高校数学I 最頻値と代表値—分布の偏りに合わせて中心を伝える数を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

同じ最多度数を持つ値や極端な観測値を比べ、目的に応じて選ぶのが最頻値と代表値です。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、最多の値が二つあるのに一つだけを最頻値として答える場面です。値を小さい順に見て最初に見つけたものを選んでも、もう一方の度数は減りません。表の各行を最後まで見て、何を代表させたいのかまで考えましょう。ここでは個々の値の度数を使い、平均値、中央値、最頻値を比較します。

どの問いにどの数を使うか

出方の一つは、観測値の一覧から度数を数え、最多の値をすべて挙げる問いです。同じ値が続く場所を数え、最大の度数と一致する行を探します。最大の度数そのものは最頻値ではなく、その度数に対応する観測値が最頻値です。

二つ目は、極端に大きい値が混じる一覧で、平均値と中央値を求め、普段の値を伝えるにはどちらが適切か理由を述べる問いです。平均値は合計を人数で割るため、各値の大きさを反映します。中央値は順位で中央を決めるため、端の値だけが変わっても中央の順位の値が変わらないことがあります。

三つ目は、未知の値を加えたときの最頻値の条件を逆に求める問いです。追加前の度数だけで決めず、追加する値が既存の値か、それ以外かを分けます。代表値の選択に唯一の正解を決めるには、何を伝えるかという目的が必要です。

値と度数を分けて読む

最頻値は、最も多く現れる値です。図1のように、観測値 1、2、3、4 に対する度数が順に 1、3、3、1 なら、最大の度数は 3 で、最頻値は 2 と 3 です。両方に同じ資格があります。ここでデータの個数は度数の和 1 + 3 + 3 + 1 = 8 です。

図1では、値と度数の位置を対応させて読みます。例えば 3 は値としても度数としても現れますが、役割が違います。最大度数を見つけた後に、その列の値へ戻ると取り違えを防げます。

どの値も1回ずつなら、すべての値が同じ最大度数を持ちます。このようなデータを「最頻値なし」と扱うこともあるため、問題で扱いを定める必要があります。以下では、すべて同じ度数なら最頻値なしとし、それ以外は最大度数に対応する値をすべて答えます。ただし、すべての観測値が同じなら、その共通の値が最頻値です。「同度数なら最頻値なし」とする以下の約束は、異なる値が2種類以上ある場合に限ります。別の約束が与えられた場合は、その指示に従います。

平均値は、観測値の合計をデータ数で割った値です。中央値は昇順に並べたとき、奇数個なら中央の値、偶数個なら中央の2値の平均です。どちらも実際の観測値とは限りません。最頻値は実際に現れた値なので、最も多い測定値を伝えるときに使えます。

ただし最頻値が一つでも、その値が全体の大半を占めるとは限りません。最大度数と総数を併記すると、どの程度多いかが見えます。また、数の大小に意味があるデータでは平均や中央値も比較できますが、代表値一つから元の並び全体は復元できません。階級にまとめた表では、最多の階級と個々の観測値の最頻値を区別します。階級内の元の値が不明なら、個々の値の最頻値は決まりません。

表から読み取れないこと

最頻値が同じ二つの記録でも、他の値の分布は異なります。例えば 2、2、3、4、5 と 2、2、7、8、9 は、どちらも最頻値が2ですが、平均値はそれぞれ 16/5 と 28/5 です。最も多い値が同じという情報だけでは、残りの値や合計は決まりません。中央値もそれぞれ3と7で異なります。

反対に平均値が同じでも、最頻値が同じとは限りません。1、1、4 と 1、2、3 はともに合計6、平均2ですが、前者の最頻値は1、後者はこの節の約束では最頻値なしです。どちらの比較でも、データ数と合計を確かめた上で度数を見ています。代表値が一致したという事実と、分布が一致するという主張は区別しましょう。

極端な値が一つある場合も、その値が測定の間違いとは限りません。記録の取り違えがないか調べた後、実際の値として残るなら、平均と中央値の違いを説明する材料になります。どちらが常に優れているかではなく、合計を扱うのか中央の順位を扱うのかを先に決めると、選択の理由を明確に書けます。

基本例題：最多の行を残す

ある日の自作の記録で、7人が作った紙の模型の個数は、順に 1、2、2、3、3、4、6 個でした。平均値を分数、中央値と最頻値を整数で求め、最も多い個数を伝える数を選んでください。すべて同度数なら最頻値なしとします。

図2のように値ごとに数えます。1、2、3、4、6 の度数はそれぞれ 1、2、2、1、1 です。最大度数は 2 なので、最頻値は 2 個と 3 個です。7人の記録を度数の和 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 7 で確かめます。

合計と平均値は次の通りです。

合計 = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 6
     = 21 個
平均値 = 21/7
       = 3 個

昇順の7個の中央は4番目なので、中央値も 3 個です。最も多い個数を伝える目的には、最頻値の 2 個と 3 個を両方示します。平均値の 3 個だけでは、2 個も同じ人数に現れたことが伝わりません。

図2の各度数に値を掛けて足すと、1・1 + 2・2 + 3・2 + 4・1 + 6・1 = 21 個です。平均値 3 個に7人を掛けても21個に戻ります。中央値も並びの前後に3個ずつあることを確かめられます。答えを元の記録へ戻して、人数と合計の両方を点検します。

標準例題：端の値と中心

8回の自作の作業時間は、短い順に 4、5、5、6、6、7、7、40 分でした。平均値は分数、中央値は整数または分数、最頻値は整数で求めてください。すべて同度数なら最頻値なしとします。また、普段の作業時間の中心を伝えたいときの数を一つ選び、理由を述べてください。

合計 = 4 + 5 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 40
     = 80 分
平均値 = 80/8
       = 10 分
中央値 = (6 + 6)/2
       = 6 分

4番目と5番目がともに6です。5、6、7は各2回で、それ以外は各1回なので最頻値は 5、6、7 分です。普段の中心という目的なら中央値 6 分を選べます。40分の記録を含む平均は、その大きさを合計に反映し、他の7回より上の10分になります。

40分を取り除くという意味ではありません。8回全体の所要時間から1回当たりの量を考えるなら、合計を反映する平均値 10 分が適切です。平均値に8回を掛けると80分に戻ります。中央値に使う4番目と5番目はともに6分で、この中央2個の前に3個、後ろに3個が並びます。最頻値は3つあるため、最多の時間を述べるなら3つとも示します。目的を明記すると、同じ表から異なる数を選んでも理由を比較できます。

発展例題：追加する値を逆に決める

ある自作の記録にある8個の整数は、1、1、2、2、3、3、4、5 です。整数を1個追加して、最頻値がちょうど2と3になることはありますか。あるなら追加する整数をすべて求め、ないなら理由を述べてください。すべて同度数なら最頻値なしとします。

追加前は1、2、3の度数が各2で、4、5の度数が各1です。追加後に2と3が両方とも最頻値なら、両者の度数は等しく最大でなければなりません。追加する整数を場合分けします。

1を加えると度数は 1 が3、2と3が各2です。最頻値は1だけになり、条件に合いません。2を加えると2が3回、3を加えると3が3回となり、それぞれ片方だけが最多です。4または5を加えると、その値も2回となり、1も含めて4つの値が最多です。その他の整数を加えると新しい値は1回で、1、2、3が各2回のままです。

したがって条件を満たす整数はありません。追加後の総数はどの場合も9個で、数え落としはありません。2と3を同時に増やせないことに加え、増やさない場合は1も最多のまま残ることが決め手です。「2と3が最頻値に含まれる」だけなら、その他の整数なども候補になります。「ちょうど」という条件を元の表で確かめる必要があります。

誤答から表へ戻る

図3の記録は値 1、2、3、4 の度数が順に 2、3、3、1 です。「最頻値は2」と答えると、2が最大度数を持つことは正しいものの、同じ度数の3が抜けます。原因は、最初に最大を見つけた時点で探索を終えることです。

図3では最大度数 3 を先に決めてから、全列を照合します。修正後は「最頻値は2と3」です。度数の和は 2 + 3 + 3 + 1 = 9 で、各値を合計すると 1・2 + 2・3 + 3・3 + 4・1 = 21 です。総数だけが合っていても値の対応がずれている場合があるため、両方を点検します。

もう一つの誤りは「中央値が6だから、すべての記録が6に近い」と結論することです。標準例題には40分が含まれます。中央値は中央の順位に関する情報であり、端までの距離を指定しません。代表値と一緒に元の記録や端の値を見ると、その結論を修正できます。

練習：目的と条件を添えて答える

次の5問では、すべての異なる値が同じ度数なら最頻値なし、それ以外は最大度数に対応する値をすべて答えるものとします。平均値は整数または正確な分数で表し、単位を添えてください。

1. 6人が読んだ冊数は 1、1、2、3、3、4 冊です。最頻値と中央値を求めてください。
2. 5個の自作の部品の重さは 2、3、3、4、18 gです。平均値と中央値を求め、典型的な重さを伝える数を一つ選び、理由を述べてください。
3. 5回の記録は 2、4、6、8、10 点です。最頻値を求め、理由を述べてください。
4. 7人の記録は 1、1、2、2、2、3、3 個です。整数を1個加えた8人の記録で、最頻値がちょうど1と2になるような追加値をすべて求めてください。
5. 6回の距離は 3、3、5、5、7、13 mです。平均値、中央値、最頻値を求め、合計距離を6回で均等に分けた量を表す数を選んでください。

練習の答えと解き方

1. 度数は1冊が2人、2冊が1人、3冊が2人、4冊が1人です。最大度数は2なので、最頻値は1冊と3冊です。中央の3番目と4番目は2冊と3冊です。

中央値 = (2 + 3)/2
       = 5/2 冊

度数の和は6人で、中央の2値の前後に2人ずついます。中央値が実際の冊数と一致しない場合もあります。

2. 合計は 2 + 3 + 3 + 4 + 18 = 30 gです。

平均値 = 30/5
       = 6 g
中央値 = 3 g

5個の中央は3番目の3 gです。典型的な重さには中央値を選べます。18 gが平均を引き上げる一方、中央値は並びの中央を表すからです。平均に5個を掛けると30 gに戻ります。18 gも実際の記録として扱い、勝手に除きません。

3. どの値も1回ずつ現れます。この問題の約束では最頻値なしです。5個を数え直しても最多の値を他と区別できません。異なる約束の問題では、結論の表現が変わることに注意します。

4. 追加前の度数は1が2人、2が3人、3が2人です。1を加えると1と2は各3人、3は2人となり、条件を満たします。2を加えると2が4人で単独の最多です。3を加えると2と3が各3人です。その他の整数を加えると新しい値は1人で、2が単独の最多です。よって追加値は1個です。元の表へ入れれば度数は 3 + 3 + 2 = 8 人となります。

5. 合計と平均は次のように求めます。

合計 = 3 + 3 + 5 + 5 + 7 + 13
     = 36 m
平均値 = 36/6
       = 6 m
中央値 = (5 + 5)/2
       = 5 m

3 mと5 mは各2回で、7 mと13 mは各1回です。最頻値は3 mと5 mです。合計を6回で均等に分けた量は平均値の6 mです。6 mを6回分に戻すと36 mとなり、元の合計に一致します。中央値や最頻値はその合計を直接示しません。

手元に残す要点

最頻値は最大度数に対応する値を全部調べます。
中央値は並べた中央の順位から求めます。
平均値は合計を個数で割り、端の値も反映します。
代表値は伝えたい内容と元の分布を合わせて選びます。

つまずきの位置を見つける

答えが一つ足りないときは、まず度数表を最後まで数えたかを確認します。度数の最大値を正しく出せたのに値へ戻せない場合と、同じ値を別々に数えてしまう場合では、直す場所が違います。表の合計と元の個数を照合し、最大の度数に印を付けてから対応する値を読みます。

個別指導で確かめるなら、計算結果だけでなく「なぜその代表値を選ぶか」を、対象と目的を含む一文で説明してもらいます。平均を選ぶなら合計へ戻せるか、中央値を選ぶなら中央の順位を示せるか、最頻値なら同じ最大度数の行を残したかを順に見ます。代表値の選択は、表のどの特徴を伝えるかで決まります。