高校数学II 三角関数の恒等式—分母が零になる角を分けて式変形の根拠を示す｜武蔵野個別指導塾

約分で消える1 − sin θが零になる角を追い、範囲を守って扱う三角関数の恒等式を学びます。

よくあるのは、分子と分母に同じ因数を見つけて約分し、元の分母が0になる角まで答えに入れてしまう場面です。式が短くなると、消えた因数の情報も消えたように見えます。しかし、分数が初めから意味を持たない角は、変形後の式が計算できても元の式には戻せません。どの角で式を扱い、どの操作が許されるかを順に書いて、等式の範囲まで仕上げましょう。

問われ方で、最初に見る場所を変える

第1の型は、有理式を短い式に整理する問題です。まず元の分母が0でない条件を記録し、その条件のもとで因数分解や約分をします。答えには短くなった式だけでなく、元の条件も添えます。途中で分母が増える場合は、その新しい分母が0でない理由も必要です。

第2の型は、与えられた等式を証明する問題です。両辺の式がともに定義される角を確かめたうえで、片方から他方に変形します。恒等式とは、対象とする範囲のどの角でも成り立つ等式です。分母を含む場合、対象の範囲を明示せずに「あらゆる角」と言うのは適切ではありません。

第3の型は、整理した式を方程式に使う問題です。約分して得た候補は、元の式の定義域に入るか調べます。変形後の方程式に解があっても、元の式に代入できなければ答えではありません。定義域を記録する段階と、候補を戻す段階の両方で確認します。

等式の成立範囲と約分の条件

角 θ は実数で、単位円上の点の横座標を cos θ、縦座標を sin θ とします。どちらもすべての実数 θ で定義されます。式中の sin²θ と cos²θ では、関数の値そのものを二乗しており、それぞれ (sin θ)² と (cos θ)² に等しくなります。単位円の座標から、すべての実数 θ について次の相互関係が成り立ちます。

sin²θ + cos²θ = 1

一方、tan θ は cos θ ≠ 0 のとき sin θ/cos θ で定義します。たとえば θ = π/2 では cos θ = 0 なので、tan θ は定義されません。分数は分子が0でも、分母が0でなければ値を持ちます。分母が0であることと、分子が0であることは区別します。

図1のように、式を変える前の条件を左側に置きます。約分後に式が定義される範囲が広がっても、もとの式との等式を言えるのは両者が定義される共通の範囲です。新しい式を単独で考える場合の定義域と、もとの式の書き換えとして使う範囲は別の情報です。

図1の条件の箱は、計算中に持ち運ぶメモと考えます。たとえば A/B = C を扱うときは B ≠ 0 が必要です。A = BC が成り立っていても、B = 0 の場所では A/B は作れません。逆に、両辺に0でない数を掛ける操作は元に戻せますが、0かもしれない数で割る操作には場合分けが必要です。

三角関数では、分母の条件を角に直す場面もあります。sin θ = 1 となるのは θ = π/2 + 2nπ、cos θ = 0 となるのは θ = π/2 + nπ です。ここで n は整数です。指定区間がある場合は、この一般角からその区間に入るものを選び、端点を含むかどうかまで見ます。

条件の書き方には二通りあります。分母が0でないという式のまま残す方法と、指定区間の中で除く角を列挙する方法です。後者は候補との照合がしやすく、前者は式変形の理由に直結します。両方を並べれば、どの分母からどの除外角が出たかをたどれます。複数の分母があるときは、それぞれの条件を同時に満たす角を残します。片方の条件だけを使ってもう片方を忘れないようにします。

基本例題：消えた因数を記録する

0 ≦ θ < 2π において、(1 − sin²θ)/(1 − sin θ) を整理し、元の式が定義される範囲とともに答えてください。範囲の端点は π を用いて示します。

まず 1 − sin θ ≠ 0 が必要です。単位円で sin θ = 1 となるのは、この区間では θ = π/2 です。したがって、元の式の範囲は 0 ≦ θ < 2π かつ θ ≠ π/2 です。

分子を平方の差として分解すると、次のようになります。

(1 - sin²θ)/(1 - sin θ)
= (1 - sin θ)(1 + sin θ)/(1 - sin θ)
= 1 + sin θ

最後の約分は、先に確認した 1 − sin θ ≠ 0 によって正当化されます。答えは 1 + sin θ、ただし 0 ≦ θ < 2π、θ ≠ π/2 です。図2のように、θ = π/2 を除く記録は約分後も残します。

図2の除外角で変形後の式は 2 ですが、元の式は 0/0 となり値を持ちません。したがって、2 を元の式の値として扱うことはできません。反対に θ = 0 は許され、元の式も整理後も 1 です。許される角と除外される角を一つずつ戻すと、条件が計算と対応しているか見えます。

標準例題：両辺の共通範囲で証明する

0 ≦ θ < 2π において、次の等式が両辺の定義される範囲で成り立つことを示し、その範囲を π を用いて答えてください。

cos θ/(1 - sin θ) = (1 + sin θ)/cos θ

左辺には 1 − sin θ ≠ 0、右辺には cos θ ≠ 0 が必要です。左辺が定義されない角は π/2、右辺が定義されない角は π/2 と 3π/2 です。共通の範囲は 0 ≦ θ < 2π で θ ≠ π/2、3π/2 です。特に 3π/2 では左辺は定義されますが、右辺は定義されないので等式の範囲には含めません。

この共通範囲では、1 − sin θ と cos θ はともに0ではありません。左辺の分母と分子に 1 + sin θ を掛けます。これが0でないことも、sin θ = -1 なら cos θ = 0 となる相互関係から保証されます。

cos θ/(1 - sin θ)
= cos θ(1 + sin θ)/((1 - sin θ)(1 + sin θ))
= cos θ(1 + sin θ)/(1 - sin²θ)
= cos θ(1 + sin θ)/cos²θ
= (1 + sin θ)/cos θ

最後は cos θ ≠ 0 により約分しました。θ = 0 を代入すると、両辺とも 1 です。θ = 3π/2 では左辺が 0、右辺は分母が0です。片側だけが計算できる角を証明の範囲に含めないことも、結論の一部です。

発展例題：整理後の候補を元の式に戻す

0 ≦ θ < 2π において、次の方程式を解き、答えを π を用いて列挙してください。

cos²θ/(1 - sin θ) = 1

まず分母から θ ≠ π/2 です。許される範囲で相互関係と平方の差を使います。

cos²θ/(1 - sin θ)
= (1 - sin²θ)/(1 - sin θ)
= 1 + sin θ

よって、元の方程式は記録した範囲で 1 + sin θ = 1 と同値です。sin θ = 0 ですから、指定区間の候補は θ = 0、π です。どちらも除外角ではありません。元の式に戻すと、どちらも分子が 1、分母が 1 なので左辺は 1 です。答えは θ = 0、π です。

もし右辺を 2 に変えたら、整理後の式から sin θ = 1、すなわち θ = π/2 が候補になります。ところが元の分母が0なので、この候補は不適です。答えは解なしです。計算が間違っていなくても、候補がすべて除外されることがあります。

誤答を直す：0を割っていないか

次は基本例題と異なる式についての誤答です。0 ≦ θ < 2π で sin θ/cos θ = 0 を解く際、分子が0だから θ = 0、π、2π としたとします。

図3のように、まず cos θ ≠ 0 を確認し、そのあと sin θ = 0 を解きます。0 と π は分母がそれぞれ 1 と -1 で許されます。2π は分母の条件では除かれませんが、指定区間の右端を含まないため除きます。正しい答えは θ = 0、π です。

図3では、分母による除外と区間による除外を別の欄に置いています。原因が違えば直し方も違います。分母が0の角は式を定義できないことが原因で、右端は問題文が指定した範囲の外にあることが原因です。さらに、sin θ で両辺を割ってしまうと、探している sin θ = 0 の候補を失います。0になり得る式で割る前に、その式が0の場合を別に調べてください。

練習問題

各問の角はラジアンです。角を答える場合は π を用い、指定区間の解をすべて列挙してください。整理する場合は元の式の定義域も角で示してください。

1. 0 ≦ θ < 2π で、(1 − cos²θ)/(1 + cos θ) を整理してください。
2. 0 ≦ θ < 2π で、sin θ/(1 + cos θ) = (1 − cos θ)/sin θ が両辺の定義される範囲で成り立つことを示し、その範囲を求めてください。
3. 0 ≦ θ < 2π で、sin²θ/(1 + cos θ) = 1 を解いてください。
4. 0 ≦ θ ≦ 2π で、(1 − sin θ)/cos θ = 0 を解いてください。
5. 0 ≦ θ < 2π で、(1 − cos θ)/(sin²θ) = 1/2 を解いてください。

練習の答えと解き方

1

元の分母は 1 + cos θ です。cos θ = -1 となる θ = π を除きます。その条件のもとで平方の差を使います。

(1 - cos²θ)/(1 + cos θ)
= (1 - cos θ)(1 + cos θ)/(1 + cos θ)
= 1 - cos θ

答えは 1 − cos θ、ただし 0 ≦ θ < 2π、θ ≠ π です。θ = 0 では元の式も答えも 0 です。除いた π では元の分母が0ですから、変形後が 2 になることは元の値を意味しません。

2

左辺の条件は 1 + cos θ ≠ 0、右辺の条件は sin θ ≠ 0 です。指定区間で前者は π を除き、後者は 0 と π を除きます。共通範囲は 0 < θ < 2π、θ ≠ π です。

この範囲では 1 − cos θ も0でありません。実際にそれが0なら cos θ = 1 で、相互関係から sin θ = 0 となるからです。したがって分母と分子に 1 − cos θ を掛けられます。

sin θ/(1 + cos θ)
= sin θ(1 - cos θ)/(1 - cos²θ)
= sin θ(1 - cos θ)/sin²θ
= (1 - cos θ)/sin θ

sin θ ≠ 0 により最後の約分ができます。たとえば θ = π/2 では両辺とも 1 です。θ = 0 では左辺は 0 ですが右辺は定義されないので、共通範囲から除いた判断に合います。

3

元の分母の条件は θ ≠ π です。この範囲で次が成り立ちます。

sin²θ/(1 + cos θ)
= (1 - cos²θ)/(1 + cos θ)
= 1 - cos θ

1 − cos θ = 1 より cos θ = 0 です。候補は θ = π/2、3π/2 で、いずれも π ではありません。元の分子はどちらも 1、分母も 1 なので、両方とも元の方程式を満たします。

4

分母から θ ≠ π/2、3π/2 です。分数が0になるには分子が0なので、sin θ = 1 を調べます。指定区間での候補は θ = π/2 ですが、分母が0です。したがって解なしです。端点 0 と 2π では分母は 1、分子も 1 なので左辺は 1 となり、解ではありません。

5

元の分母の条件は sin θ ≠ 0 で、指定区間では θ ≠ 0、π です。この条件下では cos θ = 1 も不可能です。相互関係から分母を因数分解します。

(1 - cos θ)/sin²θ
= (1 - cos θ)/(1 - cos²θ)
= (1 - cos θ)/((1 - cos θ)(1 + cos θ))
= 1/(1 + cos θ)

約分に使う 1 − cos θ ≠ 0 は上で確認しました。また 1 + cos θ ≠ 0 も sin θ ≠ 0 から従います。整理後の方程式に分母を掛けると、2 = 1 + cos θ です。よって cos θ = 1 となり、指定区間の候補は θ = 0 です。しかし元の分母が0なので解なしです。除外された候補は元の方程式へ数値として代入できません。

覚えておくこと

• 元の分母が0になる角を最初に除きます。
• 等式の証明では両辺が定義される共通範囲を取ります。
• 約分する因数が0でない理由を書きます。
• 方程式の候補を元の条件と指定区間に戻します。

つまずきの見分け方

式を見せて「約分できる因数は何か」と尋ねるだけでは、条件を残せるかまでは見えません。個別指導では、元の分母が0になる角を先に言えるか、約分した因数がその範囲で0にならない理由を説明できるかを順に確かめます。途中で手が止まる場合は、単位円で sin θ と cos θ の値がそれぞれ0、1、-1になる位置を確認してから式に戻ります。

また、変形後の式に代入できることと、元の式に代入できることを区別して説明してもらいます。候補が除外された問題では、別の角を勝手に補わず「解なし」と結論できるかも確認します。分母の条件を残す一行が、式変形の意味を最後まで支えます。