高校数学I データの並べ替え—観測の単位と個数をそろえて集計の土台を作る｜武蔵野個別指導塾

測定しなかった欄と実測の0を分け、重複を残して順位を付ける手順を具体例でたどるデータ整理です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習するとき、測定しなかった欄を0として平均に入れる場面です。たとえば6回の予定のうち1回を測り忘れたなら、数値があるのは5回です。測定して0だった回は観測結果ですが、空欄には数値がありません。二つを同じ扱いにすると、並びの個数も合計を割る数も変わります。

ここでは、何を1個の観測とするかを決め、空欄と重複を扱いながら小さい順に並べます。平均は整理した対象を確認するために使い、順位や記録の整合性まで調べます。例に出る測定値は説明のために作ったものです。

どんな問いで整理が必要になるか

第一の型は、記録表から集計対象を選び、個数と並びを答える問いです。たとえば「測定できた回の値」を対象にするなら、測り忘れは除き、測定結果の0は残します。予定回数と観測数は別々に数えます。条件に「欠損を除く」とあっても、0を除く指示にはなりません。

第二の型は、並べた結果から元の記録を点検する問いです。同じ値が何回現れたかを数えると、転記の際に重複を消したり、別の値を二重に書いたりした誤りが見つかることがあります。合計が合うだけでは十分ではありません。例えば1と5を2と4に替えても合計は6のままなので、値ごとの個数も照合します。

第三の型は、順位や個数を手がかりに未知の値を決める問いです。同値があるときは、同じ値であっても観測の回数分だけ位置を占めます。条件を満たす値が複数ある場合や、どの値も条件を満たさない場合もあります。式の答えを整数や測定の範囲に戻し、元の並びに入れて確認します。

一つの観測を決めてから順に置く

観測単位とは、表の中で値を1個記録する対象です。1人について1回測った長さを集めるなら1人が単位です。同じ人を3回測り、各回の値を対象にするなら3回は3個です。人ごとの合計を対象にする場合は1人につき1個なので、2つの数え方を途中で混ぜられません。

図1のように、記録欄を「数値がある」「測定していない」に分けます。数値の0は左側に入ります。図1の空欄は値の小ささを表す記号ではなく、まだ数値が得られていない状態です。

並べ替えは、対象にした値を小さいものから順に置く操作です。値を変えず、観測の個数も変えません。4, 1, 4, 0なら、昇順は0, 1, 4, 4です。2個の4は同じ数字でも別々の観測なので、4を1個にまとめません。逆に、表にない4を追加することもできません。

数値の単位も先にそろえます。1 mと80 cmを数字の1と80のまま比較すると、長さの順序を誤ります。1 mを100 cmに直せば80 cm, 100 cmです。換算前後で対象は同じ2個です。単位を直す操作と、観測の単位を決める操作は別です。

平均を求める場合、対象の値の合計を対象の個数で割ります。欠損を除いた平均は、測定できた範囲についての値です。未測定分の値はわからないので、その平均を予定した全回の平均と断定できません。すべてが未測定なら対象数は0で、0で割ることはできず、その対象の平均は定義できません。

基本例題：鉢ごとの記録を並べる

6個の鉢について、それぞれ1日に新しく開いた花の数を記録しました。AからFの順に、2個、測定せず、0個、3個、2個、1個です。測定できた鉢を対象とし、観測数を整数で、花の数を小さい順に、平均を正確な分数または整数で答えてください。測定していない鉢は0個だったとは限りません。

図2のように1鉢を1個の観測とします。空欄のBを数値として扱わず、Cの0を残して表を読みます。図2の2個という値はAとEの2回分です。

数値があるのはA、C、D、E、Fなので、観測数は5です。並びを作るとき、0の次に1を置き、2を2個とも置いてから3を置きます。

小さい順: 0, 1, 2, 2, 3
合計: 0 + 1 + 2 + 2 + 3 = 8
平均: 8/5 個

確かめると並びは5個あり、元の数値の0、1、3は各1個、2は2個です。平均8/5個に5鉢を掛けると8個に戻り、元の測定済みの鉢の合計と一致します。Bの値を新たに測ることは、この記録の欠損を過去の値で埋めることとは限りません。追加の情報がないまま6鉢全体の平均を決めないことが重要です。

もし測定済みが1鉢もなければ、並びは空で観測数は0です。合計を0と数えても平均の分母が0となるため、平均を0個とは答えません。一方、測定済みの5鉢がすべて0個なら、5個の0を並べ、平均は0個です。空の並びと0が並んだ表は異なります。

標準例題：順位から欠けた記録を探す

7回の試行で得た点数は、記録順に4、1、6、4、x、2、5です。xは0以上6以下の整数で、測定済みです。小さい順の4番目の値が4となるxを、該当する整数をすべて挙げて答えてください。同じ点数は試行の回数分だけ並べます。

まずx以外の6個を並べます。

1, 2, 4, 4, 5, 6

4より小さい既知の値は1と2の2個、4以下の既知の値は1、2、4、4の4個です。xが4以上なら、4より小さい値は2個のままです。4番目は2個の4のいずれかになります。xが4より小さくても、4より小さい値は3個となり、次の4が4番目です。したがって、指定範囲のどの整数でも条件を満たします。

x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

両端を元の場面に戻します。xが0なら0, 1, 2, 4, 4, 5, 6で4番目は4です。xが6なら1, 2, 4, 4, 5, 6, 6で4番目は4です。中間の値についても、上の2つの場合分けが4番目を保証します。xが4のときも4を3個数えることが必要です。

この問いでは順位だけからxは一意に決まりません。7回分の合計など別の条件があれば絞れることがありますが、条件を勝手に加えて1個に決めてはいけません。逆に、4番目が3となるようなxはありません。既知の3以下の値は2個で、xを加えても高々3個だからです。

発展例題：個数と合計の両方から戻す

8回の測定を予定し、1回は測定できませんでした。残る7回の値は整数で、記録できた5個が1、2、2、5、7、残り2個がa、bです。a、bは0以上7以下で、aはb以下とします。測定済み7回の合計は21、昇順の4番目は3です。aとbを整数の組で答え、条件を満たす組がない場合も考えてください。

既知の5個は既に小さい順です。まず合計から2個の和を出します。

既知の合計 = 1 + 2 + 2 + 5 + 7 = 17
a + b = 21 - 17 = 4

次に順位を使います。既知の3未満は1、2、2の3個です。4番目が3であるには、追加した2個の少なくとも一方が3でなければなりません。2個とも3未満なら4番目は3未満ですし、どちらも3でなければ並びの中に3がないからです。

和が4なので、一方が3なら他方は1です。aはb以下という条件から、候補は(a, b) = (1, 3)です。実際に元の値に加えて並べます。

1, 1, 2, 2, 3, 5, 7

この並びの4番目は2です。したがって候補は条件に合わず、答えは該当する組なしです。和だけを満たす(1, 3)が見つかっても、順位に戻すと失敗する例です。実は3未満の既知の3個に1が加わるため、3は5番目に移ります。

条件を読み違えないため、別の候補も点検します。和が4でaはb以下の非負整数の組は(0, 4)、(1, 3)、(2, 2)です。(0, 4)と(2, 2)には3がなく、(1, 3)は上の通り4番目が2です。どれも不適です。7回分の合計は候補ごとに21になりますが、合計の一致は順位の一致を保証しません。

予定の8回目は未測定なので、この2個に混ぜません。もし「8回の合計が21」とだけ書かれていたなら、未測定分を含む値が不明であり、この計算の根拠は得られません。対象を明記することが、逆算の出発点です。

誤った並びをどう直すか

図3のように、記録が0、2、2、未測定のとき、誤答として0、0、2と並べる場合があります。図3では未測定を0に置き換える一方、重複した2を1個落としています。個数はどちらも3なので、個数の確認だけでは誤りを見逃します。

原因は、空欄を数値とみなし、同じ数を1種類として扱ったことです。正しい並びは0、2、2です。0の出現回数は1回、2の出現回数は2回で、元の記録と一致します。誤答の合計は2、正しい合計は4なので、合計の照合でもこの誤りを発見できます。ただし、合計が一致する別の誤りもあるため、値ごとの個数まで戻ります。

並びが小さい順になっているかも別に確認します。0、2、1、2は個数も各値の回数も正しくても、2の後に1があるため昇順ではありません。隣り合う値を左から比べ、左が右以下であることを確認します。等しい隣同士は許されます。

記録が読めない場合も0にしません。数字のかすれた欄は測定された可能性がありますが、その値は不明です。問題が「判読できる値」を対象にしているならその対象から除き、全記録の値を尋ねるなら不足を示します。測定していない場合と原因は違っても、数値を作らない点は共通です。

練習：対象と並びを決める5問

各問の値は自作の記録です。数値を列挙する場合は小さい順に書き、個数は整数、平均は正確な分数または整数で答えてください。

1. 7枚のカードに記録した回数は順に3、0、未測定、1、3、2、未測定です。測定済みの観測数、並び、平均を求めてください。
2. 5本のひもの長さは順に90 cm、1 m、75 cm、90 cm、測定せずです。測定済みの長さをcmで並べ、観測数と合計を答えてください。
3. 6回の得点は1、3、3、5、x、7です。xは0以上7以下の整数です。昇順の3番目が3、6回の合計が23となるxを求めてください。条件を両方確かめます。
4. 4回の観測のうち、数値が読めるのは2、4、4の3回で、残り1回は判読できません。読める値の平均と、4回全部の平均が決まるかを答えてください。判読できない値は0以上の整数とします。
5. 5回の得点は0、2、2、6、xです。xは0以上6以下の整数です。合計が12で、昇順の4番目が3となるxを求めてください。存在しないときはその理由を述べます。

練習の答えと道筋

1. 測定済みは5枚です。未測定の2枚を抜き、0と2個の3は残します。

並び: 0, 1, 2, 3, 3
合計: 0 + 1 + 2 + 3 + 3 = 9
平均: 9/5 回

5個の並びの各値の回数は元の記録に合います。平均に5を掛けると合計9回に戻ります。予定の7枚で割らない理由は、残り2枚の回数が未測定だからです。

2. 1 m = 100 cmに直します。未測定の1本を除いた4本の並びは75、90、90、100 cmです。

合計 = 75 + 90 + 90 + 100
     = 355 cm

元の4本へ戻すと75 cmが1本、90 cmが2本、100 cmが1本です。90を1回しか書かないと本数が3本となり、合計も元の記録に合いません。

3. 既知の合計は次の通りです。

1 + 3 + 3 + 5 + 7 = 19
x = 23 - 19
  = 4

4は指定された整数の範囲にあります。元の記録に戻すと1、3、3、4、5、7で、3番目は3です。合計も1 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7 = 23なので両方の条件を満たします。

4. 読める3個を対象にした合計は2 + 4 + 4 = 10、平均は10/3です。4回全部については、判読できない値が決まらないので平均も決まりません。たとえばその値が0なら合計10、平均10/4 = 5/2です。2なら合計12、平均12/4 = 3です。どちらも指定された整数条件に合い、同じ読める記録に戻るため、4回の平均は一意に決まりません。

5. 既知の合計は0 + 2 + 2 + 6 = 10です。合計の条件からx = 12 − 10 = 2となります。元の記録に戻すと0、2、2、2、6で、4番目は2です。3ではないので、条件を両方満たすxは存在しません。合計によって候補が2に限られるため、ほかの整数も答えになりません。

覚えておくこと

• 観測単位と対象を決め、未測定と実測の0を分けます。
• 重複は観測回数分残し、並べ替えの前後で個数と各値の回数を照合します。
• 平均は対象の合計を対象の個数で割り、対象数0なら求められません。
• 未知値は合計・順位・範囲の条件に戻し、解なしや複数解も調べます。

手が止まる場所を見つける

最初に、元の表の各欄へ「数値」「未測定」「判読不能」の印を付けてもらいます。0に印を付ける位置が違えば、計算より前の対象選びを確認できます。次に、同じ値の隣へ元の記録の名前を添えると、値は同じでも観測は別だと追えます。

個別指導で確かめるときは、並びを答えた後に元の表から各値を消し込めるかを見ます。逆問題なら、候補を出した式だけで終えず、候補を表に入れ直して個数、合計、順位を順に声に出して確かめます。条件を満たす候補が残らなければ、無理に数を作らず「該当なし」と結論します。並べ替えは、元の観測との対応を保って初めて集計の土台になります。