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高校数学III 三角関数で囲む面積—周期と対称性を確かめて必要な区間を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 積分法の応用を掘り下げる

半周期と一周期の違いを図で捉え、倍角を使う例題から練習まで三角関数の面積を読み解きます。

よくあるのは、理系の高3が演習で、正弦曲線の山を1つ描き、その面積を一周期分として数える場面です。式の周期は覚えていても、描いた範囲がどこからどこまでかを軸に記さなければ、山と谷のどちらを数えたかが見えません。符号付きの積分と図形の面積も区別しながら、有限区間の三角曲線を読み取ります。

山と谷を数える前に

問題では、曲線と軸の間の面積を一定の区間で求める型、平行な境界線と曲線に挟まれた部分を求める型、三角関数の積や二乗を含む高さを積分する型が現れます。いずれも最初に必要なのは積分公式ではなく、指定された領域の両端と、縦に切ったときの高さです。

例えば正弦曲線の一周期には、軸より上の山と下の谷があります。定積分は上を正、下を負として足すため、対称な山と谷は打ち消し合います。しかし図形の面積はどちらも正です。一周期の積分が0であることから面積も0と結論することはできません。逆に山だけの面積をそのまま一周期の面積にしても、谷を数え落とします。

区間の長さが周期と等しい場合でも、始点が山の端とは限りません。周期を理由に移動して数えるときは、移動した曲線の高さと領域の境界が対応することを確かめます。切れ端を含む場合は、無理に整数個の山にせず、端の部分も積分します。

周期と対称移動を図にする

連続な関数 f(x) が閉区間で正なら、曲線 y = f(x)、x軸と両端の直線で囲む面積は ∫[a→b] f(x) dx です。負なら高さは -f(x) です。一般に軸からの距離は |f(x)| なので、有限区間の面積は ∫[a→b] |f(x)| dx と表せます。絶対値を外す前に符号を調べます。三角関数はここで扱う有限の閉区間で連続ですから、区間を分けた各積分が存在します。

図1のように y = sin x は 0 から π で山、π から 2π で谷を描きます。sin(x + π) = -sin x なので、山を右に π 移して軸に関して反転すると谷に重なります。移動と反転は面積を変えないため、山と谷は同じ広さです。これは半周期が一周期であるという意味ではありません。正弦関数そのものの周期は 2π です。

図1では横軸の 0、π、2π を先に数えます。山の幅は π、谷の幅も π です。面積を2倍する根拠は、符号を無視した高さが平行移動で一致することにあります。関数の値が同じなのか、絶対値が同じなのかを言葉で区別してください。

二つの境界 y = f(x)、y = g(x) が連続で、ある区間で f(x) ≥ g(x) なら、縦の長さは f(x) − g(x) です。その面積は ∫[a→b] (f(x) − g(x)) dx です。差が負なら順序を逆にします。対称性を利用する場合も、この高さが対応するか調べます。曲線が何度も交差する一般的な分割より、ここでは周期と対称性で指定領域を数えることに焦点を置きます。

また sin²x = (1 − cos 2x)/2 は、二乗の高さを積分しやすい式に変えます。これは cos 2x = 1 − 2sin²x から得られます。積分区間が変わるわけではありません。sin²x の周期は π ですが、sin x の周期は 2π です。元の関数と高さの周期を混同しないようにします。

基本例題：山と谷を面積で足す

問題：0 ≤ x ≤ 2π において、曲線 y = 2sin x と x軸で挟まれる部分の面積を厳密値で求めてください。

図2のように、0 から π の山を右に π 移し、x軸について反転すると π から 2π の谷になります。曲線は連続で、前半では sin x ≥ 0、後半では sin x ≤ 0 です。したがって両方の広さは等しく、山の面積を2倍できます。

山の面積を A、求める面積を S とすると、積分の端と原始関数は次のようになります。

A = ∫[0→π] 2sin x dx
  = [-2cos x]（0からπ）
  = -2cos π - (-2cos 0)
  = 2 + 2
  = 4
S = 2A
  = 8

答えは 8 です。ここで2倍したのは面積であって、負の谷の定積分ではありません。元の範囲に戻すと、後半の定積分は -4 であり、谷の高さを正にした面積は 4 です。前半と合わせて 8 となり、両端 0、2π の間に欠けた部分はありません。

もし対称性を思い出せなくても、∫[0→π] 2sin x dx − ∫[π→2π] 2sin x dx と書けば同じです。まず符号で分ける方法は、図の対応が見えないときの確実な道筋です。逆に2倍できると判断した場合は、どの移動と反転で重なるかまで述べると、別の範囲でも判断できます。

標準例題：高さの周期を見る

問題：0 ≤ x ≤ 2π において、曲線 y = 3sin²x と x軸で挟まれる部分の面積を厳密値で求めてください。

sin²x は常に非負で連続です。零になる点で領域が接しても、積分の値を負に直す必要はありません。高さに倍角の式を使うと、次のように計算できます。

S = ∫[0→2π] 3sin²x dx
  = ∫[0→2π] (3/2)(1 - cos 2x) dx
  = [(3/2)x - (3/4)sin 2x]（0から2π）
  = 3π

答えは 3π です。端点を代入すると sin 4π = sin 0 = 0 です。元の高さは非負なので、正の結果は面積の条件にも合います。y = 3sin²x は π ずらすと同じ高さになり、0 から π と π から 2π の面積はいずれも 3π/2 です。2つを足して 3π に戻ることも確かめられます。

この問題で y = 3sin x の山と谷の結果を流用することはできません。二乗によって谷が上に折り返されるだけでなく、途中の高さも変わるからです。倍角で積分する方法は、形が変わった高さをそのまま計算できる点で適しています。

発展例題：線と曲線の距離を使う

問題：0 ≤ x ≤ 2π において、直線 y = 1 と曲線 y = cos 2x で挟まれる部分の面積を厳密値で求めてください。

cos 2x ≤ 1 なので、縦に切った高さは 1 − cos 2x です。両曲線は連続で、高さは指定区間で非負です。等しくなるのは x = 0、π、2π であり、区間内に幅 π の部分が2つあります。高さは周期 π なので、そのうち一方を2倍できます。

S = 2∫[0→π] (1 - cos 2x) dx
  = 2[x - (1/2)sin 2x]（0からπ）
  = 2(π - 0)
  = 2π

答えは 2π です。元の区間全体に戻して ∫[0→2π] (1 − cos 2x) dx としても、正弦の端点の値がともに0なので 2π です。高さが途中で負にならないことも cos 2x ≤ 1 から確認できます。

別の見方では 1 − cos 2x = 2sin²x です。この式は高さが非負であることを直接示し、π ごとに同じ形が現れることも示します。一方、直線と曲線の差をそのまま積分すると計算が短くなります。どちらを選ぶ場合も、2倍の対象が幅 π の領域であり、指定範囲全体ではないことを確認します。

間違いを図で修正する

基本例題で「∫[0→2π] 2sin x dx = 0 だから面積も0」とする誤答を考えます。計算自体は正しいものの、負の値が谷の広さを表すときの符号を取り違えています。図3のように上側と下側を別々の領域と見て、各点で軸からの距離を高さに直します。

図3の左側の面積は 4、右側も 4 です。定積分では後者が -4 なので和は0ですが、面積では 4 + 4 = 8 です。0という答えが出たとき、図に幅も高さもある部分が残っていれば、符号付きの量を求めていないか振り返ります。

もう一つの誤りは、山の面積 4 を一周期分の答えとすることです。0 から π が半周期であると軸に書き込み、残りの π から 2π を囲んで数え直します。周期を暗記していても、境界線の位置がずれていれば倍数は変わります。図と積分区間を対応させることが修正の出発点です。

手を動かす5問

いずれも指定された有限区間で囲まれる部分の面積を厳密値で求めてください。

0 ≤ x ≤ π で、y = 5sin x と x軸の間の面積。
0 ≤ x ≤ 2π で、y = sin 2x と x軸の間の面積。
0 ≤ x ≤ π で、y = 4cos²x と x軸の間の面積。
0 ≤ x ≤ π で、y = 2 と y = 2cos x の間の面積。
0 ≤ x ≤ π/2 で、y = sin x cos x と x軸の間の面積。

答えと考え方

答えは 10 です。この区間の sin x は非負なので、面積は ∫[0→π] 5sin x dx = [-5cos x]（0からπ）= 10 です。左右の端では高さが0であり、途中は正です。指定範囲に負の部分はありません。
答えは 4 です。sin 2x の周期は π で、0 から π/2 に正の山があります。その面積は [-cos 2x/2]（0からπ/2）= 1 です。π/2 ごとに符号は交互に変わり、移動と反転で4つの部分が重なるので、面積は 4・1 = 4 です。指定区間の幅 2π は π/2 の4個分です。
答えは 2π です。高さは非負で、4cos²x = 2(1 + cos 2x) です。よって ∫[0→π] 2(1 + cos 2x) dx = [2x + sin 2x]（0からπ）= 2π です。元の曲線は π/2 を中心に左右対称で、各半分の面積は π となります。
答えは 2π です。cos x ≤ 1 より高さは 2 − 2cos x です。∫[0→π] (2 − 2cos x) dx = [2x − 2sin x]（0からπ）= 2π です。元の境界は両方とも連続で、左端では一致し、右端の高さの差は 4 です。差の向きは区間内で逆転しません。
答えは 1/2 です。この範囲では sin x と cos x がともに非負です。sin x cos x = (1/2)sin 2x より、面積は [-cos 2x/4]（0からπ/2）= 1/2 です。元の高さは両端で0、途中で正なので、正の面積という結果と合います。

端が半端な区間ではどうするか

対称性は計算を短くしますが、指定区間を勝手に広げるための道具ではありません。例えば正弦曲線の山の途中から谷の途中までが指定された場合、山の残りと谷の一部が必ず等しいとは限りません。端点の値と中間の零点を軸に記し、それぞれの高さを積分します。対応する長さと形が確認できた部分についてのみ、面積をまとめます。

また、周期の長さと、符号が変わるまでの長さは別です。sin 2x では関数の周期は π ですが、軸と次に交わるまでの間隔は π/2 です。正の山を平行移動すると負の谷になるため、その移動は元の関数の周期ではありません。面積を比較するときは反転を加える必要があります。絶対値を取った高さにはより短い周期が現れることもあります。

直線と曲線の間では、曲線だけの対称性を見ても十分とは限りません。領域の高さは両者の差です。片方を平行移動して重ねられても、もう片方が同じ対応をしなければ領域全体は重なりません。差の式を作ってから、端点、非負であること、移動後の値を調べると判断しやすくなります。

計算後には、面積の形も点検します。高さが常に非負なのに負の答えなら、上下の引き算か端点の代入を見直します。幅があり、その内部で高さが正なのに0になった場合は、符号付き積分の打ち消しを疑います。高さが有限の範囲に収まるなら、幅と最大の高さを掛けた長方形より面積が大きくならないことも目安になります。こうした点検は厳密な計算の代わりではありませんが、符号や係数の取り違えを探す入口になります。