高校数学III 横に切る面積—左右の境界を比べて積分する変数を選び直す｜武蔵野個別指導塾

放物線と直線の領域を縦と横に切り、切り口の両端や区間の数を比べて、積分する変数を選び直せます。

よくあるのは、理系の高3が演習で領域を縦に切ろうとしたところ、上端と下端の式が何度も変わり、計算の途中で止まるという場面です。式の複雑さに気を取られる前に、紙を横向きに細く切ったら両端がどう動くかを見てみましょう。同じ領域でも、見る高さを固定すると左右の端が簡単に表れる場合があります。

どの向きなら境界が追いやすいか

面積の問題では、曲線を描いて交点を求めた後、積分の変数を選びます。縦の細い帯なら、固定したxに対する「上のy − 下のy」が帯の長さです。横の細い帯なら、固定したyに対する「右のx − 左のx」が帯の長さです。どちらも同じ図形を数えますが、途中で境界が切り替わる回数は一致しません。

例えば横向きの放物線と直線に囲まれた図形は、左右のxをyの式で与えられることがあります。この場合は高さの範囲を一度に走らせると、1本の積分で済むことがあります。一方、領域に別の直線が加わると、ある高さで右端が切り替わります。横切りでもその高さで分けなければなりません。

問われる形は、左右の曲線が与えられて面積を求めるもの、縦切りと横切りを比べて式の数を選ぶもの、途中で境界が交代する領域を扱うものです。計算の速さを優先して図を省くと、交点は合っていても別の部分を数えることがあります。まず切り口の両端を図で示し、その後に積分式を書きます。

高さを固定して左右を読む

図1のように、各高さyで領域の切り口が1本の線分になり、左端がx = L(y)、右端がx = R(y)と表せるとします。a ≤ y ≤ bでLとRが連続で、常にL(y) ≤ R(y)なら、面積Sは次の式です。

S = ∫[a→b] {R(y) - L(y)} dy

図1の帯の長さは右端の座標から左端の座標を引いたものです。左端が負でも、座標の差は正しい長さです。厚さをyの方向にとるので、最後はdyです。xの式で表したからといってdxにすると、長さと厚さの向きが対応しません。

式の理由は、領域を高さ方向に細い帯に分け、各帯の幅をその高さでの左右差で近似し、細かくした和の極限をとることです。連続性があればこの定積分で面積を表せます。端の高さで左右が一致し、帯の幅が0になっても問題ありません。

ただし、任意の高さで切り口が必ず1本とは限りません。離れた2本になるなら、各線分の長さを足すか領域を分けます。また、同じ高さで右端の曲線が交代するなら、交代する高さを積分区間の境目にします。面積の式が負になったときは、単に符号を反転させる前に左右と範囲を見直します。

曲線をxについて解くときは、元の式に戻して枝を確かめます。例えばx² = yからはx = √yとx = -√yの両方が出ます。右側の枝を選ぶにはx ≥ 0などの条件が必要です。平方して得た式だけでは、どちらの枝を使うか決まりません。

基本例題：放物線と直線の間

問題。曲線x = y²と直線x = 2yで囲まれた部分の面積を、分数の厳密値で求めてください。また、縦切りでは積分式が何区間に分かれるかを調べてください。

両式は全ての実数yで連続です。交点は同じ高さでxを等しくして求めます。

y² = 2y
y(y - 2) = 0
y = 0, 2

座標はそれぞれ(0, 0)、(4, 2)です。0 ≤ y ≤ 2では2y − y² = y(2 − y) ≥ 0なので、左端はx = y²、右端はx = 2yです。図2のように、帯の両端はこの高さの範囲で交代しません。

図2の横帯の長さを積分すると、次のようになります。

S = ∫[0→2] (2y - y²) dy
  = [y² - y³/3]₀²
  = 4 - 8/3
  = 4/3

答えは4/3です。途中の高さy = 1では左右の端がx = 1とx = 2で、帯の長さは1です。式2y − y²にも1を代入すると1になります。両端の高さでは幅が0になり、図の交点とも合います。

縦に切る場合は、x = y²からy = ±√xが出ます。しかしこの領域では0 ≤ y ≤ 2なので、上端には正の枝y = √xを使います。下端は直線からy = x/2です。0 ≤ x ≤ 4で√x ≥ x/2だから、縦切りも1区間で済みます。

S = ∫[0→4] (√x - x/2) dx
  = [(2/3)x√x - x²/4]₀⁴
  = 16/3 - 4
  = 4/3

この例では横切りの式が多項式になる利点はありますが、分割数はどちらも1です。横に切れば必ず区間数が減るわけではありません。根号の枝や上下の順序を確認してから、二つの方法を比べます。

標準例題：縦切りでは放物線の2枝を使う領域

問題。放物線x = y²と直線x = 4で囲まれた部分の面積を、分数の厳密値で求めてください。横切りと縦切りの区間数も比べます。

交点はy² = 4よりy = -2, 2です。対応する点は(4, -2)、(4, 2)です。-2 ≤ y ≤ 2ではy² ≤ 4なので、左端は放物線、右端は直線です。両方とも連続であり、横切りは1区間です。

S = ∫[-2→2] (4 - y²) dy
  = [4y - y³/3]₋₂²
  = 16 - 16/3
  = 32/3

ここでは縦に切っても0 ≤ x ≤ 4で上端がy = √x、下端がy = -√xです。したがって縦切りも1区間で、∫[0→4] 2√x dx = 32/3となります。横切りは左右の式をそのまま使い、縦切りは2つの枝を使います。区間数が同じでも、枝の読み取りや積分の扱いやすさに違いがあります。

結果を元の図に戻すと、中央の高さy = 0で幅は4、端の高さでは0です。幅が4を超えない高さ4の範囲なので、面積は16以下です。32/3はこの見積もりにも合います。見積もりは正確な面積の証明ではありませんが、符号や桁を点検する手がかりです。

発展例題：右端が途中で交代する

問題。x = y²、x = 2y + 3、x = 5 − 2yで囲まれる部分のうち、y² ≤ x、x ≤ 2y + 3、x ≤ 5 − 2yを同時に満たす領域の面積を、根号を含む厳密値で求めてください。横切りと縦切りの分割数も比べます。

3本は連続です。まず交点を調べ、どの部分が領域の境界になるかを選びます。

y² = 2y + 3
y² - 2y - 3 = 0
y = -1, 3

y² = 5 - 2y
y² + 2y - 5 = 0
y = -1 ± √6

2y + 3 = 5 - 2y
y = 1/2

今回の領域は、左側の放物線と、右側で2直線のうち小さい方に囲まれる部分です。下端はy = -1、上端はy = -1 + √6です。2直線の交点は(4, 1/2)です。もう一方の放物線との交点は、この領域の境界の端にはなりません。

-1 ≤ y ≤ 1/2では2y + 3 ≤ 5 − 2yです。1/2 ≤ y ≤ -1 + √6では不等号が逆です。放物線と各直線の差はそれぞれの区間で非負なので、右端を切り替えて面積を足します。

S = ∫[-1→1/2] (2y + 3 - y²) dy
  + ∫[1/2→-1+√6] (5 - 2y - y²) dy

前半は原始関数を代入して求めます。

∫[-1→1/2] (2y + 3 - y²) dy
= [y² + 3y - y³/3]₋₁¹⁄²
= 27/8

後半ではu = y + 1と置くと、5 − 2y − y² = 6 − u²です。y = 1/2でu = 3/2、y = -1 + √6でu = √6です。

∫[1/2→-1+√6] (5 - 2y - y²) dy
= ∫[3/2→√6] (6 - u²) du
= [6u - u³/3]₃⁄₂√6
= 4√6 - 63/8

よって求める面積は4√6 − 9/2です。交代の高さ1/2では、2直線はともにx = 4、放物線はx = 1/4で、どちらの式も帯の長さ15/4を与えます。上端では放物線と直線x = 5 − 2yが一致して幅が0です。負の平方根側の交点は、この上端を超える部分に加えるものではありません。

縦切りでは0 ≤ x ≤ 1で上下が放物線の2枝です。1 ≤ x ≤ 4では下端がy = (x − 3)/2、上端がy = √xです。4 ≤ x ≤ 6 − 2√6では下端が同じ直線、上端がy = (5 − x)/2です。ただし6 − 2√6は1より小さく、上の並びとは矛盾します。そこで座標をもう一度調べます。上端の放物線と直線の交点のx座標は(-1 + √6)² = 7 − 2√6です。これは約2.10で4より小さいため、実際の切替順は0、1、7 − 2√6、4です。

従って縦切りは3区間です。最初は2√x、次は√x − (x − 3)/2、最後は(5 − x)/2 − (x − 3)/2を積分します。上端の交点のx座標を展開し直すことで、存在しない区間を避けられます。横切りも2区間必要ですが、縦切りの3区間より境界の交代が少なくなります。

誤答を切り口に戻して直す

基本例題で、幅をy² − 2yとして0から2まで積分すると-4/3になります。計算は式に対して正しくても、図形の面積は負になりません。図3のように、同じ高さの2点を見れば右端はx = 2y、左端はx = y²です。幅は右から左を引くため2y − y²です。

図3の高さy = 1では右端が2、左端が1なので、実際の幅は1です。誤った式に代入すると-1となり、積分する前に不一致が見つかります。符号を最後に変える処理に頼らず、代表的な高さで端の座標を代入します。

もう一つの誤りは、交点のx座標をdyの積分範囲に使うことです。基本例題の高さは0から2であり、0から4ではありません。4は右上の交点のx座標です。積分する文字と端点の座標成分を合わせ、帯が領域を過不足なく通るかを確認してください。

練習：切り口から式を作る

次の5問は、それぞれ囲まれた有界な部分の面積を厳密値で求めてください。分数で表せるものは分数で、根号が残るものは根号を含む式で答えます。

1. x = y²、x = 3yで囲まれた部分を横に切ります。
2. x = y² − 1、x = 8で囲まれた部分を横に切ります。
3. x = y²、x = 2 − y²で囲まれた部分を横に切ります。
4. x = y²、x = y + 2、x = 2 − yで囲まれた部分のうち、放物線の右側で2直線の両方の左側にある部分を横に切ります。
5. x = y²、x = 2で囲まれた部分を横に切ります。

答えと道筋

1. 交点の高さはy² = 3yより0と3です。その間は3y − y² ≥ 0で、直線が右端です。

S = ∫[0→3] (3y - y²) dy
  = [3y²/2 - y³/3]₀³
  = 9/2

高さ1では右端3、左端1で幅2です。積分の中の式も2となり、端の高さ0と3では幅が0です。

2. y² − 1 = 8より交点の高さは-3と3です。左右差は8 − (y² − 1) = 9 − y²です。

S = ∫[-3→3] (9 - y²) dy
  = [9y - y³/3]₋₃³
  = 36

高さ0の切り口はx = -1からx = 8までで、長さ9です。左右差に0を代入した値と一致し、端で幅は0です。

3. y² = 2 − y²から交点の高さは-1と1です。この間は右端が2 − y²、左端がy²です。

S = ∫[-1→1] (2 - 2y²) dy
  = [2y - 2y³/3]₋₁¹
  = 8/3

高さ0では左端0、右端2で幅2です。高さ±1では両曲線がx = 1で出会い、切り口が閉じます。

4. 2直線はy = 0で交わり、下半分の右端はy + 2、上半分の右端は2 − yです。放物線との端の交点はそれぞれy = -1と1です。

S = ∫[-1→0] (y + 2 - y²) dy
  + ∫[0→1] (2 - y - y²) dy
  = 7/6 + 7/6
  = 7/3

高さ0では右端がいずれも2、左端が0です。両区間の幅はともに2になり、切替点に隙間はありません。

5. 交点の高さはy = ±√2です。-√2 ≤ y ≤ √2で右端は2、左端はy²です。

S = ∫[-√2→√2] (2 - y²) dy
  = [2y - y³/3]₋√2√2
  = 8√2/3

端の高さではy² = 2なので幅0です。中央では幅2であり、面積は非負です。根号を近似せず、端点を元の式に戻して確かめられます。

持ち帰る4行

• 横帯の長さは右端のx座標から左端のx座標を引きます。
• 積分区間は帯が通る高さの範囲です。
• 境界が交代したら、その高さで分けます。
• 縦と横の両方を試し、枝と分割数を比べます。

手が止まった箇所を見つける

式が立たないときは、図に任意の高さの横線を1本引いて、その線と領域の交わりに色を付けます。左端と右端の座標を読み上げられるか、帯の厚さと積分変数が一致するかを確認します。答えが負なら引き順、区間の途中で幅が負なら境界の交代を調べます。

個別指導では、答案の図、交点の座標、各区間の左右差を順に見て、どこで領域と式が離れたかを確かめられます。計算が合うだけでなく、途中の高さを元の図に戻して説明できると、別の形の領域にも切り口を選べます。面積の式は、図の中の一本の帯から決まります。