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高校数学B 等差数列の一般項—離れた二つの項から初項と公差を決めて式を作る｜武蔵野個別指導塾
離れた2項から初項と公差を求めます。番号の差で割る理由をたどり、負の公差や等差中項の条件も確かめられます。
よくあるのは、高2の高校生が離れた2つの項を見て、項番号の差と、その間に並ぶ項の個数を混同する場面です。端を含めて数えた個数をそのまま公差の回数にすると、求めた式は片方の条件に合っても、もう片方ではずれてしまいます。番号の間にある「移動」を数え、最後に元の2項へ戻してみましょう。
どんな条件から式を決めるか
等差数列の一般項を求める問題には、離れた2項の値から初項と公差を求める形があります。また、途中の1項と公差が与えられ、初項へ戻る形もあります。さらに、3つの数がこの順に等差数列をなす条件から、真ん中の数を決める形もあります。
どの場合も、与えられた項の値と項番号を対にして書きます。項の値の差と番号の差は別の量です。後ろの項から前の項を引くと決めたら、番号も同じ順で引きます。逆順で両方を引いても公差は同じですが、片方だけ逆にすると符号が変わります。
問題が等差数列だと指定しているかにも注意します。いくつかの項が等間隔に見えることは、その先まで同じ差が続く証明にはなりません。以下では、与えられた数列が等差数列であるという条件を使います。
番号の間にある移動を数える
初項を a₁、公差を d とします。等差数列は、隣り合う項について、後の項から前の項を引いた値が常に d である数列です。公差は正でも負でも 0 でもかまいません。0 なら各項は同じ値です。
第1項から第2項へは1回、第1項から第3項へは2回、公差を加えます。したがって自然数 n に対し、一般項は aₙ = a₁ + (n − 1)d です。n = 1 では加える回数が0となり、右辺は初項に戻ります。
図1のように、第2項から第6項への移動は4回です。端を含む項は5個ありますが、項と項の間は4つです。各間隔で同じ d を加えるので、第6項と第2項の差は 4d になります。
一般に自然数 p、q が p < q を満たすとき、a_q − a_p = (q − p)d です。ここで a_q は第q項を表します。この式は一般項をそれぞれ代入し、初項を引き算で消しても得られます。q − p は正なので、異なる2項が与えられれば、その差を q − p で割って d が決まります。与えられた2項が同じ値なら d = 0 です。
同じ番号に異なる値を指定された場合は、1つの項に2つの値を割り当てることになり、条件を満たす数列はありません。同じ番号に同じ値を繰り返した場合は実質1条件なので、公差は決まりません。この場合に番号の差0で割ることはできません。
1つの項 a_p と公差がわかれば、aₙ = a_p + (n − p)d とも書けます。n が p より小さい場合は n − p が負になり、前へ戻る操作を表します。n は自然数で、対象となる項が存在する範囲です。初項をいったん求める方法と、既知の項を起点にする方法のどちらでも同じ式にたどり着きます。
2条件が決まる仕組み
異なる番号の2項が与えられると、公差を決めた後、どちらか一方から初項が決まります。逆に、この操作で作った数列が条件を満たすことも確かめます。第p項を起点にした式へ n = p を入れると a_p が出ます。n = q を入れた値は a_p + (q − p)d であり、差の式から指定された a_q に一致します。したがって、異なる番号に指定された2つの実数値からは、条件を満たす等差数列が定まります。
例えば第5項が 9、第9項も 9 なら、4回進んだ差が0です。4d = 0 より d = 0 で、初項も9です。値が同じだから求められないのではありません。割れないのは番号の差が0の場合です。値の差が0であっても、番号の差が0でなければ計算できます。
一方、第5項が9という条件だけでは、公差を任意に選べます。公差を2とするなら初項は1、公差を0とするなら初項は9です。どちらも第5項は9ですが、別の数列です。1条件で答えを決めようとして手が止まったときは、計算の不足だけでなく、条件が足りているかも確かめます。
等差中項についても、値が負であっても平均の式はそのまま成り立ちます。両端の和が負なら真ん中も負になりえますし、両端が同じなら3項とも同じです。差の等式から導いた条件なので、符号を理由に別の公式へ切り替える必要はありません。
基本例題：2つの項を結ぶ
等差数列で第3項が 7、第7項が 19 です。初項と公差を求め、自然数 n に対する一般項を n の式で答えてください。
図2のように、第3項から第7項までは4回進みます。値は 19 − 7 = 12 増えるので、1回分を求めます。
19 - 7 = (7 - 3)d
12 = 4d
d = 3番号の差は4で、0ではありません。次に第3項は初項から2回進んだ値ですから、初項を a₁ として戻します。
7 = a₁ + 2・3
7 = a₁ + 6
a₁ = 1これを一般項に入れます。
aₙ = 1 + (n - 1)・3
= 3n - 2答えは初項 1、公差 3、一般項 aₙ = 3n − 2（n は自然数）です。元の条件へ代入すると、第3項は 3・3 − 2 = 7、第7項は 3・7 − 2 = 19 です。両方が合うことに加え、隣り合う式の差も3なので、条件を満たす等差数列です。
既知の第3項を起点にすれば、aₙ = 7 + (n − 3)・3 から同じ式が得られます。第1項を求める設問なので、どちらの経路でも n = 1 を代入して初項を答えに含めます。
標準例題：減る数列を前へ戻す
等差数列の第4項は 11、第10項は -7 です。初項と公差、および自然数 n に対する一般項を整数係数の式で求めてください。
第10項は第4項より後ですが、値は小さくなっています。公差が負になることを予想できます。ただし符号は差を計算して決めます。
-7 - 11 = (10 - 4)d
-18 = 6d
d = -3第4項までには初項から3回進みます。1回ごとに3減るので、逆に初項へ戻るときは3を3回加えます。
11 = a₁ + 3・(-3)
11 = a₁ - 9
a₁ = 20aₙ = 20 + (n - 1)・(-3)
= 20 - 3n + 3
= 23 - 3n答えは初項 20、公差 -3、一般項 aₙ = 23 − 3n です。第4項は 23 − 12 = 11、第10項は 23 − 30 = -7 と、両条件へ戻ります。隣り合う項の差は -3 なので、途中でも毎回同じだけ減ります。
引き算の順序を逆にするなら、11 − (-7) = (4 − 10)d とします。18 = -6d からやはり d = -3 です。値の差を逆にしたのに番号の差を正のままにすると、公差の符号が誤ります。符号に迷ったら、後ろの項が前より大きいか小さいかも点検材料にします。
発展例題：等差中項を使う
3つの数 5、x、17 がこの順に等差数列をなします。x を整数で求め、これらを第1項から第3項とする等差数列の一般項を自然数 n の式で答えてください。
隣り合う差が等しいことから、次の式を立てます。
x - 5 = 17 - x
2x = 22
x = 11真ん中の数は両端の平均です。一般に u、v、w がこの順に等差数列をなす条件は v − u = w − v、すなわち 2v = u + w です。このとき v を u と w の等差中項といいます。逆に 2v = u + w なら両方の差が等しいので、この順に等差数列をなします。
この例では公差は 11 − 5 = 6 です。初項は 5 なので、一般項は次のようになります。
aₙ = 5 + (n - 1)・6
= 5 + 6n - 6
= 6n - 1答えは x = 11、aₙ = 6n − 1 です。元の並びに戻すと 11 − 5 = 6、17 − 11 = 6 で、2つの差は一致します。式に n = 1、2、3 を入れても 5、11、17 となります。
等差中項の式を使えるのは、真ん中が番号でも両端の中点にあるときです。たとえば第2項、第5項、第8項なら3回ずつ離れているので、第5項は両端の平均です。間隔が異なる3項では、真ん中に書かれた値を機械的に平均してはいけません。番号を先に確認してから差の式に進みます。
ずれた式を条件へ戻して直す
基本例題で、第3項から第7項までの項を 3、4、5、6、7 と数え、5個あるから 12 = 5d とした答案を考えます。項の個数は5個で合っていますが、公差を加える回数は4回です。図3のように、項の印と印の間に移動があることを見れば、どこで数え違えたかが見えます。
誤った d = 12/5 を第3項の 7 から4回加えると、第7項は 7 + 4・12/5 = 83/5 です。これは指定された 19 と一致しません。失敗した式でも元の条件へ戻すと、どの条件が壊れたかを具体的に確認できます。
修正は、番号の差 7 − 3 = 4 を使って 12 = 4d とすることです。第3項を含めて5個と数えた結果から1を引いても、移動回数4に戻れます。ただし、項数と移動回数を区別して書けば、引き忘れを避けやすくなります。
別の間違いとして、aₙ = a₁ + nd と書くこともあります。n = 1 を入れると a₁ + d となり、公差が0でない限り初項に戻りません。初項から第n項までの移動は n − 1 回です。公差が0の例ではこの誤りが数値に現れないため、式の意味も確認します。
練習問題
それぞれ等差数列として考え、一般項は自然数 n の式で答えてください。数値の答えは整数または既約分数で表します。
- 初項が -4、公差が 5 の数列の一般項を求めてください。
- 第2項が 8、第6項が 20 の数列の初項、公差、一般項を求めてください。
- 第3項が 14、第8項が -6 の数列の初項、公差、一般項を求めてください。
- 3つの数 -9、y、3 がこの順に等差数列をなします。y と、この3数を初項から並べた数列の一般項を求めてください。
- 第4項が 2、第10項が 5 の数列の初項、公差、一般項を求めてください。
解答と解き方
- 初項から第n項までの移動は n − 1 回です。
aₙ = -4 + 5(n - 1)
= 5n - 9答えは aₙ = 5n − 9 です。n = 1 で -4、隣の項との差は5となり、与えられた条件に戻ります。
- 第2項から第6項への移動は4回です。
20 - 8 = (6 - 2)d
12 = 4d
d = 3
8 = a₁ + 3
a₁ = 5
aₙ = 5 + 3(n - 1)
= 3n + 2初項 5、公差 3、aₙ = 3n + 2 です。第2項は 8、第6項は 20 で、指定された値に戻ります。
- 値の差と番号の差を後ろから前の順に引きます。
-6 - 14 = (8 - 3)d
-20 = 5d
d = -4
14 = a₁ + 2・(-4)
a₁ = 22
aₙ = 22 - 4(n - 1)
= 26 - 4n初項 22、公差 -4、aₙ = 26 − 4n です。第3項は 14、第8項は -6 です。公差が負なので、後ろの項の値が小さいこととも一致します。
- 真ん中の数から前後へ進む差を等しくします。
y - (-9) = 3 - y
2y = -6
y = -3
d = -3 - (-9)
= 6
aₙ = -9 + 6(n - 1)
= 6n - 15答えは y = -3、aₙ = 6n − 15 です。並びは -9、-3、3 となり、差は両方とも6です。
- 番号の差が6、値の差が3なので、公差は整数とは限りません。
5 - 2 = (10 - 4)d
3 = 6d
d = 1/2
2 = a₁ + 3/2
a₁ = 1/2
aₙ = 1/2 + (n - 1)/2
= n/2初項 1/2、公差 1/2、aₙ = n/2 です。第4項は 4/2 = 2、第10項は 10/2 = 5 となり、元の条件を満たします。
覚えておくこと
- 第p項から第q項への移動回数は q − p です。
- 値と番号の差は同じ順序で引きます。
- 異なる2つの番号なら、値の差を番号の差で割って公差を求められます。
- 等間隔の3項では、真ん中の項は両端の平均です。
- 一般項を元の条件と n = 1 に戻して確認します。
手が止まった場所を見つける
式を立てられないときは、まず与えられた番号と値を上下に書き、番号の間を矢印で結びます。矢印の本数と端を含む項の個数が違うと説明できれば、公差の係数を選べます。計算後に片方の条件しか合わないなら、差の順序と初項へ戻る符号をたどります。
個別指導で確かめるときも、答えの数字だけでなく、どの項から何回進んだかを言葉にしてみます。等差中項で止まった場合は、3つの番号の間隔が等しいかを先に調べます。番号と値の対応が、一般項を決める出発点です。
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