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高校数学I 度数分布の平均—階級値と度数の積から近似値の意味を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

階級ごとの人数を掛けて平均を求め、階級内の測定値を変える例で近似値と正確な平均の違いを確かめます。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、階級値だけを足して階級数で割る場面です。階級が3つなら3で割りたくなりますが、各階級に入った人数が違えば、その計算は各階級に1人ずついる場合の平均です。実際の人数を反映するには、階級値をその階級の度数だけ繰り返して数えます。表から得られる値が、元の測定値の正確な平均とは限らないことも一緒に考えます。

表から何を求めるか

出方の1つは、階級と度数が与えられ、階級値を使って平均を求める型です。各階級の両端から中央の値を作り、人数を掛けてから全人数で割ります。途中で階級数を分母にしないことが分かれ目です。

2つ目は、相対度数や平均が与えられ、未知の度数を逆算する型です。相対度数はその階級の度数を全度数で割ったものです。未知数が人数を表すなら、式を解いた後に非負整数かどうか、全体の人数に戻るかどうかを確認します。

3つ目は、同じ度数分布に入る元データを比べ、階級値による平均と実際の平均の違いを説明する型です。表は各階級の人数を残しますが、階級の中のどこに値があるかまでは残しません。したがって、表だけで元データの平均を一意に決められないことがあります。

階級の中央を人数分だけ数える

データを一定の区間に分けたとき、各区間を階級、その階級に入るデータの個数を度数といいます。例えば「10以上20未満」は10を含み20を含みません。隣の「20以上30未満」と境目を共有しても、20は後者に入り、二重に数えません。

階級幅は上端と下端の差です。10以上20未満の幅は10、階級値は両端の平均である15です。階級値は区間を代表するための値であり、その階級に実際に15という測定値があるという意味ではありません。度数0の階級も置けますが、そこから合計に加わる量は0です。

図1のように、階級値5に2個、15に3個が対応すると考えます。階級値を並べると5、5、15、15、15です。この5個の合計を5で割るので、積を使えば (5・2 + 15・3)/5 = 11 です。度数を無視した (5 + 15)/2 = 10 とは異なります。

図1の各行の積は、その階級の全データを階級値で置き換えたときの合計です。一般に階級値を c₁、c₂、…、度数を f₁、f₂、… とし、全度数を n とすると、n は度数の和です。n が正のとき、階級値による平均は積の和を n で割った値です。

n = f₁ + f₂ + …
階級値による平均 = (c₁・f₁ + c₂・f₂ + …)/n

相対度数は f₁/n、f₂/n、… です。これらの和は1で、階級値に相対度数を掛けて足しても同じ平均が出ます。度数がすべて0なら n = 0 で、分母が0になるため平均も相対度数も定義できません。集計対象が存在するかを先に確かめます。

階級値を使う計算は、各測定値をその階級の中央へ置き換える操作です。元データの合計をそのまま足しているわけではないため、結果は元の平均の近似値として扱います。たまたま両者が一致する場合もありますが、一致は表だけから保証されません。

基本例題：読書時間の表

次は自作の記録です。8人のある日の読書時間を、10分幅でまとめました。階級値による平均を分数または整数で求め、単位も付けてください。

読書時間（分）	度数（人）
0以上10未満	1
10以上20未満	3
20以上30未満	4

図2のように、階級値と度数を行ごとに対応させます。まず階級値は順に5、15、25分です。それぞれを度数だけ並べた合計を、掛け算で求めます。

全度数 = 1 + 3 + 4
       = 8
積の和 = 5・1 + 15・3 + 25・4
       = 5 + 45 + 100
       = 150
階級値による平均 = 150/8
                 = 75/4

答えは 75/4 分です。図2の積の合計150分を8人に等しく配ると、1人当たり75/4分になります。逆に 75/4・8 = 150 なので、置き換え後の合計に戻ります。実際の読書時間の合計が150分だったとは、この表からは断定できません。

例えば元データが2、11、15、19、21、24、25、29分なら、各階級の人数は表と一致します。この場合の合計は146分、正確な平均は146/8 = 73/4分です。階級値の計算では、元の各値を5、15、25分へ置き換えたため、合計が4分増えました。近似値と正確な値が違っても、計算が間違いとは限りません。

標準例題：相対度数から人数を戻す

自作の工作の記録で、長さを0以上10未満、10以上20未満、20以上30未満の3階級に分けました。全体は20個で、最初の階級の相対度数は1/5、次の階級の度数は10個です。残りは最後の階級に入ります。各度数を整数、階級値による平均を分数または整数で求め、単位をcmとしてください。

最初の度数を a 個とすると、相対度数の定義から次のようになります。

a/20 = 1/5
a = 20・(1/5)
a = 4
最後の度数 = 20 - 4 - 10
           = 6

4、10、6はいずれも非負整数で、和は20です。階級値は5、15、25cmですから、平均は次のとおりです。

積の和 = 5・4 + 15・10 + 25・6
       = 20 + 150 + 150
       = 320
階級値による平均 = 320/20
                 = 16

答えは度数が順に4個、10個、6個、平均が16cmです。4/20 = 1/5 で指定の相対度数に戻り、16・20 = 320で置き換え後の合計にも戻ります。相対度数を用いて 5・(1/5) + 15・(1/2) + 25・(3/10) と計算しても16です。

もし全体が20個で相対度数が1/3と指定されたなら、度数は20/3個になります。個数が整数である条件に合わないので、その表は成立しません。式の解が出たところで止めず、元の場面へ戻す必要があります。

発展例題：未知の度数と元の値

自作の測定値12個を、0以上10未満、10以上20未満、20以上30未満に分けます。度数は順に2個、a個、b個です。階級値による平均が15であるとき、aとbを整数で求めてください。また、その度数分布に合う2組の元データを作り、正確な平均が同じとは限らないことを示してください。

全度数と置き換え後の合計の2条件を使います。平均15に全度数12を掛けると、置き換え後の合計は180です。

2 + a + b = 12
a + b = 10
5・2 + 15・a + 25・b = 180
15・a + 25・b = 170
15・(a + b) = 150
10・b = 20
b = 2
a = 8

答えは a = 8、b = 2 です。度数はすべて非負整数で和が12です。元の条件へ戻すと (5・2 + 15・8 + 25・2)/12 = 180/12 = 15 となります。

元データの候補として、最初の階級に1を2個、次に11を8個、最後に21を2個置きます。合計は 1・2 + 11・8 + 21・2 = 132、正確な平均は11です。一方、各階級に順に9を2個、19を8個、29を2個置くと、合計は 9・2 + 19・8 + 29・2 = 228、正確な平均は19です。どちらも度数2、8、2を満たし、階級値による平均は15です。同じ表から異なる正確な平均が生じるため、元の平均を15と断定できません。

逆算で得た度数が負になる場合も、与えられた条件を満たす表は作れません。また、階級の上端は含まないという条件を忘れると、上端の値を前の階級に入れた候補を誤って採用します。未知数の計算と、階級への所属の両方を点検します。

間違いを表に戻して直す

基本例題の階級値5、15、25を見て、(5 + 15 + 25)/3 = 15分とする誤答を考えます。図3の上段は各階級を1回ずつ数える方法、下段は実際の度数を反映する方法です。前者の分母3は階級数であり、8人の平均を作る分母ではありません。

図3の下段では、5分を1回、15分を3回、25分を4回数えます。修正後の積の和は150、分母は8で、75/4分です。誤答の15分に8人を掛けると120分となり、置き換え後の合計150分に戻りません。この照合で、分母と重みの両方の誤りを見つけられます。

ただし、全階級の度数が同じ正の数なら、階級値の単純平均と加重平均は一致します。その特別な場合に計算が合った経験から、いつでも度数が不要だと考えるのは危険です。反対に、階級値による平均が元の平均と一致しても、各測定値が階級値そのものだったとは限りません。階級内で中央より小さい分と大きい分が打ち消し合う場合もあるからです。

練習：表を読み、条件へ戻す

次の記録はすべて自作です。各階級は下端以上、上端未満とします。平均は階級値によるものを求め、指定された形で答えてください。

ある作業の所要時間について、0以上4未満が2人、4以上8未満が5人、8以上12未満が3人です。平均を分数または整数で、単位は分として求めてください。
重さを0以上10未満、10以上20未満、20以上30未満に分けると、度数は順に3個、0個、2個でした。各階級の相対度数と平均を分数または整数で求め、平均の単位をgとしてください。
長さの記録15個を0以上10未満、10以上20未満、20以上30未満に分けます。最初の相対度数は2/5、最後の度数は3個です。中央の度数を整数で、平均を分数または整数で求め、平均の単位をcmとしてください。
距離の記録10個を0以上10未満、10以上20未満、20以上30未満に分け、度数を順に2個、x個、残りとします。階級値による平均が17mのとき、xと最後の度数を整数で求めてください。
温度の記録4個について、0以上10未満に2個、10以上20未満に2個あります。階級値による平均を分数または整数で求め、単位を℃としてください。さらに条件に合う2組の整数データを示し、それぞれの正確な平均を分数または整数で求めてください。

練習の答えと道筋

階級値は2、6、10分です。全度数は 2 + 5 + 3 = 10人です。

積の和 = 2・2 + 6・5 + 10・3
       = 4 + 30 + 30
       = 64
平均 = 64/10
     = 32/5

答えは32/5分です。32/5・10 = 64で、置き換え後の合計に戻ります。5人の階級を1回しか数えないと、作業した人数を反映できません。

全度数は 3 + 0 + 2 = 5個です。相対度数は順に3/5、0、2/5で、和は1です。

積の和 = 5・3 + 15・0 + 25・2
       = 15 + 0 + 50
       = 65
平均 = 65/5
     = 13

平均は13gです。13・5 = 65で合計に戻ります。度数0の階級値も表にはありますが、その階級から積の和に加わる量は0です。

最初の度数は 15・(2/5) = 6個です。中央の度数は 15 − 6 − 3 = 6個です。

積の和 = 5・6 + 15・6 + 25・3
       = 30 + 90 + 75
       = 195
平均 = 195/15
     = 13

答えは中央が6個、平均が13cmです。6 + 6 + 3 = 15、6/15 = 2/5、13・15 = 195で、人数、相対度数、合計の条件に戻ります。

最後の度数は 10 − 2 − x = 8 − x 個です。平均17mから置き換え後の合計は170mです。

5・2 + 15・x + 25・(8 - x) = 170
10 + 15・x + 200 - 25・x = 170
210 - 10・x = 170
10・x = 40
x = 4
最後の度数 = 8 - 4
           = 4

答えは x = 4、最後も4個です。2 + 4 + 4 = 10で、(5・2 + 15・4 + 25・4)/10 = 17です。どの度数も非負整数なので、場面に適合します。

階級値は5℃と15℃、全度数は4個です。

積の和 = 5・2 + 15・2
       = 10 + 30
       = 40
平均 = 40/4
     = 10

階級値による平均は10℃です。元データを1、3、11、13℃とすると、合計28℃で平均は7℃です。別の組を6、8、16、18℃とすると、合計48℃で平均は12℃です。どちらも各階級に2個ずつあり、階級値による合計40℃は共通ですが、元の合計は異なります。

覚えておくこと

階級値は階級の両端の平均、度数はその階級の個数です。階級値と度数の積を足し、全度数で割ります。相対度数を使うと、階級値と相対度数の積の和になります。得られるのは元データを階級値に置き換えた平均です。

つまずいた位置を見つける

答えが合わないときは、最初に階級の境目を確認します。次に、各階級値と度数が同じ行で掛けられているか、積の和に0の階級も含めたかを見ます。最後に、分母が階級数ではなく全度数かを調べます。これらを分ければ、表の読み違いと計算の誤りを区別できます。

個別指導で確かめるなら、表の1行について「この積は何を何個分足した量か」を言葉にしてもらいます。さらに、求めた平均に全度数を掛け、置き換え後の合計へ戻せるかを見ます。最後に階級内の値を変えても度数が同じ例を作れば、近似値と元の平均の違いを自分の数で説明できます。表に残る情報と失われた情報を区別すると、度数分布の平均の意味が見えてきます。