高校数学I 中央値と順位—偶数個と同じ値がある並びから中央を取り出す｜武蔵野個別指導塾

中央の2値が異なる場合や同値が続く場合を、順位と整数条件から読み解く鍵は中央値です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、偶数個のデータで左側の中央だけを中央値にする場面です。中央に近い値を選んだつもりでも、右側にも同じだけ中央に近い値があります。2つの値が違うときは、その間の値を求めなければなりません。

中央値を探す道具は、まず値の小さい順に付けた順位です。同じ値があっても観測した個数は減りません。順位を数えてから値を読み、奇数か偶数かで最後の操作を分けます。未知の値や個数を逆算するときも、この順番を崩さないことが出発点です。

中央を問う3つの形

1つ目は、測定値の一覧を並べ替え、中央の値を求める形です。奇数個なら真ん中の1個、偶数個なら中央の2個の平均を取ります。表の行順が測定順である場合、そのままの中央は大小の中央とは限りません。

2つ目は、同じ値の人数がまとまって与えられ、中央値を含む順位を探す形です。値ごとの人数を小さい方から累積し、中央の順位がどの集団に入るかを調べます。同値の人に区別がなくても、個数分の順位を占めます。

3つ目は、中央値から未知の測定値や人数を求める形です。未知数の大小によって並び順が変わるため、先に中央を決め打ちできません。場合分けで求めた値を元の条件に戻し、人数なら非負整数であることも確認します。

順位と値を分けて考える

データを小さい順に並べ、同じ値も観測された回数だけ書きます。個数をnとすると、nが奇数の場合、中央の順位は(n + 1)/2番目です。たとえば7個なら4番目で、その前後に3個ずつあります。

nが偶数の場合、中央の順位はn/2番目とn/2 + 1番目です。この2つの値を足して2で割ったものが中央値です。8個なら4番目と5番目を使います。中央値が実際のデータに含まれるとは限らず、中央2値が同じならその値が中央値です。

図1のように、順位の位置と、そこに置かれた値は別のものです。左の中央と右の中央の間に線を引くと、どちらか一方に寄らない位置が見えます。

図1の7個では4番目を、8個では4番目と5番目を読みます。順位は1, 2, 3と数える位置であって、測定値の大小そのものではありません。例えば中央2値が5と9なら中央値は7ですが、7という測定値が存在する必要はありません。

同じ値が続く場合を考えます。並びが1, 3, 3, 3, 8なら、3という値は2番目から4番目までを占めます。5個の中央は3番目なので中央値は3です。異なる値だけを1, 3, 8と数え直しても、この例では偶然同じ答えですが、別のデータでは答えが変わります。観測数と種類数を区別してください。

中央に同じ値が並ぶとき、中央値以下の個数と中央値以上の個数を、それぞれ厳密に半分と決めることもできません。中央値と等しい観測は両方の数え方に入るからです。順位の左右に何個あるかと、ある値以下の個数は異なる問いです。

基本例題：8個の記録を並べる

8回の自作の測定で得た長さは、単位をcmとして、12, 5, 9, 7, 14, 9, 4, 10でした。中央値をcm単位の整数または分数で求めてください。

まず個数は8です。値を小さい順に並べると、4, 5, 7, 9, 9, 10, 12, 14です。9は2回測定されたので2個分残します。図2のように中央2個に順位を付けてから値を読みます。

図2では4番目も5番目も9 cmです。したがって、計算は次のようになります。

8/2 = 4
8/2 + 1 = 5
中央値 = (9 + 9)/2
       = 9 cm

答えは9 cmです。元の並びに戻しても、4番目より前に3個、5番目より後に3個あります。中央2値が同じなので、左側の中央だけを読んでも今回は数値が一致します。しかし、その一致は手順の正しさを保証しません。中央が7と9であれば、左の7だけではなく8を取ります。

値を並べる前に個数を確認すると、書き落としを見つけやすくなります。並べ替えの後にも8個あるかを数え、9が2回残っていることを確かめます。順位を付ける操作と平均を取る操作を別行に書けば、どちらで誤ったかを後から追えます。

並べた結果の中央2値が同じかどうかも、計算して初めて確定します。測定順の中央にあった2個と、小さい順の中央2個は一致するとは限りません。例えば元の記録の4番目と5番目は7と14ですが、並べた後の4番目と5番目は9と9です。元の表の真ん中を直接読む方法では、この区別が失われます。

標準例題：同じ値が何人分かを数える

ある班の12人が自作の課題で作った図形の個数を調べたところ、2個が2人、4個が3人、6個が4人、8個が3人でした。中央値を整数または分数で、単位を付けて求めてください。

人数の合計は2 + 3 + 4 + 3 = 12人です。中央の順位は6番目と7番目です。値ごとに順位の範囲を書きます。

2個: 1番目から2番目
4個: 3番目から5番目
6個: 6番目から9番目
8個: 10番目から12番目

6番目と7番目はいずれも6個の範囲に入ります。したがって中央値は(6 + 6)/2 = 6個です。累積人数を使えば、4個以下は5人、6個以下は9人なので、6番目と7番目が6個にあると確認できます。

人数を元の条件へ戻すと、6個より少ない人は5人、6個の人は4人、6個より多い人は3人で合計12人です。6個以下は9人、6個以上は7人です。どちらも6人とは限らない理由は、6個の4人を両方に含めているためです。

境界での読み違いに注意します。もし中央の一方が5番目、もう一方が6番目なら、それぞれ4個と6個になり、中央値は5個です。この場合も表に5個という記録がなくて構いません。累積人数がちょうど中央の左順位で止まると、右順位は次の値に移ります。

発展例題：人数を中央値から逆算する

自作の記録で、読んだ本の冊数が1冊の人は3人、3冊の人はx人、7冊の人は4人でした。xは0以上の整数とします。全員の中央値が5冊となるxを求め、存在するものをすべて整数で答えてください。

中央値5冊は、記録にある1, 3, 7のいずれとも異なります。奇数人なら中央の1人の値が中央値なので、奇数人では5冊になりません。偶数人なら中央2値の平均です。異なる2値の組を調べると、(1 + 3)/2 = 2、(1 + 7)/2 = 4、(3 + 7)/2 = 5です。同じ値2つの平均はその値自身です。したがって中央2値は3冊と7冊でなければなりません。

1冊と3冊を合わせた人数は3 + x人です。中央の左順位は最後の3冊の人、右順位は最初の7冊の人に当たります。全人数はx + 7人なので、次の式が必要です。

(x + 7)/2 = 3 + x
x + 7 = 6 + 2x
x = 1

x = 1は0以上の整数です。元の場面へ戻すと、並びは1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7の8人です。4番目は3冊、5番目は7冊なので、中央値は(3 + 7)/2 = 5冊です。人数も3 + 1 + 4 = 8人と一致します。

この確認は必要条件だけで止まらないために行います。式から候補が出ても、x = 0なら3冊の人が存在せず、想定した中央2値を作れません。また負の数や小数が出た場合、人数として採用できません。今回はx = 1が両方の条件を満たすので、答えは1人です。

中央2値の和が10になることだけから、ただちに3と7を選ぶのではなく、与えられた値の組を調べることが根拠です。逆に中央値がデータの値と一致する問題では、中央2値が同じ場合と異なる場合の両方を調べる必要があります。

左の中央だけを選ぶ誤りを直す

6個の記録が2, 4, 5, 9, 11, 13と並んでいるとします。3番目が5なので中央値を5と答えた場合、偶数個なのに右側の中央を見落としています。図3のように、3番目と4番目は同じ立場です。

図3の中央2値は5と9です。正しくは(5 + 9)/2 = 7で、答えは7です。7は観測値ではありませんが、2つの中央のちょうど中間です。5と答えると、右の9を選ぶ場合と扱いが対称になりません。

別の誤りは、6という個数から3を求めた後、その3を中央値とすることです。3は順位であり、3番目の値ではありません。順位の行と値の行を別に書いて、順位から値へ矢印を引くと区別できます。

同じ値が複数ある表では、その値を1回だけ書く誤りもあります。たとえば2, 2, 2, 8, 9の中央値は3番目の2です。2, 8, 9に縮めると8になり、観測の回数が失われます。値の種類を数える問いではないので、元の個数を保って並べてください。

練習：先に5問を解く

次の記録はすべて練習用に作ったものです。中央値は指定された単位で整数または分数として答えてください。人数を求める問題は条件を満たす整数をすべて答えます。

1. 5回の作業時間は、単位を分として、18, 11, 15, 20, 13でした。中央値を求めてください。
2. 6本のひもの長さは、単位をcmとして、4, 8, 6, 10, 6, 14でした。中央値を求めてください。
3. 10人の歩数を百歩単位でまとめると、3が2人、5が3人、9が2人、12が3人でした。中央値を百歩単位で求めてください。
4. 5個の記録が小さい順に2, 5, x, 11, 14と並び、中央値は8です。xを整数で求めてください。
5. 2点の人が4人、6点の人がy人、10点の人が3人います。yは0以上の整数で、全員の中央値が8点です。yを求めてください。

練習の答えとたどり方

1. 並べ替えると11, 13, 15, 18, 20です。5個の中央は(5 + 1)/2 = 3番目なので、答えは15分です。前に2個、後に2個あり、元の5回の記録をすべて使っています。

2. 並べ替えると4, 6, 6, 8, 10, 14です。6個の中央は3番目と4番目で、値は6 cmと8 cmです。

中央値 = (6 + 8)/2
       = 14/2
       = 7 cm

6が2本あることを保った並びに戻すと、中央の前後に2本ずつあります。7 cmのひもはなくても、中央値は7 cmです。

3. 3は1〜2番目、5は3〜5番目、9は6〜7番目、12は8〜10番目です。10人の中央は5番目と6番目なので、値は5と9です。

中央値 = (5 + 9)/2
       = 14/2
       = 7

答えは7百歩です。元の人数に戻すと2 + 3 + 2 + 3 = 10人で、5以下は5人、9以上は5人です。境界の両側に異なる値があることも確認できます。

4. 5個の中央は3番目です。並び順が与えられているので、その値xが中央値です。よってx = 8です。2, 5, 8, 11, 14と戻すと順序が保たれ、3番目も8なので条件に合います。

5. 奇数人なら中央値は2, 6, 10のいずれかです。8になるには偶数人で、中央2値の平均が8である必要があります。与えられた値の組では(6 + 10)/2 = 8です。したがって左中央は最後の6点、右中央は最初の10点です。

(4 + y + 3)/2 = 4 + y
y + 7 = 8 + 2y
y = -1

-1は0以上の整数ではありません。よって条件を満たすyは存在しません。実際には6点以下の人が少なくとも4人、10点の人は3人です。6点と10点が中央を挟むには両側が同人数である必要がありますが、その時点で不可能です。式の解を人数として受け入れないことが、この問題の結論です。

手元に残す4行

小さい順に並べ、同値も個数分残します。 奇数個は(n + 1)/2番目の値です。 偶数個はn/2番目とその次の値の平均です。 逆算した値や人数は、元の順序と条件に戻します。

つまずく位置を見つける

答えが違ったら、最初に元の個数と並べ替え後の個数を比べます。同じ値を落としていれば、順位を計算し直す前に表を修正します。個数が合っていれば、奇数か偶数か、中央の順位、順位に対応する値、最後の平均という順に確認します。

個別指導では、答えだけでなく並びの上に順位を書いてもらうと、位置の誤りと値の読み違いを分けて見られます。逆問題では、候補を代入した後に実際の並びを作り、整数条件と中央2値を声に出して確かめます。中央の位置を押さえれば、同値も未知数も同じ順位の考え方で扱えます。