高校数学II 正弦と余弦のグラフ—単位円から一周期の座標と値の変化を追う｜武蔵野個別指導塾

単位円の座標とπ/2ごとの点を結び、零点や周期の判断を正弦と余弦のグラフで読み解きます。

よくあるのは、高2が単位円の横座標をsinの高さに使い、原点から始まるはずの曲線を高さ1から描くという場面です。円の点とグラフの点は、どちらも2つの数で表しますが、横軸が表すものは違います。円では点の左右の位置、グラフでは回転した角です。縦軸へどの座標を運ぶかを決めれば、曲線の形を記憶だけに頼らずに描けます。

円から曲線へ移すときの問い

問いの型は大きく3つあります。第1は、角を指定され、sinまたはcosの値を点として打つ型です。まず単位円上の点を決め、縦座標をsin、横座標をcosとして読みます。グラフ上の点は、円の点そのものではなく、(角, 値)という組です。

第2は、指定された範囲で零点や最大値、最小値を読む型です。円の軸との交点と上下左右の端に対応させ、区間の両端を含むかどうかも確かめます。端点を含まない場合、そこへ近づいても実際に値を取るとは限りません。

第3は、曲線の対称性や周期を説明する型です。似た形が見えるだけでは、どの点を軸に映すか、どの長さで全体が繰り返されるかは決まりません。円の対称な点の座標と、全ての角で同じ値へ戻る条件を使って説明します。ここでは基本のy = sin xとy = cos xを扱い、係数や平行移動によって形を変えたグラフには立ち入りません。

一周の座標を並べる

半径1、中心が原点の円で、正の横軸から反時計回りに角xだけ回った点をPとします。xはラジアンで、負なら時計回りです。定義によりPの座標は(cos x, sin x)です。横座標と縦座標はどちらも-1以上1以下なので、両方のグラフの値もこの範囲に入ります。

図1のように円上のPから高さを読むとsin x、左右の位置を読むとcos xです。図1ではx = π/3の点を示し、cos x = 1/2、sin x = √3/2に対応させています。円の横座標1/2をグラフの横軸に置くのではなく、角π/3を横軸に置くことが要点です。

円を1周する間、軸上の4点と出発点への帰着を順に読むと次の表になります。表の最後の2πは0と同じ円上の点ですが、グラフでは異なる横座標です。

0からπ/2では円の点が右端から上端へ進み、縦座標は0から1へ増え、横座標は1から0へ減ります。π/2からπでは縦座標が1から0へ減り、横座標は0から-1へ減ります。πから3π/2では縦座標が0から-1へ減り、横座標は-1から0へ増えます。3π/2から2πでは縦座標が-1から0へ、横座標が0から1へ増えます。各区間の変化を一緒に追えば、5点の間を逆向きに膨らませずに済みます。

単位円を1周すると同じ点へ戻るので、任意の実数xについてsin(x + 2π) = sin x、cos(x + 2π) = cos xです。正の数Tが周期であるとは、全ての実数xで値がx + Tでも変わらないことです。2πは周期ですが、最小である理由も必要です。sinについてx = π/2を使うと、値1になるのは円の上端に戻る角だけなので、正の周期Tは2πの正の整数倍です。cosについてもx = 0で値1となる右端に戻る必要があり、同じ結論です。したがって両方の最小正周期は2πです。一部の零点の間隔πは、値の符号まで含めた周期ではありません。

対称性も円から読めます。xと-xの点は横軸に関して対称なので、sin(-x) = -sin x、cos(-x) = cos xです。前者のグラフは原点に関して、後者は縦軸に関して対称です。また、π − xに対応する点はxの点を縦軸に映した点ですから、sin(π − x) = sin x、cos(π − x) = -cos xです。これはsinのグラフが直線x = π/2を軸に対称であることも表します。式のxは任意の実数で、左右どちらの角も定義されています。

円の点が各象限の内部にあるとき、座標の符号も曲線の位置を判断する助けになります。たとえば第2象限では縦座標は正、横座標は負なので、sinの曲線は横軸より上、cosの曲線は横軸より下です。軸上では座標の一方が0になるため、象限の内部の符号と分けて読みます。点を打つ際に、角の符号と関数の値の符号を同一視しないようにしましょう。

基本例題：一周の点と変化

問題：0 ≤ x ≤ 2πでy = sin xのグラフを描き、零点と最大値・最小値を取るxを、πを用いた厳密な値で列挙してください。

図2のように、まずπ/2ごとの角を横軸に取り、その角の単位円上の縦座標を点にします。図2の曲線はその点の間を、円上の縦座標の増減に合わせて滑らかに結んだものです。

5点は順に(0, 0)、(π/2, 1)、(π, 0)、(3π/2, -1)、(2π, 0)です。0からπ/2では上がり、π/2から3π/2では下がり、3π/2から2πでは上がります。円の上半分では縦座標が正、下半分では負なので、軸を横切る位置は円が横軸と交わる位置に限られます。

よって零点はx = 0, π, 2πです。最大値は1でx = π/2、最小値は-1でx = 3π/2です。両端を含む条件なので0と2πを両方数えます。確かめとして各角を円に戻すと、零点は左右の端、最大と最小は上下の端に対応します。グラフの高さと円の縦座標が一致し、一周後の高さも出発時の0に戻ります。

標準例題：余弦を区間ごとに追う

問題：-π ≤ x < πでy = cos xの零点と、最大値・最小値を取るxをπを用いて列挙してください。値を取らない極値がある場合も述べてください。

cosは円の横座標です。横座標が0になるのは上下の端で、指定範囲ではx = -π/2, π/2です。右端の横座標は1で、範囲内ではx = 0で取ります。左端の横座標は-1で、範囲内ではx = -πで取ります。πも同じ左端を表しますが、右端の不等号が厳しいため答えに加えません。

したがって最大値は1、最小値は-1で、それぞれx = 0、x = -πです。負の角は時計回りに測るので、-π/2は下端、π/2は上端です。どちらも横座標は0となり、答えを円の位置へ戻して確認できます。もし区間が-π < x < πなら左端の点に到達せず、値は-1に近づくものの最小値を取りません。端点が開いているだけで必ず最大値も最小値もなくなるわけではなく、この変更後もx = 0は含まれ最大値1を取ります。

発展例題：対称性と周期を区別する

問題：実数全体でy = sin xのグラフが直線x = 5π/2に関して対称であることを示し、この直線から左右にπ/3離れた2点の高さを厳密値で求めてください。またπがこの関数の周期であるか判定してください。

直線x = 5π/2から距離hだけ左右の角を取ります。hは任意の実数です。2π周期と、直線x = π/2についての対称性を順に使うと、

sin(5π/2 + h) = sin(π/2 + h)
sin(π/2 + h) = sin(π/2 - h)
sin(π/2 - h) = sin(5π/2 - h)

左右の高さが任意のhで一致するので、指定された直線は対称軸です。h = π/3では角は13π/6と17π/6です。それぞれ2πを引くとπ/6と5π/6になり、円の縦座標はどちらも1/2です。元の2点は横座標の平均が5π/2で、高さが共に1/2ですから、指定された場面でも対称になっています。

一方、πを加えると円の点は反対側へ移り、縦座標の符号が逆になります。実際にsin(π/2) = 1、sin(3π/2) = -1なので、πは周期ではありません。ある2点の高さが等しいことと、どの角でも一定距離だけ移した高さが等しいことは別の条件です。

横座標を高さにした誤答を直す

図3のように、0から始めるべきsinの曲線を高さ1から描く誤りを考えます。図3の赤い曲線は円の横座標を高さに移したもので、実際にはcosの曲線です。紺の曲線がsinです。

原因は、P = (cos x, sin x)の1番目を、グラフの縦座標にもそのまま使ったことです。修正するときは、円の座標とグラフの座標を別々に書きます。x = 0なら円の点は(1, 0)で、sinのグラフの点は(0, 0)、cosのグラフの点は(0, 1)です。さらにx = π/2では円の点が(0, 1)なので、sinは1、cosは0です。2点だけで曲線全体を決めたつもりにならず、残りの軸上の点とその間の増減も確かめます。

別の誤りは、sinの零点0とπの間隔だけから周期をπとすることです。零点はどちらも高さ0ですが、その間の山と次の谷は符号が違います。π/2と3π/2で値を比べれば失敗が見えます。周期の判定では、同じ高さの点を1組見つけるのでなく、任意の角で値が保存されるかを調べます。

練習問題

いずれも角はラジアンとし、角と値はπ、分数、根号を用いる厳密値で答えてください。

1. x = 4π/3で、単位円上の点の座標と、sin x、cos xのグラフ上の点をそれぞれ求めてください。
2. 0 < x ≤ 3πで、y = cos xの零点を小さい順に列挙してください。
3. π/2 ≤ x ≤ 2πで、y = sin xの最大値と最小値、およびそれぞれを取るxを求めてください。
4. y = cos xについて、x = -π/3とx = π/3の高さを求め、縦軸に関する対称性と照らしてください。
5. y = cos xについて、πが周期ではないことを具体的な2つの値で示し、最小正周期を答えてください。

練習の答えと解き方

1. 4π/3は第3象限にあり、基準の角はπ/3です。横座標も縦座標も負なので、円上の点は(-1/2, -√3/2)です。sinのグラフ上の点は(4π/3, -√3/2)、cosのグラフ上の点は(4π/3, -1/2)です。円に戻すと、左右の位置が-1/2、高さが-√3/2で、各グラフの縦座標と対応します。

2. 横座標が0となるのは上端と下端です。一周ごとに繰り返し、範囲内にあるのはπ/2、3π/2、5π/2です。0と3πでは横座標がそれぞれ1と-1であり、どちらも零点ではありません。最後の候補5π/2を越えた次の上端または下端は7π/2で、指定範囲の外です。

3. 単位円の縦座標は1を超えず、-1を下回りません。範囲内の上端x = π/2で1、下端x = 3π/2で-1を取ります。よって最大値は1、最小値は-1です。右端の2πでは0で、円の右端に戻ります。左端π/2は含まれるので最大値を実際に取る点として数えます。

4. -π/3とπ/3の円上の点は横軸に関して対称で、どちらも横座標が1/2です。したがってcosの高さは両方1/2です。グラフ上では(-π/3, 1/2)と(π/3, 1/2)となり、縦軸からの距離と高さが一致します。負の角だから高さも負だと決めると、横座標を見落とします。

5. cos 0 = 1、cos π = -1です。0からπだけ移して値が変わるので、πは周期ではありません。円を一周する2πは周期で、0で値1となる右端に戻る正の角のうち最小は2πです。従って最小正周期は2πです。値1の点がその距離で再び現れることも、求めた周期と一致します。

覚えておくこと

• 円上の点は(cos x, sin x)、グラフの点は(角, 値)です。
• 一周期の軸上の5点と、その間の増減をつなぎます。
• sinとcosの最小正周期は2πで、零点の間隔とは別です。
• 対称性と端点の開閉を、円上の位置へ戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

点を打つ前に、円の座標のどちらを高さとして使うか、声に出して説明できるかを見ます。x = 0の1点だけ合っていても、π/2での値や途中の増減が逆になることがあります。負の角では回転の向きを示し、同じ高さになる理由を円の対称な点で説明できるかも確かめます。

個別指導で確認するなら、まず円の点、次にグラフの点、最後に区間の端を順に書いてもらいます。零点を落とした場合は周期の記憶を問い直す前に、端点が含まれるかを一緒に読みます。周期がπと答えられた場合には、π/2と3π/2の高さを比べてもらうと、同じ零点の繰り返しと曲線全体の繰り返しの違いが見えます。円の座標から高さへ戻る道筋が、正弦と余弦の形を支えます。