高校数学B 数列の一般項と項番号—項の値と番号を区別して条件から項数を逆算する｜武蔵野個別指導塾

項の値と番号を区別し、整数条件と有限数列の範囲を調べて、逆算した番号を元の一般項に戻して確かめます。

よくあるのは、高2の高校生が第何項かを聞かれて、計算した項の値を書いてしまう場面です。例えば棚に番号札を付けてカードを並べると、札の数字とカードに書かれた数字は別のものです。数列でも、位置を表す番号とその位置の値を区別すると、問いの意味がはっきりします。

項の値を求めるときは番号を式に入れます。反対に、ある値がどこに現れるかを調べるときは、値を式に入れて番号について解きます。ここでは有限個または無限個の項について、その往復と、答えが存在するための条件を追います。

何を答える問題か

問題文に「第8項の値」とあれば、8は位置です。一般項のnを8にして値を出します。「値がある数となるのは第何項か」なら、指定された値と一般項を等しく置き、自然数の番号を探します。最後に答えるものは数値として同じ種類に見えても、前者は値、後者は位置です。

もう一つの出方は、条件を満たす項が何個あるかを尋ねるものです。不等式から番号の範囲を決めた後、その範囲にある自然数を数えます。有限数列なら最後の番号も考慮し、端の番号を含むかどうかは不等号に従います。

たとえ方程式から実数の解が出ても、その数が自然数とは限りません。さらに、許された範囲の外にある番号では、有限数列の項として存在しません。値を代入する前に、番号の範囲を問題文で囲む習慣をつけましょう。

番号から値へ、値から番号へ

数列は、順序を決めて数を並べたものです。左から1番目の数を初項または第1項、2番目を第2項と呼びます。第n項をaₙと表すとき、nは項番号を表す自然数です。一般項とは、許される番号nを使って第n項を表した式です。有限数列では番号に上限があり、無限数列では自然数の番号が続きます。

図1のように、番号を入力すると対応する値が決まります。逆向きに値から番号を探す場合は、式を解いた候補が番号として許されるか調べます。同じ値が複数の番号に現れる数列もあるため、逆向きの答えが常に1個とは限りません。

図1の対応は、自然数nに対してaₙ = 2n + 1と定めた例です。n = 1なら値は3、n = 2なら値は5です。添字は値そのものではなく位置の目印です。記号aₙのnを変えると、取り出す場所が変わります。

初めの数項が一致することは、後の項も一致する証明にはなりません。例えば上の式に(n − 1)(n − 2)を加えた式も、最初の2項は3と5ですが、第3項は異なります。数項から規則を予想することと、問題の条件から一般項を確定することは別です。問題で一般項が与えられていない場合は、定義や条件がその後の項まで決めるかを調べます。

候補が出ないときの判断

方程式を解いた結果が自然数でなければ、そこで無理に四捨五入しません。例えば無限数列hₙ = 4n + 3で値が21となる番号を探すと、4n = 18、n = 9/2です。第4項は19、第5項は23であり、21に等しい項はありません。間にある値に近い項を探す問いと、等しい項を探す問いは区別します。

同じ考えは範囲の問題でも役立ちます。不等式の解の端が整数でないときは、条件を満たす側にある最初の整数を選びます。n > 9/2なら最初の自然数は5ですが、n < 9/2なら最後の自然数は4です。整数の候補を選んだ後に、その前後を元の不等式で試します。

また、項番号の候補が1つも残らなければ、個数は0個です。有限数列で式を解いて得た範囲と番号の範囲が重ならないときにも、同じ結論になります。例えば第1項から第4項までの数列でn ≧ 6が条件なら、第6項自体が存在しません。計算結果を消すのではなく、なぜ候補が残らないかを添えると、範囲を確認したことが伝わります。

規則を確かめる言葉

最初にいくつか値が書かれていて、続きを推測する問題では、どの規則で続きを定めるかが決まっているかを読み取ります。前の項との差が一定だと問題で指定されている場合と、たまたま見えた数項の差が一定に見える場合は異なります。後者では別の式も同じ数項を与え得るので、その観察だけから後の値を断定できません。

一般項が与えられた問題なら、候補の番号を代入することでその値を確かめられます。一方、一般項を自分で作った場合には、なぜその式が指定されたすべての番号で成り立つのか、与えられた条件に基づく説明が必要です。最初の数項での一致は、計算間違いを見つける手がかりとして使います。

基本例題：番号を逆向きに探す

自然数nに対してaₙ = 4n − 3で定まる無限数列があります。第9項の値を整数で求め、値が41となるのは第何項かを整数で答えてください。

最初の問いはn = 9を代入します。初項から9回増やすのではなく、一般項そのものに9を入れます。

a₉ = 4・9 - 3
   = 36 - 3
   = 33

次は値が41になる番号をnと置きます。式の左側は値で、解く対象は位置を表すnです。

4n - 3 = 41
4n = 44
n = 11

11は自然数で、無限数列の範囲内です。元の式に戻すと4・11 − 3 = 41なので、第11項です。図2のように、第9項の値33を求める操作と、値41から第11項を探す操作は向きが逆です。

図2の左では位置が与えられ、右では値が与えられています。求めた11を値として答えるのではなく、「第11項」と書くことで問いへの答えが明確になります。

標準例題：該当する番号を数える

有限数列aₙ = 5n − 7が1 ≦ n ≦ 18の自然数nで定まっています。項の値が18以上58未満となる項は何個ですか。個数を整数で答えてください。

値の条件に一般項を代入し、両端を同時に変形します。5は正なので、不等号の向きは変わりません。

18 ≦ 5n - 7 < 58
25 ≦ 5n < 65
5 ≦ n < 13

nは自然数なので、候補は5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12です。どれも指定された1から18までの範囲に含まれます。両端を含めて数えるため、個数は12 − 5 + 1 = 8個です。

境界を元の条件に戻しましょう。a₅ = 18は「以上」に含まれ、a₁₂ = 53は58未満です。a₄ = 13は小さすぎ、a₁₃ = 58は58未満ではありません。端を調べると、不等号と整数の丸め方を点検できます。

別の数え方として、1から12までの12個から1から4までの4個を除いても8個です。ただし、もとの数列が第10項までで終わる条件なら、候補の上限は10となり、個数は6個です。式から得た範囲と、数列そのものの範囲の共通部分を取ることが必要です。

発展例題：同じ値が複数回現れる場合

1 ≦ n ≦ 10の自然数nに対して、bₙ = (n − 5)²と定めます。値が9となる項の番号をすべて整数で求め、値が10未満となる項の個数を整数で答えてください。

まず等式を解きます。二乗して9になる数は3と-3の両方です。

(n - 5)² = 9
n - 5 = 3 または n - 5 = -3
n = 8 または n = 2

2と8はどちらも指定範囲の自然数です。b₂ = (-3)² = 9、b₈ = 3² = 9なので、第2項と第8項が答えです。値から番号を探す操作では、複数の候補を落とさないようにします。

次に、10未満となる番号を調べます。n − 5は整数なので、その二乗が10未満となるのは、n − 5が-3以上3以下の場合です。4以上または-4以下なら二乗は16以上となり、条件を満たしません。

-3 ≦ n - 5 ≦ 3
2 ≦ n ≦ 8

自然数の番号は2から8までで、8 − 2 + 1 = 7個です。両端は値9で条件を満たし、その外側の第1項と第9項はともに16です。第10項も25なので含みません。二乗の式は左右対称に同じ値を取るため、片側だけの番号で答えを終えないことが要点です。

なお、値が2となる番号を同じ式から探すと、整数の二乗が2にならないので該当項はありません。実数の解が存在することと、項番号として使える自然数の解が存在することは別です。有限数列であれば、自然数であっても指定範囲の外に出た候補は除きます。

誤答を直す：値と個数を混ぜない

基本例題で「41となるのは第41項」と答える誤りを考えます。41はカードに書かれた値で、位置を表す札ではありません。第41項の値を実際に計算すると4・41 − 3 = 161で、条件の41に戻りません。

図3のように、候補を一般項へ戻して一致するか調べると、誤りが見つかります。正しい第11項なら4・11 − 3 = 41です。答えを求めた後に元の問いへ戻す点検は、方程式の計算だけを見直すより、値と番号の取り違えを見つけやすくします。

個数の問題にも別の落とし穴があります。5から12までの番号を12 − 5 = 7個とすると、第5項を数え落とします。5から12までを書き出して8個と確かめ、両端を含む連続した整数の個数を「最後 − 最初 + 1」と整理します。両端のどちらかを含まない場合は、先に実際の最初と最後の整数を決めてから使います。

負の係数の不等式を解くときには、不等号の向きも確認します。例えば-2n < -6を-2で割るとn > 3です。n < 3のままではn = 1を誤って含みますが、元の式に入れると-2 < -6は成り立ちません。符号と境界を元の条件で試すと、変形の誤りを直せます。

練習問題

次の5問では、指定された数列以外の規則を仮定しません。番号はいずれも自然数です。答えの候補を出したら、問題ごとに元の条件に戻して確かめてください。

1. 無限数列cₙ = 7n + 2について、第6項の値を整数で求めてください。
2. 無限数列dₙ = 6n − 1について、値が77となるのは第何項か、番号を整数で求めてください。
3. 有限数列eₙ = 3n + 4が1 ≦ n ≦ 9で定まります。値が31以上となる項の個数を整数で求めてください。
4. 無限数列fₙ = 20 − 2nについて、値が5以上14以下となる項の個数を整数で求めてください。
5. 有限数列gₙ = (n − 6)²が1 ≦ n ≦ 8で定まります。値が16となる項の番号をすべて整数で求めてください。

練習問題の答えと道筋

1

c₆ = 7・6 + 2
   = 42 + 2
   = 44

答えは44です。n = 6は自然数であり、無限数列の指定範囲に入ります。6番目の位置に対応する値として44を得ています。

2

6n - 1 = 77
6n = 78
n = 13

13は自然数です。d₁₃ = 6・13 − 1 = 77と元の値に戻るので、第13項です。77を番号として答えないようにします。

3

3n + 4 ≧ 31
3n ≧ 27
n ≧ 9

数列の範囲は1 ≦ n ≦ 9なので、共通する番号は9です。e₉ = 31は条件を満たし、第10項はこの数列にはありません。答えは1個です。

4

5 ≦ 20 - 2n ≦ 14
-15 ≦ -2n ≦ -6
15 ≧ 2n ≧ 6
3 ≦ n ≦ 7.5

自然数の候補は3, 4, 5, 6, 7です。答えは5個です。f₃ = 14とf₇ = 6は範囲内で、f₂ = 16とf₈ = 4は範囲外です。負の数で割ると両方の不等号が逆になります。

5

(n - 6)² = 16
n - 6 = 4 または n - 6 = -4
n = 10 または n = 2

10は自然数ですが、有限数列の範囲1 ≦ n ≦ 8の外です。2は範囲内で、g₂ = (-4)² = 16と確認できます。答えは第2項です。

手元に残す要点

番号nを一般項へ入れると、第n項の値が得られます。 値から番号を探すときは方程式を解き、自然数と指定範囲を確かめます。 個数は条件に合う番号を数え、両端を含めるかに注意します。 候補を元の条件に戻し、該当なしや複数個の場合も調べます。

手が止まった場所を見つける

計算が進まないときは、まず問題文の「第何項」「値」「何個」に印を付け、答える対象を言葉で書いてみてください。式が立たないなら、番号をnと置いたときに値がどの式になるかを一度言い直します。式は解けたのに答えに迷うなら、候補が自然数か、有限数列の範囲内かを順に確かめます。

個別指導で確認する際も、間違えた行だけでなく、どの時点で番号を値として扱ったかをたどると修正しやすくなります。境界の前後を元の式に入れる作業まで自分でできれば、別の条件でも同じ考えを使えます。項番号と項の値を区別すると、逆算の答えは元の並びに戻せます。