高校数学III・C 積分評価と極限—上下の関数を選びはさみうちの根拠を書く｜武蔵野個別指導塾

分母の比較や端点付近の区間分割を使い、積分値をはさむ上下界から数列の収束先を導きます。

よくあるのは、理系高3の演習で、積分値をいくつか近似すると0に近づくように見え、そのまま極限を断定する場面です。数値は予想の手掛かりになりますが、先の項がどのように振る舞うかまでは示しません。積分の中の関数を、区間全体で比較できる関数ではさみ、その積分値が同じ数へ近づくことを示します。

評価を探す3つの入口

第1に、分母に正の項が加わる形では、分母を小さくすると分数が大きくなることを使います。区間内の変数の範囲から分母を上下にはさめば、積分値もはさめます。分母の正負を確認してから逆数の大小を決めることが必要です。

第2に、積分の中に n 乗があり、区間の大部分では小さいものの端点で小さくならない場合があります。このとき区間全体で共通の小さい上界を求めようとすると行き詰まります。端点から離れた部分と、幅の小さい端点付近に分けて評価します。

第3に、求める積分値から予想する極限値を引き、その差の絶対値を評価します。積分の内部で近づく様子を観察しても、極限と積分を入れ替えてよいとは限りません。差を積分で表し、積分した後に0へ向かう上界を作ります。ここでは有限の閉区間上の定積分を扱い、収束と積分の交換は使いません。

関数の大小から数列の大小へ

a < b とし、f、g が閉区間 [a, b] で連続で、区間の各 x について f(x) ≤ g(x) ならば、定積分の大小関係より次が成り立ちます。

∫[a→b] f(x) dx ≤ ∫[a→b] g(x) dx

下側と上側の関数をそれぞれ積分して得た数列が同じ値 L に収束するなら、その間にある数列も L に収束します。これが数列のはさみうちの原理です。図1のように、まず各 x に対する大小を作り、次に定積分の大小へ移し、最後に両端の極限を調べます。順序を飛ばさないことが、記述の骨格になります。

図1の左右の箱をつなぐ際には、積分区間と連続性を確かめます。大小は点をいくつか選んで成立するだけでは足りず、積分区間の各点で必要です。また、積分区間の向きが逆なら大小関係が反転するため、ここでは a < b としています。

差を使うときは、連続関数 h に対して次の評価も便利です。

|∫[a→b] h(x) dx| ≤ ∫[a→b] |h(x)| dx

これは -|h(x)| ≤ h(x) ≤ |h(x)| を積分して得られます。右辺が0へ収束すれば、差の絶対値が0へ収束するので、元の積分値は予想値へ収束します。絶対値を外す前に符号を決める必要がない点が利点です。

上界は鋭いほどよいとは限りません。例えば上界が 1/n と 2/n のどちらであっても、極限が0と示せれば目的を果たします。一方、上界が一定の正の数のままでは、対象が0へ収束する証拠にはなりません。評価を作った後、両端が本当に同じ値に近づくかまで点検します。

基本例題：分母を区間全体で比べる

正の整数 n に対し、Iₙ = ∫[0→1] 1/(n + x²) dx とします。lim[n→∞] nIₙ を正確な値で求めてください。

まず n > 0 なので分母は区間 [0, 1] で正です。被積分関数は連続であり、n を積分の中へ入れると次の形です。

nIₙ = ∫[0→1] n/(n + x²) dx

0 ≤ x ≤ 1 より、0 ≤ x² ≤ 1 です。したがって分母は次のようにはさまれます。

n ≤ n + x² ≤ n + 1

両端とも正なので逆数の大小を反転し、正の n を掛けます。

n/(n + 1) ≤ n/(n + x²) ≤ 1

図2のように、区間全体で青い関数は2本の水平線にはさまれます。下側と上側はいずれも定数関数なので、積分も直ちに計算できます。

図2は n = 1 の場合を描いています。一般の n でも上の不等式は各点で成り立つため、定積分の大小関係から次を得ます。

n/(n + 1) ≤ nIₙ ≤ 1

左辺は 1/(1 + 1/n) なので1に収束し、右辺も1です。はさみうちの原理により、求める極限は1です。

ここで nIₙ の値を数項計算して1に近いことを見ても、この結論の証明にはなりません。上界が1であることだけでも、下側から別の値に近づく可能性は残ります。下界も1に近づくと書いて初めて両側がそろいます。また分母の評価から逆数へ移る行では、正の数の逆数は大小が逆になることを答案で示します。

標準例題：予想値との差を抑える

正の整数 n に対して Jₙ = ∫[0→1] (1 + x)/(1 + nx) dx とします。lim[n→∞] Jₙ を正確な値で求めてください。

固定した x > 0 では分母が大きくなりますが、x = 0 では被積分関数は常に1です。区間全体で分母を n 倍の正の定数以上とすることはできません。そこで分子を抑え、積分できる上界に置き換えます。

[0, 1] では 1 + x ≤ 2 であり、1 + nx > 0 です。被積分関数と比較する関数は連続なので、各点で次が成り立ちます。

0 ≤ (1 + x)/(1 + nx) ≤ 2/(1 + nx)

両辺を0から1まで積分すると、

0 ≤ Jₙ ≤ ∫[0→1] 2/(1 + nx) dx

0 ≤ Jₙ ≤ (2/n) log(1 + n)

となります。右辺が0へ収束することも説明します。t ≥ 1 で 1/t ≤ 1/√t なので、連続な関数の積分の大小により、

log(1 + n) = ∫[1→1+n] 1/t dt

log(1 + n) ≤ ∫[1→1+n] 1/√t dt

log(1 + n) ≤ 2(√(1 + n) − 1)

です。よって

0 ≤ Jₙ ≤ 4(√(1 + n) − 1)/n

0 ≤ Jₙ ≤ 4/(√(1 + n) + 1)

となり、右辺は0に収束します。はさみうちより、求める極限は0です。

端点 x = 0 における値が1のままでも、積分値の極限が0になることに注意します。端点の値だけから積分全体の大きさを決めず、上のように区間全体の積分を評価します。対数の増え方を公式として暗記していなくても、比較可能な関数の積分から必要な評価を作れます。

発展例題：端点付近を切り離す

正の整数 n に対し、Kₙ = ∫[0→1] xⁿ/(1 + x) dx とします。区間を分ける方法で lim[n→∞] Kₙ を正確な値で求めてください。

区間全体で 0 ≤ xⁿ ≤ 1 ですが、これだけでは 0 ≤ Kₙ ≤ 1 となり、両端の極限が一致しません。x = 1 では xⁿ = 1 ですから、区間全体で xⁿ を0に近づく定数で抑えることもできません。

そこで 0 < a < 1 を固定し、積分を [0, a] と [a, 1] に分けます。被積分関数はそれぞれの閉区間で連続です。前半では 0 ≤ xⁿ ≤ aⁿ、1/(1 + x) ≤ 1 ですから、

0 ≤ ∫[0→a] xⁿ/(1 + x) dx ≤ a・aⁿ

となります。後半では 0 ≤ xⁿ/(1 + x) ≤ 1 ですから、

0 ≤ ∫[a→1] xⁿ/(1 + x) dx ≤ 1 − a

です。加えると、各 n と各 a について、

0 ≤ Kₙ ≤ a・aⁿ + 1 − a

を得ます。ここで a は n を動かす間、固定した数です。0 < a < 1 より aⁿ → 0 なので、上界の第1項は0に近づきます。ただし、固定した a に対して第2項 1 − a は0ではありません。この段階で、はさみうちにより Kₙ → 0 と書くことはできません。

正の数 ε を任意に取ります。まず 1 − a < ε/2 となるように、1より小さい a を選び固定します。次に a・aⁿ → 0 なので、十分大きい n について a・aⁿ < ε/2 となります。そのような n では、

0 ≤ Kₙ < ε/2 + ε/2 = ε

です。任意の正の ε に対して成立するので、Kₙ → 0 です。求める極限は0となります。

この問題は別の短い評価でも確かめられます。1/(1 + x) ≤ 1 から、

0 ≤ Kₙ ≤ ∫[0→1] xⁿ dx

0 ≤ Kₙ ≤ 1/(n + 1)

です。右辺は0へ収束し、先の結論と一致します。区間分割は、原始関数を容易に求められない上界にも使える方法です。幅と高さを別々に抑えるので、端点付近で高さが残っていても幅を小さくできます。

誤答を式の成立範囲から直す

次の答案を考えます。「0 ≤ x < 1 なら xⁿ → 0 だから、積分の中を0に置き換えて Kₙ → 0 である。」結論は先ほどの正しい値ですが、この記述には根拠が不足しています。各 x を固定したときの収束から、積分値の収束へ移る操作が説明されていません。さらに x = 1 では xⁿ は0へ近づきません。

図3のように、固定した点での観察と、区間全体の積分の評価は別の段階です。各点での傾向を見て予想した後、積分値そのものを数列ではさみます。

修正答案では、図3の右側に相当する不等式 0 ≤ Kₙ ≤ 1/(n + 1) を示し、その両端が0へ収束すると記します。ここでは上界を積分する前に 1 + x ≥ 1 と正負を確認し、逆数の比較を行います。

もう一つの失敗は、区間分割の後で a を固定したまま 1 − a を0と扱うことです。a = 9/10 なら幅は常に 1/10 です。先に必要な精度を決めて a を選び、その後に n を大きくする順序を書けば、残る幅を任意に小さくできます。計算結果が合っていても、固定する量と動かす量を区別する必要があります。

練習：先に5問を考える

いずれも n は正の整数です。極限値は正確な値で答えてください。各積分の被積分関数は指定区間で連続です。

1. Aₙ = ∫[0→2] 1/(n + x) dx とする。lim[n→∞] nAₙ を求める。
2. Bₙ = ∫[0→1] x/(n + x²) dx とする。lim[n→∞] nBₙ を求める。
3. Cₙ = ∫[0→1] xⁿ(2 + x) dx とする。lim[n→∞] Cₙ を求める。
4. Dₙ = ∫[0→1] 1/(1 + nx²) dx とする。区間を 1/√n で分け、lim[n→∞] Dₙ を求める。
5. Eₙ = ∫[0→1] (n + x)/(n + 2x) dx とする。差の絶対値を評価し、lim[n→∞] Eₙ を求める。

練習の解答と確かめ方

1. 0 ≤ x ≤ 2 より n ≤ n + x ≤ n + 2 で、分母は正です。逆数を比較して正の n を掛けると、

n/(n + 2) ≤ n/(n + x) ≤ 1

です。区間の長さは2なので、積分の大小から

2n/(n + 2) ≤ nAₙ ≤ 2

となります。両端は2へ収束するので答えは2です。元の積分では被積分関数に n を掛けた値が各点で上の2本にはさまれており、区間の長さ2を掛けたことも一致します。

2. 0 ≤ x ≤ 1 より n ≤ n + x² ≤ n + 1 です。x ≥ 0 に注意して比較すると、

nx/(n + 1) ≤ nx/(n + x²) ≤ x

です。積分して

n/(2(n + 1)) ≤ nBₙ ≤ 1/2

を得ます。両端は 1/2 に収束するので答えは 1/2 です。x = 0 でも各辺は0であり、端点を含む区間全体の評価になっています。

3. 0 ≤ x ≤ 1 では 0 ≤ 2 + x ≤ 3、xⁿ ≥ 0 です。したがって

0 ≤ Cₙ ≤ ∫[0→1] 3xⁿ dx

0 ≤ Cₙ ≤ 3/(n + 1)

となります。右辺は0に収束するので答えは0です。元の被積分関数は非負であり、得た下界の向きも合っています。

4. n ≥ 1 なので 0 < 1/√n ≤ 1 です。前半では分母が1以上であることから、

0 ≤ ∫[0→1/√n] 1/(1 + nx²) dx ≤ 1/√n

です。後半では x > 0 なので 1 + nx² ≥ nx² を使って、

0 ≤ ∫[1/√n→1] 1/(1 + nx²) dx

∫[1/√n→1] 1/(1 + nx²) dx ≤ ∫[1/√n→1] 1/(nx²) dx

∫[1/√n→1] 1/(nx²) dx = (√n − 1)/n

となります。よって

0 ≤ Dₙ ≤ 1/√n + (√n − 1)/n

です。右辺は0へ収束し、答えは0です。n = 1 では後半の幅が0となり、評価はその場合にも成立します。分割点で2つの積分が重なるのは端点だけです。

5. n + 2x > 0 です。区間の長さが1であることから、1との差を積分に入れて、

Eₙ − 1 = ∫[0→1] ((n + x)/(n + 2x) − 1) dx

Eₙ − 1 = ∫[0→1] -x/(n + 2x) dx

を得ます。0 ≤ x/(n + 2x) ≤ x/n なので、

|Eₙ − 1| ≤ ∫[0→1] x/n dx

|Eₙ − 1| ≤ 1/(2n)

です。右辺は0へ収束するため答えは1です。元の分数は各点で1以下であり、差が非正であることも式に戻して確認できます。

答案を点検する短い手順

• 比較する関数が積分区間の各点で上下を保つか、分母の符号も含めて確認します。
• 連続性と積分区間を示し、関数の大小を積分値の大小に移します。
• はさむ両端の極限が一致することを書きます。
• 区間を分けた場合は、幅を決める量と後から動かす n を区別します。
• 予想値との差を使う場合は、差の絶対値の上界が0に向かうことを示します。

手が止まったときは、作った上界が実際に0へ近づくかを調べてください。近づかなければ、上界が粗すぎるか、端点付近とそれ以外を一緒に扱っている可能性があります。個別指導で確かめるなら、まず比較式がどの x の範囲で成り立つかを口頭で説明し、次に積分後の両端の極限を書けるかを見ます。数値の傾向を、区間全体を支配する不等式へ変えると、積分評価が答案の根拠になります。