高校数学I 二次関数の動く区間—固定した軸と左右の端の位置を並べて場合分けする｜武蔵野個別指導塾

軸を通過する両端と区間の中点を比べ、動く閉区間で最大・最小を取る位置と、境界で式が一致する理由を確かめます。

よくあるのは、高1の本人が復習中に、動く区間でも頂点が常にその中にあると思って最小値を書いてしまう場面です。たとえば窓を横に滑らせるように定義域を動かすと、放物線の頂点が窓の外へ出ることがあります。式は同じでも、選べる x が変われば、実際に取れる値の範囲も変わります。まず端と軸を数直線に並べ、その後に値を計算しましょう。

動く窓で何を比べるか

問われ方には、動く閉区間での最小値、最大値、そして両方の条件を組み合わせる型があります。どれも関数のグラフ自体は固定し、定義域の端だけを動かします。文字を含む区間の位置を判断するために、一次不等式を解くことと、平方完成した式から軸を読むことが必要です。

ここでは長さが正の一定値で、両端を含む区間を扱います。したがってどの実数の位置に窓を動かしても、端の順序は変わらず、区間は空になりません。端点を含むため、軸が端に一致したときも頂点を選べます。最小値の切替点と最大値の切替点は異なるので、それぞれ別に求めます。

軸からの距離で候補を選ぶ

上に開く二次関数 f(x) = a(x − p)² + q を考えます。a > 0 なので、値は軸 x = p からの距離の二乗が大きいほど大きくなります。区間を t ≦ x ≦ t + L とし、L > 0 とします。左端は t、右端は t + L、中点は t + L/2 です。t は窓の位置を表し、x はその窓の中から選ぶ数です。両者の役割を区別してください。

図1のように、最小値は軸に最も近い点で取ります。軸が左端より左なら左端、区間内なら軸、右端より右なら右端です。境界は t = p と t + L = p、つまり t = p − L と t = p です。軸が端に重なるとき、端と頂点は同じ点ですから、隣り合う場合の式は同じ値になります。

最大値は軸から最も遠い端で取ります。両端までの距離が等しくなるのは、区間の中点が軸に一致するときです。その境界は t + L/2 = p、つまり t = p − L/2 です。中点が軸より左なら左端が遠く、右なら右端が遠くなります。一致した場合は両端で同じ最大値を取ります。最大値に頂点を使うのではなく、両端の距離を比べることが要点です。

距離の大小は代入した値の差でも確認できます。右端の値から左端の値を引くと、次のようになります。

f(t + L) - f(t)
= a{(t + L - p)² - (t - p)²}
= aL(2t + L - 2p)
= 2aL(t + L/2 - p)

aL は正なので、差の符号は中点と軸の位置関係で決まります。差が正なら右端、負なら左端、0 なら両端です。下に開く場合は距離が遠いほど値が小さくなり、最大と最小の役割が入れ替わります。

基本例題：軸を窓が通過する

関数 f(x) = (x − 2)² + 1 を、t ≦ x ≦ t + 4 で考えます。実数 t の範囲ごとに最小値と、その値を取る x を求めてください。答えは t の不等式と式で表します。

軸は x = 2、区間の長さは 4 です。右端が軸より左にある条件は t + 4 ≦ 2 なので、t ≦ -2 です。このとき軸に最も近いのは右端 x = t + 4 です。

f(t + 4)
= (t + 4 - 2)² + 1
= (t + 2)² + 1

図2のように、次は軸が窓の中にある条件を、左端と右端の両方から書きます。

t ≦ 2 ≦ t + 4
-2 ≦ t ≦ 2

この範囲では x = 2 で最小値 1 を取ります。さらに左端が軸の右にある条件は t ≧ 2 です。このとき左端 x = t で最小となります。

f(t)
= (t - 2)² + 1

答えを重複のない形にまとめると、t < -2 では最小値 (t + 2)² + 1 を x = t + 4 で取り、-2 ≦ t ≦ 2 では最小値 1 を x = 2 で取り、t > 2 では最小値 (t − 2)² + 1 を x = t で取ります。t = -2 では右端が 2、t = 2 では左端が 2 となり、どちらも実際に区間内の x = 2 で値 1 を取ります。端の式を使っても 1 となるため、境界の割り当てを片方に寄せても答えは変わりません。

例えば t = -3 なら区間は -3 ≦ x ≦ 1 で、頂点 x = 2 は使えません。右端の値は f(1) = 2 です。一方 t = 0 なら区間は 0 ≦ x ≦ 4 で頂点を含みます。式だけではなく、そのときの区間へ x を戻して判断できるかが分かれ目です。

標準例題：最大値は中点で切り替える

関数 g(x) = (x − 3)² − 2 を、s ≦ x ≦ s + 2 で考えます。実数 s の範囲ごとに最大値と、その値を取る x を求めてください。答えは s の不等式と式で表します。

軸は x = 3、区間の中点は s + 1 です。中点が軸と一致するのは s + 1 = 3、すなわち s = 2 です。端の値を直接比べても同じ境界になります。

g(s + 2) - g(s)
= (s - 1)² - 2 - {(s - 3)² - 2}
= (s² - 2s + 1) - (s² - 6s + 9)
= 4s - 8
= 4(s - 2)

s < 2 なら差は負なので左端が大きく、最大値は (s − 3)² − 2、取る x は s です。s > 2 なら差は正なので右端が大きく、最大値は (s − 1)² − 2、取る x は s + 2 です。s = 2 なら区間は 2 ≦ x ≦ 4 で、両端は軸からそれぞれ 1 離れます。最大値は -1 で、x = 2 と x = 4 の両方で取ります。

この例の最小値の切替点は、右端が軸に達する s = 1 と、左端が軸を離れる s = 3 です。最大値の切替点 s = 2 とは一致しません。端が軸を通る時刻と、両端が軸から等距離になる時刻は、異なる問いに対応します。

発展例題：最大値と最小値を同時に使う

h(x) = (x − 1)² を、u ≦ x ≦ u + 2 で考えます。この区間での最大値が 4 以下、かつ最小値が 1 以下となる実数 u の範囲を求めてください。答えは不等式で表します。

最大値が 4 以下であるためには、軸から最も遠い端の値も 4 以下でなければなりません。逆に両端の値が 4 以下なら、その間の点の軸からの距離は両端の距離の大きい方を超えないので、区間内の値はすべて 4 以下です。したがって次の2条件を同時に満たします。

(u - 1)² ≦ 4
-2 ≦ u - 1 ≦ 2
-1 ≦ u ≦ 3
(u + 1)² ≦ 4
-2 ≦ u + 1 ≦ 2
-3 ≦ u ≦ 1

共通範囲は -1 ≦ u ≦ 1 です。次に最小値が 1 以下である条件を考えます。h(x) ≦ 1 となるのは、平方の大小から 0 ≦ x ≦ 2 です。動く区間とこの範囲が少なくとも1点を共有すればよいので、左端が 2 以下、右端が 0 以上という2条件を得ます。

u ≦ 2
u + 2 ≧ 0
-2 ≦ u ≦ 2

両方の条件の共通範囲は -1 ≦ u ≦ 1 です。端の u = -1 では区間は -1 ≦ x ≦ 1 で、最大値 4 を x = -1、最小値 0 を x = 1 で取ります。u = 1 では区間は 1 ≦ x ≦ 3 で、最大値 4 を x = 3、最小値 0 を x = 1 で取ります。どちらも等号を許す元の条件に合います。

この方法では最大値の式を場合分けしてから不等式を解くこともできます。ただし「最大値が 4 以下」は両端の条件、「最小値が 1 以下」は条件を満たす点が区間に存在することに言い換えると、必要な比較が見えます。最小値が 1 以下という条件を、両端がともに 1 以下と取り違えると、頂点付近を含む広い窓を落としてしまいます。

境界を数直線で確かめる

基本例題の切替点 -2 の前後を比べます。t = -3 では右端が 1 なので軸の左側にあり、t = -1 では区間が -1 ≦ x ≦ 3 となって軸を含みます。ちょうど t = -2 では右端が 2 です。次の切替点 2 でも、t = 1 なら軸を含み、t = 3 なら左端が 3 なので軸は左側にあります。各境界で端点の式が 1 になることも合わせて確かめると、条件の向きと等号を検査できます。

標準例題の最大値についても、s = 1 では両端 1 と 3 のうち 1 が軸から遠く、s = 3 では両端 3 と 5 のうち 5 が遠くなります。間の s = 2 では両端が等距離です。切替点の前後に加え、切替点そのものを調べると、最大値を取る x を2つ書く必要にも気づけます。

誤答を窓の外側から直す

基本例題で t = -3 のとき、「頂点の値は 1 だから最小値は 1」と答えたとします。原因は、放物線全体での最小値と、指定された区間での最小値を混同したことです。図3のように、区間の右端は 1 であり、軸 x = 2 は窓の外です。

修正するときは、まず -3 ≦ x ≦ 1 と書き直し、2 がその範囲に入るかを確かめます。入らないため、軸に近い右端 x = 1 を代入し、最小値 2 を得ます。境界の t = -2 なら右端が 2 となり、頂点を選べます。等号を落とさず、端が含まれるという条件まで読み取ってください。

別の誤りは、最大値も軸が区間へ入る前後の3つに分けることです。標準例題で s = 3/2 なら軸は区間内ですが、中点は 5/2 で軸より左です。左端の方が遠く、両端は同値ではありません。区間内に軸があることと、軸が中点にあることは別の条件です。

練習：区間を自分で動かす

次の5問は、実数の文字に対して考えます。各区間は両端を含みます。答えは指定された範囲と式で示してください。

1. f(x) = (x + 1)² + 2、a ≦ x ≦ a + 3 の最小値と、それを取る x を a の範囲ごとに求めてください。
2. g(x) = (x − 4)² + 3、b ≦ x ≦ b + 6 の最大値と、それを取る x を b の範囲ごとに求めてください。
3. h(x) = -(x + 2)² + 5、c ≦ x ≦ c + 4 の最大値と、それを取る x を c の範囲ごとに求めてください。
4. k(x) = (x − 5)²、d ≦ x ≦ d + 2 の最小値が 0 となる d の範囲を求めてください。
5. m(x) = (x + 3)²、e ≦ x ≦ e + 2 の最大値が 9 以下となる e の範囲を求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 軸は -1 です。右端が軸に達するのは a + 3 = -1、左端が軸を離れるのは a = -1 です。a < -4 では右端で (a + 4)² + 2、-4 ≦ a ≦ -1 では x = -1 で 2、a > -1 では左端で (a + 1)² + 2 です。それぞれ取る x は順に a + 3、-1、a です。境界では端が -1 となり、両方の式は 2 に一致します。たとえば a = -5 の区間は -5 ≦ x ≦ -2 で、右端の値は 3 です。

2. 軸は 4、中点は b + 3 です。中点が軸と一致するのは b = 1 です。b < 1 では左端 x = b で最大値 (b − 4)² + 3、b > 1 では右端 x = b + 6 で最大値 (b + 2)² + 3 です。b = 1 では x = 1 と 7 の両端で 12 を取ります。実際に両端の軸からの距離は 3 です。b = 0 と b = 2 では、それぞれ遠い側の値が 19 となり、切替の向きも合います。

3. 下に開くため、最大値は軸に最も近い点で取ります。軸は -2 なので、右端が軸に達する c = -6 と左端が軸を離れる c = -2 で分けます。c < -6 では x = c + 4 で最大値 -(c + 6)² + 5、-6 ≦ c ≦ -2 では x = -2 で 5、c > -2 では x = c で -(c + 2)² + 5 です。c = -7 では右端 -3 で 4、c = -1 では左端 -1 で 4 です。両境界では端が軸に一致し、最大値は 5 です。

4. 平方は 0 以上で、0 になるのは x = 5 のときです。したがって窓に 5 を含むことが必要十分です。

d ≦ 5 ≦ d + 2
3 ≦ d ≦ 5

d = 3 では右端、d = 5 では左端が 5 です。どちらも閉区間に含まれ、元の式の値は 0 です。範囲の外では区間内に 5 がなく、平方は正になります。

5. 最大値が 9 以下であることは、両端での値が 9 以下であることと同値です。両端の条件を解きます。

(e + 3)² ≦ 9
-6 ≦ e ≦ 0
(e + 5)² ≦ 9
-8 ≦ e ≦ -2

共通範囲は -6 ≦ e ≦ -2 です。e = -6 では区間は -6 ≦ x ≦ -4 で、左端の値が 9 です。e = -2 では区間は -2 ≦ x ≦ 0 で、右端の値が 9 です。内部の値は軸からの距離で両端を超えず、どちらも元の条件を満たします。

手元に残す4行

上に開く放物線では、最小値は軸に最も近い点で取ります。
最大値は軸から遠い端で取ります。
最小値の切替は両端と軸の一致、最大値の切替は中点と軸の一致です。
境界では値と、それを取る x の両方を元の区間に戻します。

どこで止まったかを見分ける

式は合っていても、文字の範囲を逆に書く場合は、右端が軸より左という文を t + L ≦ p に直すところから確かめます。区間の図と不等式を一対一に結び、境界の前後の位置を声に出して説明すると、符号のずれを見つけやすくなります。

個別指導で確認するなら、まず窓の位置を1つ指定し、軸が中に入るかを数直線で示してもらいます。次に最大値について両端の距離を比べ、同距離なら x が2つある理由を尋ねます。最後に切替点そのものを代入し、隣の式が一致するかと端点を含むかを確認します。動くのは区間であり、軸は固定されたままです。