高校数学II 恒等式と等式の証明—係数比較と式の変形を使い分けて根拠を書く｜武蔵野個別指導塾

係数比較と数値代入の例題、比例式の証明を通して、根拠から導くのは恒等式です。

よくあるのは、証明すべき等式を最初から成立すると扱い、式を変形して最後に正しい式へたどり着く場面です。終点が正しくても、そこへ至る矢印を逆にたどれるとは限りません。何が条件として使え、何がまだ結論なのかを分けると、答案の出発点が見えてきます。恒等式では文字の役割も区別し、決める係数と自由に動く文字を取り違えないようにします。

定期テストで求められること

恒等式と等式の証明には、まず係数を求める型があります。xについての等式がどのxでも成立するという条件から、xの各次数の係数を比べたり、代入しやすい値を選んだりして、未知の定数を決めます。求めた定数を元の等式に戻すところまでが解答です。特定の値で成立したことと、どの値でも成立することは区別します。

次に、与えられた条件を利用して別の等式を示す型があります。例えば2つの文字の和が決まっているとき、証明したい式の左辺から出発して、その和を使える形に変えます。両辺の差が0になることを示す方法もあります。条件の式をどこで使ったかを答案に残すと、変形の根拠が追いやすくなります。

もう1つは比例式を使う型です。比が等しいことから共通の値を置き、各文字をその値で表して計算します。分母になる数が0でないことや、途中で割ろうとする式が0にならないことも確認します。ここでは不等式の証明には広げず、等式が成り立つ理由を扱います。

何を動かし、何を比べるか

xについての恒等式とは、式が定義される範囲のどのxを入れても成り立つ等式です。例えば 2(x + 1) = 2x + 2 は、xをどの実数にしても両辺が一致します。一方、2x + 1 = 7 は x = 3 のときに成り立つ方程式であり、どのxでも成立するわけではありません。未知の定数を含む恒等式の問題では、まずxを自由に動く文字、aなどを決めたい定数として読み分けます。

整式の恒等式では、両辺をxの同じ次数ごとに整理すると、対応する係数が等しくなります。定数項はxの0次の係数です。片方にある次数が他方に見当たらなければ、その係数を0として比較します。係数比較は、同じ文字について両辺を整式として整理してから使います。

数値代入法は、恒等式がどのxでも成り立つことを利用し、便利な値を入れて定数の条件を作る方法です。ある項が0になる値なら、求めたい定数が絞られます。ただし、いくつかの値で一致しただけで、一般に恒等式が証明されたとは言えません。定数の候補を得た後に、元の両辺を展開するなどして全てのxで一致することを示します。分数を含む場合は、代入値で元の分母が0にならないことも必要です。

図1のように、展開後の同じ次数を比べる道と、項を消す値を代入する道は、どちらも恒等式の条件から出発します。最後に元の式へ戻し、求めた定数が条件を満たすことを確かめる点も共通です。代入で作った条件は候補を絞るためのものであり、その候補が十分かどうかは別に調べます。

代入の候補を確かめる理由

例えば、x(x − 1) は x = 0 と x = 1 のどちらでも0ですが、x = 2 では2です。したがって「2つの値で左辺と右辺が一致した」という情報だけでは、両辺が恒等的に等しいとは言えません。何個の条件が必要かを考えるときは、式の次数と未知の定数の数、各条件が独立しているかにも注意します。実際の答案では、代入から定数の候補を求めた後、元の式に入れて展開すれば、次数に関する別の判定を持ち出さずに成立を確認できます。

係数比較でも、どの等式が恒等式なのかを先に確かめます。例えば x² + ax + 1 = 0 が特定のxで成り立つという条件なら、各係数を0とは置けません。たとえ左辺がある値で0になっても、別の値では0でない場合があるからです。等式を満たすxを探す問いと、全てのxで成り立つようにaを決める問いでは、使える情報が違います。問題文の「xについて恒等式」という部分が比較の根拠です。

基本例題：次数ごとに定数を決める

問題　a、b、cは実数の定数です。等式

2x² + 3x − 1 = a(x + 1)² + b(x + 1) + c

がxについて恒等式となるように、a、b、cを整数で求めてください。

図2のように、右辺を展開してxの次数をそろえます。左辺の係数と対応させると、上の次数から順に定数を決められます。

右辺は

a(x² + 2x + 1) + bx + b + c

= ax² + (2a + b)x + (a + b + c)

です。したがって、x²、x、定数項の係数をそれぞれ比較すると

a = 2

2a + b = 3

a + b + c = -1

を得ます。1行目を2行目に代入して

4 + b = 3、よって b = -1。

さらに3行目に代入すると

2 − 1 + c = -1、よって c = -2。

候補は a = 2、b = -1、c = -2 です。元の右辺に戻して展開すると

2(x + 1)² − (x + 1) − 2

= 2x² + 4x + 2 − x − 1 − 2

= 2x² + 3x − 1

となり、任意の実数xで左辺に一致します。係数比較で候補が必要なことを示し、代入後の展開で実際に恒等式になることを確かめました。

同じ問題では x = -1 を代入すると、右辺の最初の2項が消えるので c = -2 と先に求めることもできます。別の値も代入して残りを求められますが、値を選んだ理由と、候補を元の式で確かめる作業を省かないことが大切です。係数比較なら次数をそろえる手間があり、代入法なら連立方程式の作り方に工夫が要ります。

条件を証明に使う：比例式から出発

問題　実数a、b、c、dは b ≠ 0、d ≠ 0、b + d ≠ 0 を満たし、a/b = c/d とします。このとき (a + c)/(b + d) = a/b を証明してください。

証明したい等式を先に正しいものとして書くのではなく、与えられた比例式から進めます。共通の値をkと置くと

a/b = c/d = k

です。bとdはともに0でないので、両辺にそれぞれの分母を掛けて

a = bk、c = dk

と表せます。求める等式の左辺を変形すると

(a + c)/(b + d)

= (bk + dk)/(b + d)

= k(b + d)/(b + d)

= k

です。最後の約分は b + d ≠ 0 だからできます。また、条件とkの定義から右辺 a/b もkです。よって両辺は等しく、示すべき等式が成立します。

b ≠ 0、d ≠ 0 だけでは b + d ≠ 0 は保証されません。例えば b = 1、d = -1 なら和は0です。この場合は結論の左辺自体が定義されないため、分母の条件を問題の出発点で確認する必要があります。aやcが0である可能性は残りますが、上の証明ではaやcで割っていないため差し支えありません。

条件が比例式でなく、例えば文字の和についての等式なら、その和を含むまとまりを作る方法が有効です。どの方法を選ぶ場合も、条件から言えることを先に置き、示したい式の片側または両辺の差を変形します。成立させたい結論を根拠なしに使う必要はありません。

誤答を直す：結論から始めない

実数p、qについて p + q = 4 のとき、p² − q² = 4(p − q) を証明する場面を考えます。次の書き方は証明として不十分です。

「p² − q² = 4(p − q) とすると、(p − q)(p + q) = 4(p − q)。条件より (p − q)4 = 4(p − q) となり正しい」

最初の行で、まだ証明していない等式を仮定しています。仮定から正しい式が出るだけでは、その仮定が正しいとは限りません。途中の変形が逆向きにも成立すると丁寧に示せば別ですが、それを書かずに正しい式へ着いたことだけで結論を出すのは循環した説明です。

図3のように、出発点を条件と左辺に置き直します。平方の差を因数分解してから条件を使えば

p² − q² = (p − q)(p + q)

= (p − q)4

= 4(p − q)

です。左辺を右辺に変形できたので、求める等式が示されました。p − q で割っていないため、p = q の場合も含まれます。この場合は条件から p = q = 2 であり、元の両辺はともに0です。

もう1つ注意したいのは、両辺の差を取る方法です。「差が0なら等しい」ことを使うので、差の計算を0へ到達させます。最初から差が0と置くのではなく、左辺から右辺を引いた式を計算し、条件によって0になると書けば根拠が明確です。特定の数を入れて両辺が一致したことは計算の点検には役立ちますが、条件を満たす他の数まで証明したことにはなりません。

差を取る別の道筋

同じ条件 p + q = 4 のもとで、左辺から右辺を引いても証明できます。実際に

p² − q² − 4(p − q)

= (p − q)(p + q) − 4(p − q)

= (p − q)(p + q − 4)

= 0

です。最後の行で条件を使いました。左辺から右辺を引いた結果が0なので、両辺は等しくなります。こちらの方法でも p − q で割らずに済み、p = q の場合を除外しません。差を計算する途中で条件を使える形が現れるかどうかが、方針を選ぶ目印です。

練習：まず自分で方針を決める

次の4問を解いてから、後ろの答えと比べてください。係数を求める問題では整数で答え、証明の問題では条件を使う行と、割る式が0でない理由を示します。

1. 等式 3x² − 2x + 5 = A(x − 2) + Bx² + C がxについて恒等式となるように、実数の定数A、B、Cを求めてください。
2. 等式 2x + 7 = M(x − 1) + N(x + 2) がxについて恒等式となるように、実数の定数M、Nを、値の代入を利用して求めてください。
3. 実数u、vが u − v = 3 を満たすとき、u² − v² = 3(u + v) を証明してください。
4. 実数r、s、tが r/2 = s/3 = t/5 を満たすとき、3r + 2s = 12t/5 を証明してください。

答えと道筋

1. 右辺を整理すると Bx² + Ax + (C − 2A) です。係数比較により B = 3、A = -2、C − 2A = 5 なので C = 1 です。元の右辺へ戻すと -2(x − 2) + 3x² + 1 = 3x² − 2x + 5 となり、任意のxで左辺と一致します。答えは A = -2、B = 3、C = 1 です。xの係数を比べる際、右辺の定数Cをxの係数に混ぜないようにします。

2. x = 1 を入れると 9 = 3N なので N = 3 です。x = -2 を入れると 3 = -3M なので M = -1 です。元の右辺へ戻すと -(x − 1) + 3(x + 2) = 2x + 7 となります。2つの代入は候補を得るために使い、最後の展開が任意のxでの成立を示します。答えは M = -1、N = 3 です。

3. 左辺を因数分解すると u² − v² = (u − v)(u + v) です。条件 u − v = 3 を代入すれば 3(u + v) となり、右辺に一致します。u + v が0でも割り算をしていないので、この証明は使えます。例えば u = 3/2、v = -3/2 は条件を満たし、元の両辺はともに0です。この代入は点検であり、直前の文字による変形が証明です。

4. 共通の値をhと置けば r = 2h、s = 3h、t = 5h です。左辺は 3r + 2s = 6h + 6h = 12h、右辺は 12t/5 = 12(5h)/5 = 12h なので等式が成り立ちます。分母の2、3、5はいずれも0でなく、hは0でもかまいません。例えば h = -1 なら r = -2、s = -3、t = -5 で、元の比は全て -1、結論の両辺はともに -12 です。共通の値で表した計算が一般の場合の証明です。

手元に残す要点

• 恒等式の係数比較では、同じ文字の同じ次数をそろえます。
• 数値代入で得た候補は、元の式に戻して全ての値での成立を示します。
• 条件付きの証明は、条件から左辺や差を変形します。
• 比例式では分母と、途中で割る式が0でないか確認します。

どの行で止まるかを見分ける

展開はできるのに定数が決まらない場合は、x²、x、定数の係数を別々に指さして対応させてみます。代入する値が浮かばない場合は、括弧を0にする値を探し、消える項と残る項を声に出して確認します。証明で結論を最初に書いてしまう場合は、問題文に与えられた条件に印を付け、そこから使える等式と、最後に示したい等式を分けて書き直します。

個別指導では、途中の1行を隠して、その前後がなぜ等しいかを説明できるかを確かめられます。比例式では共通の値の置き方と分母が0にならない理由まで、本人の言葉でたどると、計算の誤りと論理の飛躍を区別できます。条件から結論へ向かう道筋が、証明の答案を支えます。