の3つに分かれます。

π/3 ≤ x < π/2
π/2 < x < 3π/2
3π/2 < x < 7π/4

中央の区間はちょうど1本の枝全体です。左端に近づくと値は負の方向へ、右端に近づくと正の方向へ限りなく広がり、枝は右上がりです。この1区間で値はすべての実数を取ります。よって全体の値の範囲も実数全体です。

端点も調べます。左端では tan(π/3) = √3 であり、この点は含まれます。右端では tan(7π/4) = -1 ですが、x = 7π/4 は範囲に含まれないので、そこで枝は白丸を使って切ります。白丸はその切り取った部分が端の点を含まないという意味です。ただし、値 -1 自体は中央の枝の x = 3π/4 でも取るため、全体の値の範囲から除かれません。

実際に x = π のとき値は0、x = 5π/4 のとき値は1です。いずれも中央の区間にあり、π周期で中央の枝の点に対応します。右端の値だけを見て全体の値域を決めず、各区間を合わせて判断します。

誤答から枝を描き直す

誤答は、図3の左側のように、漸近線のすぐ左で上へ伸びた枝と、すぐ右で下から現れる枝を、破線を横切る線で結ぶ描き方です。線を引いた部分には、未定義の角に対する有限の高さがあるように見えてしまいます。

原因は、グラフを紙の中で1本につなげるものと思い込むことです。x = π/2 の左側と右側では、cos x の符号が異なります。sin x はその近くで正なので、商は左側で正、右側で負です。両側の線が同じ高さで合流するわけではありません。

図3の右側のように接続線を消し、破線を挟んで別々に伸ばします。破線の左では上へ、右では下へ向かうことを曲線の形で確認します。漸近線はグラフではなく境界の目印です。右側の枝を描く際も、次の零点とπ周期を使えば向きが定まります。

別の誤りとして、π/2 に空丸を置いて値0を除いたと考える場合があります。これは有限の高さを指定してしまう点が違います。tan(π/2) は0でも、空丸で示した別の数でもありません。割り算が成立しないので、縦線上のどの高さにもグラフの点を置きません。

練習問題

次の5問では y = tan x を使います。角はすべてラジアンとし、位置と座標はπ、分数、根号による厳密値で答えてください。

1. -2π ≤ x ≤ 0 の範囲にある漸近線と横軸との交点を列挙してください。
2. 点 (7π/6, √3/3) と点 (3π/2, 0) がそれぞれグラフ上にあるか判定してください。
3. 0 ≤ x ≤ 3π/2 にあるグラフを描くとき、漸近線と端点を示し、各部分が右上がりか右下がりか答えてください。
4. -3π/4 ≤ x ≤ -π/4 でグラフが取る値の範囲を求め、両端に対応する点を示してください。
5. ある枝の零点が x = 2π です。その枝を挟む2本の漸近線と、x = 9π/4 における点の座標を求めてください。

練習問題の解答

1

漸近線は x = π/2 + nπ に整数 n を入れて選びます。指定範囲に入るのは x = -3π/2、-π/2 です。次の候補は範囲外なので加えません。

零点は x = nπ です。指定範囲には両端を含めて -2π、-π、0 が入ります。よって交点は (-2π, 0)、(-π, 0)、(0, 0) です。それぞれの角で sin は0、cos は0ではなく、範囲の端も含まれることを確認できます。

2

7π/6 は π/6 にπを加えた角です。cos は0でないため周期を使えます。

tan(7π/6) = tan(π/6)
            = √3/3

したがって最初の点はグラフ上にあります。一方、3π/2 では cos が0です。tan は定義されないので、2つ目の点はグラフ上にありません。縦座標が0であっても、横座標で定義されないという条件は変わりません。

3

指定範囲の漸近線は x = π/2、3π/2 です。後者は指定区間の端ですが、その角で正接が定義されないためグラフ上の端点ではありません。左端は (0, 0) です。

0 ≤ x < π/2 と π/2 < x < 3π/2 の2つに分け、各部分を右上がりに描きます。後者は x = π で (π, 0) を通ります。π周期で中央の枝を移した形なので、破線の右側も右上がりであることを確認できます。

4

区間内に x = -π/2 があり、その位置では未定義です。2つの区間に分けて、端の値を調べます。

tan(-3π/4) = 1
tan(-π/4) = -1

左側の枝は1から正の方向へ限りなく大きくなり、右側の枝は負の方向に限りなく小さいところから-1まで上がります。したがって値の範囲は y ≤ -1 または y ≥ 1 です。端点は (-3π/4, 1)、(-π/4, -1) で、どちらも指定区間に含まれます。中間の未定義点を越えて値が連続すると考えると、実際には取らない0まで入れてしまいます。

5

零点の左右にπ/2ずつ離れた位置が、その枝の境界です。

2π - π/2 = 3π/2
2π + π/2 = 5π/2

よって漸近線は x = 3π/2、5π/2 です。9π/4 はこの2本の間にあり、cos は0ではありません。2πを引いて周期を使うと tan(9π/4) = tan(π/4) = 1 です。求める点は (9π/4, 1) です。原点を2πだけ右に移した零点と、(π/4, 1) を同じだけ移した点が、どちらも指定の枝に入ることを確かめられます。

覚えておくこと

• cos x = 0 の x = π/2 + nπ は定義域から除き、漸近線を引きます。
• 零点は x = nπ で、n は整数です。
• 各枝は右上がりで、πだけ横に移すと重なります。
• 漸近線を越えて枝をつなぎません。

つまずきの見分け方

自分の図を見て、破線の位置を「値が0になる場所」と説明していないか確かめます。0になるのは分子が0で分母が0でない場所です。分母が0なら値を計算できません。この違いを単位円の座標に戻して言えれば、零点と漸近線を分けられます。

個別に確認するときは、まず中央の枝について、左右の端で sin と cos がどのような符号を取るかを口に出します。次に別の枝をπだけ移して、零点と漸近線がともに移ることを指で追います。最後に指定区間の端点を代入し、含まれる点なのか、未定義の境界なのかを説明します。境界の意味を決めてから線を描けば、枝の途切れ方にも理由が見えてきます。