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高校数学I 集団の平均の合併—人数の違う二つの班を合計へ戻して比べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学I データの分析を掘り下げる

班別の人数と平均を合計へ戻し、全体の平均を求めます。逆算した人数が分数になる例から、整数条件を満たすかも点検します。

よくあるのは、高1が自作の測定表を復習し、人数の違う2つの班の平均を単純に二等分する場面です。班の平均が2つあると、その中間が全体の平均に見えるかもしれません。しかし、人数の多い班の測定値は、全体の合計にもそれだけ多く寄与します。各班の平均をいったん合計へ戻し、全体の人数で割れば、どちらの班を何人分数えたかが式に残ります。

要点（結論から）

班の合計は人数・平均、全体の平均は合計の和を人数の和で割る。
異なる班平均の中間が全体平均になるのは、両班の人数が等しいときです。
未知の人数は方程式を解いた後、正の整数か、元の合計と平均に戻るかを確かめます。

班ごとの記録から何を求めるか

出方の1つは、2班の人数と平均を使い、全員の平均を求める問題です。各班の平均にその班の人数を掛けて合計を出し、合計どうしを足します。最後に割るのは班の数の2ではなく、2班を合わせた人数です。

2つ目は、全体の平均と一方の班の平均から、もう一方の班の平均や人数を逆算する問題です。人数が未知なら正の整数という条件が付くため、方程式の解が出ても終わりではありません。値を班の人数に戻し、人数と合計の両方を確認します。

3つ目は、提示された人数や平均が両立するかを判断する問題です。たとえば、異なる2つの平均を持つ班がどちらも正の人数なら、全体の平均は2つの平均の間にあり、端には一致しません。計算値が間の外にある、または人数が整数にならないときは、条件を満たす集団は作れません。合併後の分散は別の話題として、ここでは平均と合計に絞ります。

平均を人数分の合計に戻す

1人について1つずつ同じ単位で測った値を考えます。A班が a 人、平均が p、B班が b 人、平均が q なら、a と b は正の整数です。班の合計はそれぞれ a・p、b・q です。全体の平均を M とすると、次の関係が成り立ちます。

A班の合計 = a・p
B班の合計 = b・q
全体の合計 = a・p + b・q
全体の人数 = a + b
M = (a・p + b・q)/(a + b)

分母 a + b は正なので割ることができます。図1のように、平均から人数を掛けて合計に戻し、合計と人数をそれぞれ集めてから割ります。このように人数を重みとして平均することを加重平均といいます。1人が両班に重複して数えられる場合や、測定していない人まで分母に入れる場合には、そのままこの式を使えません。対象を重複なく分け、測定値のある人数で計算します。

図1の表では、各班の人数と平均の組を同じ行で掛けます。平均の単位が点なら、合計は各人の点を足した合計点であり、全体の平均は再び1人当たりの点です。異なる単位の数をそのまま足してはいけません。記録された班の平均が丸めた値の場合、掛け算で得た合計も推定値です。正確な全体平均を求めるには、丸める前の平均または正確な合計が必要です。

平均の位置も式から確かめられます。p < q とし、全体の平均から p を引くと、次のようになります。

M - p = (a・p + b・q)/(a + b) - p
      = (a・p + b・q - a・p - b・p)/(a + b)
      = b・(q - p)/(a + b)

b > 0、q − p > 0 なので M − p > 0 です。同じように q − M = a・(q − p)/(a + b) > 0 です。したがって p < M < q です。人数が多い班の平均に近づくことも、この2つの差を比較すれば確かめられます。a = b のときに限り、異なる2つの平均の中間になります。p = q なら人数が異なっても全体の平均は共通の値で、人数比は平均だけでは決まりません。

基本例題：記録した時間を合わせる

A班6人の作業時間の平均は12分、B班4人の平均は17分でした。全員が1回ずつ同じ作業をしました。10人の平均時間を分単位の整数で求めてください。各班の平均は正確な値とします。

まず、図2のように班ごとに人数と平均を対応させます。平均12分を6人分、平均17分を4人分として合計へ戻します。

A班の合計 = 6・12 = 72 分
B班の合計 = 4・17 = 68 分
全員の合計 = 72 + 68 = 140 分
全員の人数 = 6 + 4 = 10 人
全員の平均 = 140/10 = 14 分

答えは14分です。図2の合計欄からも、全員の合計140分と人数10人を読み取れます。逆に14分を10人分に戻すと140分で、班別の72分と68分の和に一致します。また、14は12と17の間にあり、人数の多いA班の12に近い値です。

単純に班の平均の中間を取ると (12 + 17)/2 = 29/2 分です。この値を10人分に戻すと145分になり、実際の合計140分と一致しません。2つの班を1班ずつ同じ重さで数える方法では、個人を1人ずつ同じ重さで数えた平均にならないことが見えます。

標準例題：人数を逆向きに求める

ある記録のA班は8人で、1人当たりの平均は15点です。B班の平均は24点で、B班の人数は正の整数です。両班の全員の平均が18点のとき、B班の人数を整数で求めてください。平均はいずれも正確です。

B班の人数を x 人とすると、B班の合計は24x点、全員の人数は8 + x人です。全員の平均から全員の合計を表し、班別の合計と等しくします。

A班の合計 = 8・15 = 120 点
B班の合計 = 24x 点
全員の合計 = 18・(8 + x) 点
120 + 24x = 18・(8 + x)
120 + 24x = 144 + 18x
6x = 24
x = 4

答えは4人です。4は正の整数なので人数として使えます。B班の合計は24・4 = 96点、両班の合計は120 + 96 = 216点です。12人で割ると216/12 = 18点となり、与えられた全体平均に戻ります。15から18までの差は3、18から24までの差は6で、人数比8:4はこの差の逆比6:3にも合っています。

この逆比は、平均を支点として合計の差をつり合わせた結果です。実際、全体平均18点を基準にすれば、A班は1人当たり3点低く、8人で24点分低くなります。B班は1人当たり6点高いので、その差24点を埋めるには4人です。距離の比をそのまま人数比にすると逆になるため、どちらの距離にどちらの人数を掛けるかを書いて確認します。

発展例題：解が人数として成立するか

A班10人の平均は14個、B班の平均は23個です。各人が集めた個数は整数で、B班の人数は正の整数です。次のそれぞれについて、両班の全員の平均を指定された値にできるか判定し、できる場合はB班の人数を整数で求めてください。平均は正確な値です。

全員の平均が20個の場合。
全員の平均が19個の場合。
全員の平均が23個の場合。

まずB班の人数を y 人と置きます。A班の合計は10・14 = 140個、B班の合計は23y個です。1の場合、全員の合計を2通りに表して解きます。

140 + 23y = 20・(10 + y)
140 + 23y = 200 + 20y
3y = 60
y = 20

20は正の整数です。実際に、たとえばA班の各人が14個、B班の各人が23個なら、合計は140 + 460 = 600個、人数は30人です。600/30 = 20個なので、条件を満たせます。個数も整数です。

2の場合も同じように立式します。

140 + 23y = 19・(10 + y)
140 + 23y = 190 + 19y
4y = 50
y = 25/2

25/2は正ですが整数ではないため、人数として採用できません。したがって条件を満たす班はありません。19は14と23の間にありますが、間にあることは必要な条件であって、整数の人数が存在する十分な条件ではありません。途中で13人に丸めると、合計は140 + 23・13 = 439個、人数は23人で、平均は439/23個となり19個には戻りません。

3の場合は次の式です。

140 + 23y = 23・(10 + y)
140 + 23y = 230 + 23y
140 = 230

最後の等式は成り立たないので、条件を満たす人数はありません。A班の平均14個がB班の平均23個より小さく、A班は10人いるため、全体の平均は23個より小さいからです。方程式で未知数が消えたときは、残った等式が真か偽かを調べます。偽なら解なし、真なら元の人数条件を満たす値が候補になります。

たとえば両班の平均がともに23個で、全体平均も23個なら、どの正の整数のB班人数でも平均の条件を満たします。その場合は人数を1つに決める材料が足りません。解なしと、候補が複数ある状態は異なります。

誤答から合計を点検する

基本例題で「2班の平均の中間だから29/2分」とする誤答を見ます。原因は6人の班と4人の班を同じ人数として扱うことです。図3のように、誤答を全員10人の合計に戻すと145分ですが、班ごとの合計は140分です。ずれを見つけたら、人数を重みにして計算し直します。

図3では正しい14分を10人分に戻すと140分です。元の班別合計と一致するため、計算のつながりを確認できます。ただし、合計が合ったという確認だけでは、問題の人数や平均を正しく写したかは保証されません。表の各行で人数と平均の組も見直します。

別の誤りは、全体の平均を使う逆算で「全体の平均からA班の平均を引けばB班の平均」と考えることです。平均どうしの差は合計ではありません。全体の人数を掛けて全体の合計を出し、A班の合計を引いた残りをB班の人数で割ります。分母にB班の人数を使うところまで、対象を言葉で追ってください。

未知の人数の問題では、小数や分数の解を見て最も近い整数に直す誤りもあります。人数が整数という条件は近い値を許す指示ではありません。解が整数でなければ、正確な平均という条件の下では解なしです。逆に、平均が丸められた値だと明記された問題では許される範囲の検討が必要で、正確な値と同じ式に代入して断定できません。

練習：合計と人数の対応を追う

次の5問はそれぞれ独立した自作の設定です。平均はすべて正確な値とし、各人につき1つの記録があり、2班に同じ人はいません。答えは、指定された形で求めてください。

A班5人の読んだページ数の平均は18ページ、B班7人の平均は30ページです。全員の平均をページ単位の整数で求めてください。
A班4人の記録の平均は11点、B班6人の平均は15点です。全員の平均を点単位の分数で求めてください。
A班9人とB班3人を合わせた平均は21回で、A班の平均は19回です。B班の平均を回単位の整数で求めてください。
A班6人の平均は10分、B班の平均は22分です。全員の平均が18分となるとき、正の整数であるB班の人数を求めてください。
A班7人の平均は8点、B班の平均は18点です。全員の平均が14点となる正の整数のB班人数が存在するか判定してください。

練習の答えと解き方

1　2つの合計を足す

A班の合計 = 5・18 = 90 ページ
B班の合計 = 7・30 = 210 ページ
全員の合計 = 90 + 210 = 300 ページ
全員の人数 = 5 + 7 = 12 人
全員の平均 = 300/12 = 25 ページ

答えは25ページです。25・12 = 300ページとなり、班別の合計に戻ります。25は18と30の間で、人数の多いB班の30に近いことも確認できます。班平均の中間24ページなら合計は288ページなので、この場面には合いません。

2　割り切れない平均を保つ

A班の合計 = 4・11 = 44 点
B班の合計 = 6・15 = 90 点
全員の合計 = 44 + 90 = 134 点
全員の人数 = 4 + 6 = 10 人
全員の平均 = 134/10 = 67/5 点

答えは67/5点です。指定に従って約分した分数で表しました。67/5・10 = 134点で、元の2班の合計と一致します。小数に丸めずに計算すると、合計との対応を正確に確認できます。

3　全員からA班を取り除く

全員の人数 = 9 + 3 = 12 人
全員の合計 = 21・12 = 252 回
A班の合計 = 19・9 = 171 回
B班の合計 = 252 - 171 = 81 回
B班の平均 = 81/3 = 27 回

答えは27回です。B班の27回を3人分に戻すと81回で、A班の171回と合わせて252回です。252/12 = 21回となり、全体の平均も復元できます。21 − 19 = 2回は平均との差であり、B班の平均そのものではありません。

4　正の整数の解を確かめる

B班を z 人とすると、全員の合計は班別の合計の和でも表せます。

6・10 + 22z = 18・(6 + z)
60 + 22z = 108 + 18z
4z = 48
z = 12

答えは12人です。正の整数であることを確認します。B班の合計は22・12 = 264分、A班と合わせると60 + 264 = 324分です。18人で割ると324/18 = 18分となり、元の条件に戻ります。

5　解が整数でない場合

B班を w 人と置いて式を作ります。

7・8 + 18w = 14・(7 + w)
56 + 18w = 98 + 14w
4w = 42
w = 21/2

21/2は整数ではないため、条件を満たすB班人数は存在しません。式を解いて得た値は正ですが、人数に必要な整数性を満たしません。参考に11人を試すと、合計は56 + 198 = 254点、人数は18人です。254/18 = 127/9点で14点とは異なります。10人でも合計236点を17人で割るので236/17点となり、14点にはなりません。方程式の解が21/2に限られることが、他の整数についても解がない理由です。