高校数学II 分数式—分母が零でない条件を残して四則計算を進める｜武蔵野個別指導塾

約分できる因数と和の項を見分け、割る式が零になる値まで調べて、分数式の答えに元の定義条件を残します。

よくあるのは、高校生が分子の和の一部分だけを分母と約分してしまう場面です。たとえば (x + 2)/x を見て、xを消して2だけにしたくなるかもしれません。しかし、分子全体はxを因数に持つとは限りません。分数式では、どこまでが足し算の項で、どこからが掛け算の因数なのかを見分けることが出発点です。さらに、計算後に分母から消えた文字にも、元の式に由来する制限が残ります。

テストで問われる形を見分ける

1つ目の型は、分子と分母を因数分解して約分する計算です。展開したままでは共通する因数が見えないことがあります。元の分母が零になる値を先に記録し、分子と分母を積の形にしてから共通因数を取り除きます。答えが整式に見えても、元の式で使えなかった値は戻りません。

2つ目は、異なる分母の分数式の和や差です。分母を足すのではなく、共通の分母を作って分子を計算します。引き算では、後ろの分子全体に負の符号を配る必要があります。分子がまとまった後に因数分解できる場合もあるので、通分が終点ではありません。

3つ目は、分数式を分数式で割る計算や、分子と分母にさらに分数がある複雑な分数式です。割る式を逆数にする前に、その式が定義され、しかも零でないことを確認します。ここでは式の計算と、その式が意味を持つ条件を一緒に扱います。方程式を解くための変形には広げず、計算結果と使える値を正確に表すことに集中します。

因数と定義条件を分けて考える

整式A、Bについて、Bが零でないとき、A/Bは分数式です。分母が零になる値では割り算そのものが定義されません。たとえば (x + 1)/(x − 3) なら、元の分母から x ≠ 3 が必要です。条件は計算の途中に現れる見た目だけではなく、出発点の式から決まります。

図1のように、まず元の分母を調べ、次に積を見つけ、最後に条件を添えます。分子と分母に共通する零でない因数を掛けても割っても、分数の値は変わりません。この性質が約分の根拠です。AとBとCを用いれば、C ≠ 0 のとき AC/BC = A/B です。ただしBCが元の分母なら、B ≠ 0 も必要です。

図1の順番には理由があります。たとえば (x² − 9)/(x − 3) は、分子を (x − 3)(x + 3) と因数分解すると x + 3 になります。ただし元の式は x = 3 で定義されないので、答えにも x ≠ 3 を添えます。右側の整式自体に3を代入できることと、元の式に代入できることは別です。

和や差は、因数とは別のまとまりです。(x + 2)/x は x/x + 2/x と分けられますが、後者も含めると 1 + 2/x です。x ≠ 0 の条件の下で成り立ち、2に等しいとは限りません。分子の各項を消す操作をする前に、分子全体が共通因数を持つかを調べます。

基本例題：差を通分してから約分する

次の式を計算し、結果を既約な分数式または整式で表し、元の式が定義されるxの条件も示してください。

(x + 1)/(x − 2) − 3/(x + 2)

最初の分母は x − 2、次の分母は x + 2 です。それぞれが零でない必要があるため、条件は x ≠ 2、x ≠ -2 です。この条件なら、共通分母 (x − 2)(x + 2) も零ではありません。

最初の分数の分子と分母に x + 2 を、次の分数の分子と分母に x − 2 を掛けます。いずれも条件の下で零ではないので、値は変わりません。図2のように、後ろの分子全体を括弧で囲んで引きます。

(x + 1)/(x − 2) − 3/(x + 2)

= {(x + 1)(x + 2) − 3(x − 2)}/{(x − 2)(x + 2)}

= {x² + 3x + 2 − 3x + 6}/{(x − 2)(x + 2)}

= (x² + 8)/{(x − 2)(x + 2)}

分子の x² + 8 と分母には共通する文字を含む因数がありません。したがって、答えは (x² + 8)/{(x − 2)(x + 2)}、条件は x ≠ 2、x ≠ -2 です。図2の矢印は、各分母に足りない因数を補ってから分子をまとめる順を表します。

途中式を確認するときは、分母が同じになったかだけでなく、掛けた因数が分子にも付いたかを見ます。特に後ろの項は、-3(x − 2) = -3x + 6 です。括弧を外した後の定数の符号まで追うと、差の計算の誤りを見つけやすくなります。たとえば x = 0 なら元の式は -1/2 − 3/2 = -2、結果も 8/(-4) = -2 です。この代入は計算点検であり、等式が条件内で成立する理由は通分と展開にあります。

割る式の零にも注意する

次の式を計算し、既約な分数式または整式で表してください。また、元の式が定義されるxの条件を示してください。

{1/(x − 1) + 1}/ {(x + 2)/(x − 1)}

大きな分数の分子と分母のどちらにも x − 1 があるため、まず x ≠ 1 です。さらに、大きな分数の分母である (x + 2)/(x − 1) が零ではいけません。x ≠ 1 の下では、これが零になるのは x + 2 = 0、つまり x = -2 のときです。条件は x ≠ 1、x ≠ -2 になります。

分子の1を (x − 1)/(x − 1) と表して通分します。

1/(x − 1) + 1 = {1 + (x − 1)}/(x − 1) = x/(x − 1)

割る式が零でないことを確かめたので、逆数を掛けます。

{x/(x − 1)} ÷ {(x + 2)/(x − 1)}

= {x/(x − 1)} × {(x − 1)/(x + 2)}

= x/(x + 2)

よって答えは x/(x + 2)、条件は x ≠ 1、x ≠ -2 です。x − 1 は結果から消えましたが、x = 1 で元の小さな分数が定義されない事実は消えません。x = -2 では割る式が零になるため、こちらも使えません。

たとえば x = 0 を元の式に戻すと、分子は -1 + 1 = 0、分母は -2 なので値は0です。結果も0です。一方、x = 1 は結果だけなら代入できますが、元の式には代入できません。検算では都合のよい値の一致に加えて、使えない値の理由をそれぞれ元の場所へ戻して確かめます。

誤答をほどいて直す

(x + 4)/x = 4 とする答えを考えます。x ≠ 0 という条件を付けても、この等式は一般には成り立ちません。たとえば x = 2 のとき左辺は3ですが、右辺は4です。数値の食い違いで誤りは見つかりますが、どの操作が誤ったかも説明する必要があります。

図3のように、x + 4 は和であり、分子全体が x と何かの積になっているとはいえません。分子の中のxという項と分母のxを取り消すことは約分ではありません。約分は分子全体と分母全体に共通する因数について行います。

正しくは、分母が共通であることを利用して (x + 4)/x = x/x + 4/x = 1 + 4/x とします。条件は x ≠ 0 です。図3の修正後の式に x = 2 を入れると 1 + 2 = 3 で、元の式と一致します。別の誤りとして、約分後に条件を消してしまうこともあります。式の形の簡略化と、元の式が使える範囲の記録を別々に点検してください。

手を動かす問題

いずれも計算結果を既約な分数式または整式で表し、元の式が定義されるxの条件を示してください。途中式にも、因数分解や通分の根拠を残します。

1. (x² − 16)/(x + 4)
2. 2/(x − 1) + 1/(x + 3)
3. {(x² − 1)/(x + 2)} × {(x + 2)/(x − 1)}
4. {1 − 2/x} ÷ {(x − 2)/(x + 1)}

答えと確かめ方

1の答え

元の分母から x ≠ -4 です。分子を差の平方として因数分解します。

(x² − 16)/(x + 4) = {(x − 4)(x + 4)}/(x + 4) = x − 4

答えは x − 4、条件は x ≠ -4 です。x = 0 では元の式が -16/4 = -4、結果も -4 です。x = -4 は約分後の形では計算できますが、元の分母が零なので除きます。

2の答え

元の分母から x ≠ 1、x ≠ -3 です。共通分母を (x − 1)(x + 3) として、各分子に足りない因数を掛けます。

2/(x − 1) + 1/(x + 3)

= {2(x + 3) + (x − 1)}/{(x − 1)(x + 3)}

= (3x + 5)/{(x − 1)(x + 3)}

答えはこの分数式で、条件は x ≠ 1、x ≠ -3 です。x = 0 を元の式に入れると -2 + 1/3 = -5/3 です。結果も 5/(-3) = -5/3 となり一致します。分母を足し合わせていないか、分子の2が括弧の両項に掛かっているかも確認します。

3の答え

元の2つの分母から x ≠ -2、x ≠ 1 です。掛け算では、右側の分子が零になる値はそれ自体では除外する必要がありません。ただし、ここでは x = -2 は左側の分母を零にするので、すでに除外されています。

{(x² − 1)/(x + 2)} × {(x + 2)/(x − 1)}

= {(x − 1)(x + 1)(x + 2)}/{(x + 2)(x − 1)}

= x + 1

答えは x + 1、条件は x ≠ -2、x ≠ 1 です。x = 0 なら元の2つの分数は -1/2 と -2 で、積は1です。結果も1です。消えた因数が2つあるので、2つの除外値を残したかを確かめます。

4の答え

元の分母xと x + 1 から x ≠ 0、x ≠ -1 です。さらに割る式 (x − 2)/(x + 1) が零にならないために x ≠ 2 が必要です。これらを先にそろえてから逆数を掛けます。

{1 − 2/x} ÷ {(x − 2)/(x + 1)}

= {(x − 2)/x} × {(x + 1)/(x − 2)}

= (x + 1)/x

答えは (x + 1)/x、条件は x ≠ 0、x ≠ -1、x ≠ 2 です。x = 1 では元の割られる式が -1、割る式が -1/2 なので商は2です。結果も2です。x = 2 は約分で消えた後も、零で割ることを防ぐために除きます。

条件を拾う練習と見直し

条件を探すときは、式の外側から内側へ一度に見ようとせず、小さな割り算ごとに印を付けます。たとえば A/B ÷ C/D という形では、まずBとDが零でないことが必要です。そのうえで割る数 C/D が零でないことを求めます。Dが零でない範囲では、C/D が零になるのはCが零のときなので、C ≠ 0 も必要です。Aが零であることは、割られる数が零になることを意味し、分母を零にするとは限りません。

この区別が曖昧なまま逆数にすると、逆数の分母に現れたCについて後から条件を拾うことになります。結果として正しい条件にたどり着く場合もありますが、元のDについての条件が約分で消えてしまうと見落としかねません。元の式に印を付けて条件を書き出し、逆数にした後の式にも矛盾がないかを照らすと、条件の出どころを説明できます。

引き算の検算にも2通りの見方があります。通分前の各分数に同じ数を入れて値を出し、その差を求める方法と、通分後の分子を展開する前に括弧の符号を確かめる方法です。前者は答えの不一致を見つける助けになりますが、たまたま選んだ値で誤りが表れないこともあります。後者では、どの項の符号が変わるかを文字のまま追えるため、誤りの場所を特定できます。

答えの形が簡単になっても、元の式に戻る習慣を残します。元の分母が零になる値を答えの式に入れられたとしても、それは元の式に新たな値が生まれたことを意味しません。逆に、条件を満たす値であれば、変形の各段階の分母が零でないことを確かめてから代入できます。計算結果と条件は、同じ答えの中でそれぞれ異なる役割を持ちます。書き終えたら、除外した値が元のどの分母や割る式に対応するかを一つずつ指でたどります。条件を余分に付けていないかも、この戻り方で調べられます。

最後に残す要点

元の分母と割る式の零を先に調べます。
約分するのは分子と分母の共通因数です。
通分では分子にも同じ因数を掛けます。
計算後も元の条件を答えに添えます。

どこで止まったかを見つける

答えが合わないときは、まず元の式のどの部分が零になってはいけないかを指で示してみてください。そこを示せなければ、計算規則の前に割り算の条件を整理します。条件は言えても約分で誤るなら、分子全体を括弧で囲み、和と積の区切りを声に出して説明します。

個別指導で確かめるなら、通分前後の分子と分母に同じ因数が掛かっているか、割る式の零をどう求めたか、消えた因数の除外値をなぜ残すかを順に尋ねます。途中の1行を自分の言葉で説明できれば、別の式でも操作を選び直せます。分母の条件を持ち運ぶと、短くなった答えの意味まで追えます。