高校数学B 等差数列の和と項数—両端の項と個数を対応させて和の条件を解く｜武蔵野個別指導塾

初項と末項を含めて数え、等差数列の和を求めます。区間の和や、和から項数を逆算したときの整数条件にも注意を向けましょう。

よくあるのは、高2の高校生が等差数列の末項を数え忘れ、求めた和が合わなくなる場面です。初項から末項までの差を公差で割ると、わかるのは項と項の間の移動回数です。項の個数には出発点も含めます。両端と個数の対応を整えてから和を計算すると、このずれを防げます。

何を数えてから足すか

等差数列の和は、初項と末項と項数が与えられ、そのまま和を求める形で現れます。また、初項と公差と末項から項数を決める形や、和が指定された値になる項数を逆算する形もあります。いずれも、最後に足す項がどれかを先に決めることが出発点です。

たとえば第4項から第9項までを足すとき、項番号の差は5ですが、両端を含めるので項は6個です。第4項から第5項までなら2個であることを考えると、差に1を足す理由が見えます。初項から第9項までの和と混同せず、対象の区間を囲んでください。

和から項数を求めるときは、方程式を解いて得た数をそのまま採用できるとは限りません。項数は1以上の整数です。負の数や整数でない解は、方程式の解でも項数の候補から外します。候補が残ったら、元の数列の末項と実際の和に戻して確かめます。

両端を組にして和を作る

等差数列は、隣り合う項の差が一定の数列です。初項をa、公差をdとすると、自然数nに対する第n項はa + (n − 1)dです。初項から第n項までを加えた和をSₙとします。nは1以上の整数であり、末項は第n項です。

図1のように、前から書いた列と後ろから書いた列を重ねると、対応する2項の和はどの位置でも初項と末項の和になります。第k項と後ろから第k項の公差による増減が打ち消し合うためです。この組がn個あるので、2Sₙはn組の合計です。

図1の対応を文字で書くと次のようになります。途中の点は、同じ規則で続く項を表します。

Sₙ = a + (a + d) + … + (a + (n - 1)d)
Sₙ = (a + (n - 1)d) + (a + (n - 2)d) + … + a
2Sₙ = n(2a + (n - 1)d)
Sₙ = n(2a + (n - 1)d)/2

末項をlと書けば、同じ式はSₙ = n(a + l)/2です。これは「項数かける両端の平均」です。nが奇数でも、真ん中の項は上下に1回ずつ現れるので、2つの列の対応に例外はありません。n = 1でもS₁ = (a + a)/2 = aとなります。dが0なら各項がaで、和はnaです。負の公差でも組の和は一定です。

初項と末項が決まっていてdが0でないとき、l = a + (n − 1)dを解くとn = (l − a)/d + 1です。商が0以上の整数でなければ、指定した末項はその数列の項として現れません。d = 0ではこの割り算は使えず、末項がaと異なれば該当する項はありません。同じなら、末項の値だけではどこで止めたか決まりません。

区間の両端が項番号で与えられたときは、第m項から第n項まで、mとnが自然数でmがn以下ならn − m + 1項です。たとえば同じ番号から同じ番号までなら、引き算の結果は0でも対象は1項あります。この最小の場合に戻すと、1を加える式かどうかを確かめられます。区間を逆向きに指定された場合は、先にどの項からどの項までを足すか問題の条件を確認します。

両端の平均が整数にならない場合もありますが、和が必ず分数になるわけではありません。項数が偶数なら、2で割る前の積を整えることもできます。計算の形に迷ったときは、2Sₙが同じ和の2倍であるという導出に戻ると、2で割る位置を判断できます。整数の項からなる数列なら、直接足した結果も整数であることを最後に点検できます。

基本例題：末項を含めて数える

初項5、公差3の等差数列で、末項32までの和を整数で求めます。32が実際に項として現れることも確かめます。

図2のように5から32までの差は27で、3ずつ進む回数は9回です。出発した5も含めるため、項数は10です。末項は10番目に当たります。

図2の数え方を式に移します。

32 = 5 + (n - 1)・3
27 = 3(n - 1)
9 = n - 1
n = 10
S₁₀ = 10(5 + 32)/2
S₁₀ = 185

答えは185です。逆順にも並べて組にすると、5 + 32 = 37、8 + 29 = 37となり、同じ組が10組できます。その合計370は元の和の2倍なので185です。実際に10番目は5 + 9・3 = 32で、末項の条件にも戻ります。

ここで9を項数とすると、32を含む10項の和にはなりません。公差で割った数は移動回数なのか項数なのか、式の横に言葉を添えると判断できます。末項を先に確認することは、和の公式に数値を入れる前の作業です。

標準例題：途中の区間を足す

初項4、公差5の等差数列について、第6項から第14項までの和を整数で求めます。第6項を区間の初め、第14項を区間の終わりとして扱います。

a₆ = 4 + (6 - 1)・5
    = 29
a₁₄ = 4 + (14 - 1)・5
     = 69
項数 = 14 - 6 + 1
     = 9
求める和 = 9(29 + 69)/2
         = 441

答えは441です。区間の中でも公差は5なので、両端の平均を使えます。第6項から第14項までを直接書くと29、34、39、44、49、54、59、64、69で、9個の合計は441です。区間の外の第1項から第5項までは加えません。

別の方法は、第14項までの和から第5項までの和を引く方法です。両方とも初項からの和なので、前半を消すと第6項が残ります。

S₁₄ = 14(4 + 69)/2
    = 511
a₅ = 4 + 4・5
   = 24
S₅ = 5(4 + 24)/2
   = 70
S₁₄ - S₅ = 511 - 70
           = 441

引くのがS₆だと第6項まで消えてしまいます。区間の始まりが第1項なら、前に引く項はありません。S₀を使う場合には別に0と定義する必要がありますが、ここではその定義を使わず、初項からの和を直接求めます。

発展例題：和から項数を逆算する

初項7、公差2の等差数列について、初項から第n項までの和が187となる自然数nを求めます。答えは項数を整数で示し、元の和を満たすことも確かめます。

第n項は7 + 2(n − 1) = 2n + 5です。和の式に条件を入れ、方程式を解きます。

Sₙ = n(7 + 2n + 5)/2
   = n(n + 6)
n(n + 6) = 187
n² + 6n - 187 = 0
(n - 11)(n + 17) = 0
n = 11 または n = -17

項数は自然数なので、-17は採用できません。n = 11のとき末項は2・11 + 5 = 27です。実際に11個の和は11(7 + 27)/2 = 187となり、指定された和に戻ります。答えは11項です。

方程式に実数解があっても、正の整数解がなければ条件を満たす項数はありません。たとえば同じ数列で和を188と指定した場合、S₁₁ = 187、次に足す項は29なのでS₁₂ = 216です。各項は正であり、その後も和は増えるため、188となる自然数の項数はありません。計算の途中で得た解の形と、数える対象の条件は別々に確かめます。

和の条件を方程式にした後は、候補を落としすぎないことも大切です。二次方程式に正の整数解が2つ現れる可能性を、一般に最初から排除することはできません。項が負から正へ変わる数列では、項を加えるにつれて和がいったん小さくなり、その後大きくなる場合があります。候補をすべて求め、それぞれが自然数であるか、元の和を満たすかを調べます。

一方、各項が正であることが条件から示せるなら、1項増やすたび和は増えます。発展例題で187と216の間を調べたときには、この性質を使いました。数項が増えているという観察だけで後も増えると決めず、一般の項が正かどうかまで確かめることが根拠になります。

誤答をほどいて端に戻す

基本例題の5から32までを足す際、「(32 − 5)/3 = 9だから9項」とすると、図3のように移動の9回を項の9個と取り違えています。この9回は5を出てから32へ着くまでの間の数です。出発点を含めると10項になります。

図3では最初と最後を含む点の数が、点の間の数より1多くなっています。修正後の項数10を和に入れ、末項32が第10項であることを代入して確かめます。和の計算だけをやり直すより、項数を決めた行へ戻ることが有効です。

もう1つの誤りは、第6項から第14項の和をS₁₄ − S₆とすることです。引く対象に第6項が含まれるので、求めたい最初の項まで消えます。S₁₄ − S₅に直し、残る最初と最後を書き出してください。負の公差のときも両端の平均は使えますが、末項が初項より小さいことに合わせて差の符号を保ちます。

初項からの和を求める問題でも、指定した末項が実際には現れない場合があります。たとえば初項1、公差4の数列で末項を10とすると、(10 − 1)/4は整数ではありません。1から4ずつ進んでも10には着かず、この条件の和は定まりません。近い項で勝手に止めず、指定された値が項かどうか確かめる必要があります。

公差が負で末項が初項より大きいときも、初項から先へ進んでその末項には着きません。公式に負の項数を代入して数値が出ても、それは求める有限個の項の和を意味しません。公差の符号と進む向きを図や数項の書き出しで確認してから、項数の式を使います。

練習：端と条件を確かめる5問

次の問題はそれぞれ独立しています。和と項数は整数で答え、条件を満たす項数がなければ「なし」と答えてください。

1. 初項2、公差4の等差数列の初項から第8項までの和を求めます。
2. 初項31、公差-3の等差数列の末項7までの項数と和を求めます。
3. 初項-2、公差3の等差数列の第5項から第12項までの和を求めます。
4. 初項3、公差2の等差数列の初項から第n項までの和が80となる自然数nを求めます。
5. 初項6、公差0の等差数列について、初項から何項かの和が50となる項数を求めます。

練習の解答と考え方

1

a₈ = 2 + 7・4
   = 30
S₈ = 8(2 + 30)/2
   = 128

答えは128です。2から4ずつ7回進むと30で、両端を含む8項の和は128です。項数8を移動回数に使わないようにします。

2

7 = 31 - 3(n - 1)
24 = 3(n - 1)
n - 1 = 8
n = 9
S₉ = 9(31 + 7)/2
   = 171

答えは9項、和171です。31から3ずつ8回引くと7になるため、末項も含めて9項あります。初項と末項の和38を9組作ると342で、その半分が171です。

3

a₅ = -2 + 4・3
   = 10
a₁₂ = -2 + 11・3
    = 31
項数 = 12 - 5 + 1
     = 8
求める和 = 8(10 + 31)/2
         = 164

答えは164です。対象の項は10から31まで3ずつ増える8個であり、直接加えても164です。第4項までを対象に含めないことも確かめます。

4

aₙ = 3 + 2(n - 1)
   = 2n + 1
Sₙ = n(3 + 2n + 1)/2
   = n(n + 2)
n² + 2n - 80 = 0
(n - 8)(n + 10) = 0
n = 8 または n = -10

自然数の条件から答えは8項です。第8項は17なので、8(3 + 17)/2 = 80と元の和に戻ります。-10は方程式の解ですが、項数にはできません。

5

Sₙ = 6n
6n = 50
n = 25/3

25/3は整数ではないため、答えはなしです。実際に8項なら48、9項なら54です。各項が6なので和は項を増やすごとに6増え、50を通りません。公差が0の場合は末項から項数を求める割り算をせず、同じ数を何個足すかを考えます。

手元に残す要点

• 初項a、末項l、項数nなら、和はn(a + l)/2です。
• 初項a、公差dなら、第n項はa + (n − 1)dです。
• 両端を含む項数は、項番号の差に1を足します。
• 和から求めた候補は自然数か確かめ、元の和に戻します。

つまずいた行を見つける

答えが合わないときは、まず足す範囲の最初と最後に印を付けます。次に、項番号の差を書いた行が移動回数を表しているのか、両端を含む項数を表しているのか確かめます。末項の式が合っていても、項数に1を足し忘れれば和は変わります。

個別指導で途中式を見るなら、公式に入れる前の「初めの項・終わりの項・個数」の3つを声に出して対応させます。逆算では、方程式の解を出した行と自然数を選ぶ行を分け、最後に選んだ項数から実際の末項と和を作ります。端まで数えることが、和の条件を正しく読む足場です。