高校数学I 平均値と偏差—合計がつり合う位置から未知の測定値を求める｜武蔵野個別指導塾

測定値の合計を平均と個数から戻し、未知の値を導く鍵は偏差です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、平均に人数を掛けずに未知の測定値を求める場面です。平均が16で、わかっている値の合計が45なら、16から45を引きたくなるかもしれません。しかし、16は1個あたりの値であり、45は複数の値を足した合計です。引き算の前に、対象の個数を使って全体の合計を戻す必要があります。

平均を中心に各値がどれだけ離れているかを見ると、同じ逆算を別の道からも確かめられます。ここでは平均の定義と偏差の和に絞り、分散の計算には進みません。表の数字は説明のために作ったものです。

平均から何を戻すか

平均を求める問題では、まず測定値の合計を個数で割ります。逆に、平均と個数が与えられる場合は、平均に個数を掛けて合計を復元します。未知の値が1個なら、そこから既知の値の合計を引けば求まります。問題文の平均が何個の値についての平均なのかを見落とすと、掛ける数も変わってしまいます。

もう一つの出方は、平均からのずれである偏差が並び、空欄を埋める問題です。偏差には正負があり、平均より大きい値の偏差と小さい値の偏差がつり合います。偏差の和が0という条件から、空欄の偏差を求め、平均を足して元の値へ戻します。

さらに、平均と個数の条件から複数の未知の値を考える問題もあります。合計は決まっても各値が決まるとは限りません。整数や範囲の条件で候補を絞り、条件を満たす組がない場合も含めて判断します。式の答えを出すことと、測定の条件に合うことは別々に確かめます。

つり合いの中心としての平均

同じ単位で測った n 個の値を x₁、x₂、…、xₙ とし、n は正の整数とします。その平均を m とすると、定義は次のとおりです。測定しなかった項目は値が0だった項目とは異なり、対象に数えるかどうかを先に決めます。

m = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n
nm = x₁ + x₂ + … + xₙ

2行目は1行目の両辺に n を掛けたものです。n が正なので割り算は定義されています。平均が整数でなくても、合計に戻すときはその分数を正確に使います。平均が丸められた値なら、掛け算で得られるのは元の合計の範囲であり、一般には正確な合計を1つに決められません。

各値から平均を引いたものを偏差と呼びます。xₖ の偏差は xₖ − m です。単位は元の測定値と同じで、平均より小さければ負、大きければ正、等しければ0です。図1のように、4 cm、6 cm、8 cm の3個を考えると平均は6 cmで、それぞれの偏差は -2 cm、0 cm、2 cm です。

図1の偏差を足すと -2 + 0 + 2 = 0 cm です。平均より左にある分の合計と右にある分の合計が等しいので、平均は数直線上のつり合う位置と見られます。データの中に必ず平均と同じ値がある、という意味ではありません。例えば1 cm と2 cm の平均は3/2 cmで、どちらの値とも一致しません。

なぜどんなデータでも偏差和が0なのでしょうか。n 個の偏差を足すと、各値の合計から平均を n 回引いた式になります。平均の定義を使えば、次のように示せます。

偏差の和 = (x₁ - m) + (x₂ - m) + … + (xₙ - m)
         = (x₁ + x₂ + … + xₙ) - nm
         = nm - nm
         = 0

これは特定の数を試した結果ではなく、定義から導いた関係です。反対に、ある数 c を基準にしたずれの和が0なら、合計 − nc = 0 です。n は正なので、c = 合計/n、つまり c は平均です。単に基準を決めて引いただけではずれの和は0とは限りません。0になるのは、その基準が対象全体の平均であるときです。

偏差の和が0だからといって、各偏差が0とは限りません。図1でも両端は0ではなく、負と正が打ち消し合っています。偏差の符号を残して足すことと、離れた距離を正の数で表すことを混同しないようにします。

平均を使う前に確かめたい境界

平均と合計の行き来では、対象を途中で入れ替えないことが大切です。例えば、3個の値の平均から3個分の合計を出した後に、4個目を加えるなら、新しい平均の分母は4です。古い平均に新しい値を単純に足して2で割ると、最初の3個を1個として扱うことになり、個数の違いが失われます。まず合計を足し、対象の個数で割り直します。

数値が足りないときは、無理に1つの答えを作らないことも判断です。5個の平均と4個の値があれば残り1個は決まりますが、平均だけで既知の値がなければ、合計しか決まりません。2個以上が未知の場合も、合計の条件だけでそれぞれが決まるとは限りません。追加された範囲や整数の条件によって、候補が複数になる場合も、存在しない場合もあります。

平均が「およそ」と示される問題にも注意します。例えば、正確な平均を小数第2位を四捨五入して6.0と表示した場合、正確な平均は5.95以上6.05未満です。対象が10個なら、正確な合計は59.5以上60.5未満になります。したがって、表示された6.0を10倍した60を正確な合計と決めることはできません。元の値が整数という条件がさらにあれば、その範囲内の整数を調べます。

基準を平均と間違えた場合も、偏差の和で点検できます。3個の値が2、5、8なら合計は15、平均は5です。基準を4とすると、基準からのずれは -2、1、4で、和は3です。基準が平均より1小さいため、各ずれが本来の偏差より1ずつ大きくなっています。3個分のずれが残るので、和が0にならない理由を数で追えます。

基本例題：隠れた1枚の長さ

4枚の紙片の長さを cm で測ると、12、15、18、x でした。4枚の平均は正確に16 cmです。x を整数で求め、4枚の平均に戻して確かめてください。

図2のように、既知の3枚の合計と未知の1枚を合わせたものが、4枚全体の合計です。平均16 cmをそのまま全体の合計として扱わず、4枚分に戻します。

平均の定義から、全体の合計は次のとおりです。

全体の合計 = 16・4
           = 64 cm
既知の合計 = 12 + 15 + 18
           = 45 cm
x = 64 - 45
  = 19 cm

図2の空欄には19が入ります。元の4枚に戻すと、12 + 15 + 18 + 19 = 64 cm で、64/4 = 16 cmです。求めた値は正の整数でもあり、紙片の長さという条件にも合います。

偏差でも同じ答えに到達できます。平均16 cmからの偏差は順に -4、-1、2、x − 16 cmです。全体の偏差の和を0として解きます。

-4 - 1 + 2 + (x - 16) = 0
-3 + x - 16 = 0
x - 16 = 3
x = 19

既知の偏差の和は -3 cm なので、残る偏差は3 cmでなければつり合いません。偏差3 cmは長さそのものではなく平均より3 cm長いという意味です。最後に16 cmを足して19 cmに戻します。

標準例題：平均との差を使って空欄を埋める

5人が作ったひもの長さの平均は正確に20 cmです。5人の長さの平均からの偏差は、順に -5、-2、1、4、a cmでした。a と5人目のひもの長さを、それぞれ整数で求めてください。

平均からの偏差の和は0です。既知の4人の偏差を先にまとめると、残りがどちら側にあるかも見えます。

-5 - 2 + 1 + 4 + a = 0
-2 + a = 0
a = 2 cm
5人目の長さ = 20 + 2
             = 22 cm

偏差は正なので、5人目の長さは平均より2 cm長いと読めます。元の長さに戻すと15、18、21、24、22 cmです。合計は100 cmで、100/5 = 20 cmとなり、問題の平均と一致します。

もし空欄に -2 を入れると、既知の偏差の和 -2 cmと同じ向きのずれをさらに加えてしまいます。合計が -4 cmとなって0にならないため、つり合いません。空欄に入れるのは既知の和と符号が逆の値です。既知の和が0なら、空欄の偏差も0で、元の値は平均と等しくなります。

発展例題：合計が決まっても組は決まるか

6個の小石の重さを g の整数で測りました。4個の重さは7、9、11、13 g、残りは a、b gです。6個の平均は正確に10 gで、残りの2個はどちらも8 g以上12 g以下です。a ≦ b とするとき、条件を満たすすべての組 (a, b) を整数で求めてください。

全体の合計と、わかっている4個の合計をそれぞれ求めます。

6個の合計 = 10・6
          = 60 g
4個の合計 = 7 + 9 + 11 + 13
          = 40 g
a + b = 60 - 40
      = 20

ここで a と b は2つの未知数ですが、得られた合計の条件は1本です。したがって a = 10、b = 10 とすぐに決めることはできません。a ≦ b なので a ≦ 10 です。また、a は8以上の整数ですから、候補は8、9、10です。それぞれ b = 20 − a を計算します。

a = 8 のとき b = 12
a = 9 のとき b = 11
a = 10 のとき b = 10

いずれも b は8以上12以下で、a ≦ b も満たします。答えは (8, 12)、(9, 11)、(10, 10) です。どの組でも残りの合計は20 g、6個の合計は60 gであり、60/6 = 10 gと元の平均に戻ります。a が8、9、10以外なら、整数か範囲または a ≦ b に反するため、候補はこれで尽くされています。

条件を変えて2個とも11 g以上とすると、合計は少なくとも22 gです。2個の合計が必要な20 gを超えるため、条件に合う組はありません。逆に順序の条件 a ≦ b がなければ、(12, 8) と (11, 9) も順序つきの組として加わります。平均だけから個々の値を断定せず、問題が区別する順序や範囲を最後まで保ちます。

偏差だけから元の値を決められるか

偏差がわかれば、平均を足して元の値を求められます。ただし、偏差の一覧だけでは平均そのものは決まりません。例えば偏差が -3、1、2の3個について、平均を10とすれば元の値は7、11、12です。平均を20とすれば17、21、22となり、どちらも指定の偏差を持ちます。元の値を求めるには平均も必要です。

逆に、各値とその平均がそろえば、偏差は各値から平均を引いて決まります。偏差の和が0であることは確認に使えますが、それだけで入力した各偏差が正しいと保証されるわけではありません。正しい偏差 -3、1、2を誤って -2、0、2と書いても和は0です。各行で「値 − 平均」を計算したうえで、最後に和を確認することが必要です。

引き算の対象を取り違えたとき

基本例題で「x = 16 − (12 + 15 + 18) = -29 cm」と答えたとします。計算自体は16 − 45 = -29ですが、16は平均であり、45は3枚の合計です。平均と合計は同じ単位の cm で書けても、同じ意味の量ではありません。

図3のように、正しくは平均16 cmを4倍して64 cmという全体の合計を作り、そこから45 cmを引きます。図3の2つの引き算を見比べると、引かれる数の意味が違います。

誤答の -29 cm を元の表に入れると、合計は 12 + 15 + 18 − 29 = 16 cmです。4枚の平均は16/4 = 4 cmとなり、条件の16 cmには戻りません。しかも負の長さは場面に合いません。元の平均に戻す確認は、こうした取り違えを見つける手がかりになります。

別の誤りは偏差の符号を外してしまうことです。標準例題の -5 cmを5 cmとして扱うと、平均より短い分を長い分に変えてしまいます。各値から平均を引く順番をそろえ、負の符号をつけたまま足してください。合計を使う方法と偏差を使う方法の両方で結果が一致するかも確かめられます。

対象が0個の表では平均を求められません。0で割れないため、偏差の和が0という関係をそのまま使うこともできません。また、測定していない欄を勝手に0にすると対象の個数と合計の意味が変わります。データの不足や壊れた記録があれば、まず集計対象を確認します。

手を動かす5問

以下の値と平均はいずれも正確なものです。各問では指定された形と単位で答え、求めた値を元の条件へ戻してください。

1. 5本の棒の長さは3、5、7、9、x cmで、平均は7 cmです。x を整数で求めてください。
2. 4個の容器の容量の平均は12 Lで、平均からの偏差は -3、-1、2、p Lです。p と4個目の容量を整数で求めてください。
3. 3人が運んだ荷物の重さは2、3、y kgで、平均は8/3 kgです。y を整数で求めてください。
4. 5枚の板の厚さは2、4、6、a、b mmで、平均は5 mmです。a、b はともに5以上9以下の整数で、a ≦ b です。条件を満たすすべての組 (a, b) を求めてください。
5. 4回の記録は8、10、12、z 回で、各記録は0以上の整数です。4回の平均が6回であるという条件のもとで z を求め、条件に合うか答えてください。

練習の答えと道筋

1. 5本全体の長さを先に出し、既知の4本を引きます。

全体の合計 = 7・5
           = 35 cm
既知の合計 = 3 + 5 + 7 + 9
           = 24 cm
x = 35 - 24
  = 11 cm

11は正の整数です。5本の合計は3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35 cm、平均は35/5 = 7 cmに戻ります。

2. 偏差の和が0になるように p を決め、平均を足します。

-3 - 1 + 2 + p = 0
-2 + p = 0
p = 2 L
4個目の容量 = 12 + 2
              = 14 L

元の容量は9、11、14、14 Lです。合計は48 Lで、48/4 = 12 Lです。4個目の14 Lから平均12 Lを引くと偏差2 Lにも戻ります。

3. 分数を小数に直さず、3人分の合計に戻します。

全体の合計 = (8/3)・3
           = 8 kg
既知の合計 = 2 + 3
           = 5 kg
y = 8 - 5
  = 3 kg

3は整数で、3人の合計は2 + 3 + 3 = 8 kgです。8/3 kgという元の平均に正確に戻ります。平均の分子8を平均そのものと見ないことが要点です。

4. まず2枚の厚さの合計を求めます。

5枚の合計 = 5・5
          = 25 mm
既知の合計 = 2 + 4 + 6
           = 12 mm
a + b = 25 - 12
      = 13

a ≦ b から a ≦ 13/2 です。a は5以上の整数なので、a は5か6です。

a = 5 のとき b = 8
a = 6 のとき b = 7

どちらの b も5以上9以下です。答えは (5, 8)、(6, 7) です。各組の合計は13 mmで、既知の12 mmを足すと25 mm、5枚の平均は5 mmに戻ります。a が7以上なら a ≦ b のもとで合計が14以上になり、13にはなりません。

5. 平均から必要な合計を出して、既知の記録と比べます。

4回の合計 = 6・4
          = 24 回
既知の合計 = 8 + 10 + 12
           = 30 回
z = 24 - 30
  = -6 回

式を満たす値は -6 ですが、記録は0以上という条件に合いません。したがって条件を満たす z は存在しません。実際に -6 を入れれば合計24回、平均6回には戻るものの、記録の条件を破ります。式への代入と場面の条件の両方を確認して、初めて解の有無を判断できます。

覚えておくこと

平均に対象の個数を掛けると合計に戻ります。
偏差は各値から平均を引いた値で、その和は0です。
未知の偏差を求めた後は平均を足して元の値に戻します。
得られた値を平均と個数、整数や範囲の条件に戻して確かめます。

どこで止まったかを見つける

式が立たないときは、表に「対象の個数」「平均」「合計」の3つを書き、問題がどれを与えているか印をつけます。平均と合計を混ぜているなら、まず同じ平均を個数分並べると全体の合計になることを、基本例題の4枚で説明してみます。

偏差の表で止まる場合は、平均より小さい値に負の符号がついているか、空欄が偏差なのか元の値なのかを確認します。個別指導では、途中式を見て掛け算、符号、条件への代入のどこで判断が変わったかを確かめます。合計に戻す道と偏差のつり合いを結ぶと、答えの理由まで自分の言葉で説明できます。