高校数学I 二次関数の平行移動—点の移動と式の置き換えから横方向の符号を確かめる｜武蔵野個別指導塾

点の座標と式の置き換えを照らし、右へ動かすときに括弧内が引き算になる理由を点からたどる平行移動です。

復習中、放物線を右へ 3 動かす問題で、式の x にそのまま 3 を足したくなる場面があります。点の座標なら右へ 3 で横座標に 3 を足しますが、式に入れる文字は移動前の位置を表すため、同じ操作にはなりません。点を先に動かし、移動後の点が満たす式を作ると、符号を暗記に頼らずに選べます。

何を移す問題かを見分ける

平行移動では、図形上の各点を同じ方向へ同じ距離だけ動かします。放物線の形や開く向きは変わらず、点どうしの横と縦の距離も変わりません。ここでは二次係数が 0 でない二次関数を、座標平面上で横と縦に移す問題を扱います。もとの定義域は実数全体とし、範囲が指定される場合はその範囲も点と一緒に動かします。

出方には、式から移動後の式を求める型、ある点の移動先を求めて式に代入する型、移動後の点から移動前の点を逆にたどる型があります。後の型では移動を戻す順番が重要です。二つの放物線を重ねる移動量の決定は別の問題として、ここでは与えられた移動を実行することに集中します。

必要なのは、点の座標と関数の式の関係、および括弧を外す計算です。座標 (p, q) が y = f(x) 上にあるとは、q = f(p) が成り立つことです。式が合っているかは頂点だけでなく、もとの放物線上の別の点も動かして確かめられます。

点から式へ戻る道筋

二次関数 y = f(x) のグラフを、横に h、縦に k だけ平行移動します。h が正なら右、負なら左、k が正なら上、負なら下です。0 のときはその方向に動きません。もとの点を (u, v)、移動後の点を (x, y) とすると、対応は次の通りです。

x = u + h
 y = v + k
u = x - h
v = y - k

もとの点は v = f(u) を満たします。最後の 2 行を代入すれば y − k = f(x − h)、したがって移動後の式は y = f(x − h) + k です。右へ h 動かした点の横座標 x から h を引くと、もとの横座標 u に戻るためです。縦は移動前の値 f(x − h) に k を足します。図1のように点を追うと、座標の加算と式の中の減算が矛盾しないことを確認できます。

図1では右へ h、上へ k の場合を描いています。h や k が負でも同じ式が使え、例えば左へ 2 は h = -2 なので x − (-2) = x + 2 です。図の矢印の向きは正の場合の例であり、負の場合には逆になります。

この置き換えは二次関数が展開された形でも使えます。例えば f(x) = ax² + bx + c なら、移動後は a(x − h)² + b(x − h) + c + k です。ただし a ≠ 0 とします。x² の場所だけでなく、もとの式にある x のすべてを同じ x − h に置き換える必要があります。縦の移動量は括弧の中でなく、関数の値全体に加えます。

もう一つ、移動後の式から元の点を探す見方もあります。移動後の横座標を決めたとき、まず h を引いて元のグラフのどの場所を見るかを決めます。そこで得た高さに k を足すと、移動後の高さになります。例えば h = 2、k = -1 なら、移動後の x = 5 に対応する元の横座標は 3 です。元の高さが 7 なら移動後は 6 です。x に 2 を足して 7 の位置を探すと、違う点を使うことになります。

移動の前後で関数値を比較するときは、同じ横座標の高さを比べるのではなく、対応する点を比べることが肝心です。右へ動かせば、もとの x = 3 の点は移動後の x = 5 に現れます。横座標が同じ 3 の点は一般に別の点なので、その高さが 1 だけ下がるとは限りません。縦の差 k は、対応する 2 点の間について成り立ちます。

移動量が 0 のときも式を確かめましょう。横に動かさなければ h = 0 で f(x − 0) = f(x) です。縦だけを下げる場合は x を変えずに関数値から下げる量を引きます。こうした場合に式が元のグラフの動きと合うかを見れば、一般式の使い方を点検できます。

基本例題：点を動かして式を検証する

問題　y = x² − 2x を右へ 3、上へ 2 平行移動します。移動後の式を展開した形で求め、もとの点 (0, 0) の移動先がその式を満たすことを示してください。座標と係数は整数で答えます。

もとの式に現れる x を x − 3 に置き換え、最後に 2 を足します。平方の展開と同じく、一次の項にも置き換えを行います。

y = (x - 3)² - 2(x - 3) + 2
  = x² - 6x + 9 - 2x + 6 + 2
  = x² - 8x + 17

もとの点 (0, 0) は 0² − 2・0 = 0 なので確かに放物線上です。これを右へ 3、上へ 2 動かすと (3, 2) です。求めた式へ x = 3 を代入すると 3² − 8・3 + 17 = 2 となり、移動先を通ります。これは指定された移動を点の座標と式の両方で確認したことになります。

図2では、もとの頂点 (1, -1) と点 (0, 0) を、それぞれ (4, 1) と (3, 2) に移しています。頂点は x² − 2x = (x − 1)² − 1 から求められます。移動後の式も (x − 4)² + 1 と書けるので頂点が一致します。図2のように 2 点を同じ向き、同じ量だけ動かすと、形が保たれることも見やすくなります。

元の式に x + 3 を入れてしまうと、(0, 0) の移動先として (-3, 2) が現れます。点の移動先を使った確認は、横の符号を逆にした失敗を見つける手段です。ただし、1 点が偶然一致するだけでは一般に式全体の証明にはなりません。式は点の対応から導き、代入は計算の点検に使います。

標準例題：左と下を負の移動として扱う

問題　y = -2x² + 4x + 1 を左へ 2、下へ 3 平行移動します。移動後の式を展開した形で求め、もとの点 (1, 3) の移動先を整数の座標で示してください。

左へ 2 は h = -2、下へ 3 は k = -3 です。よって x − h = x + 2 をもとの式の x に代入し、値から 3 を引きます。

y = -2(x + 2)² + 4(x + 2) + 1 - 3
  = -2(x² + 4x + 4) + 4x + 8 - 2
  = -2x² - 8x - 8 + 4x + 8 - 2
  = -2x² - 4x - 2

もとの点は -2・1² + 4・1 + 1 = 3 を満たします。点を左へ 2、下へ 3 動かすと (-1, 0) です。移動後の式に -1 を入れると -2・(-1)² − 4・(-1) − 2 = 0 となり、確かに移動先を通ります。二次係数は -2 のままなので、下に開く形も変わっていません。

発展例題：定義域も点とともに移す

問題　-1 ≦ x ≦ 2 の範囲にある y = x² + 2x + 3 の部分を右へ 4、下へ 1 平行移動します。移動後の式と定義域を整数を用いて示し、両端の移動先を座標で確かめてください。

放物線全体を移す基本例題との違いは、移す点が区間内に限られていることです。式を作る操作に加えて、横座標の範囲を動かします。移動前の横座標を u、移動後を x とすれば x = u + 4 です。

-1 ≦ u ≦ 2
3 ≦ u + 4 ≦ 6
3 ≦ x ≦ 6

式は x を x − 4 に置き換えてから 1 を引きます。

y = (x - 4)² + 2(x - 4) + 3 - 1
  = x² - 8x + 16 + 2x - 8 + 2
  = x² - 6x + 10

もとの左端は u = -1 で、縦座標は 1 − 2 + 3 = 2 です。右端は u = 2 で、縦座標は 4 + 4 + 3 = 11 です。移動先はそれぞれ (3, 1)、(6, 10) です。新しい式でも x = 3 なら 9 − 18 + 10 = 1、x = 6 なら 36 − 36 + 10 = 10 です。両端を含む記号も保たれています。

逆に、式だけ正しく求めて定義域を -1 ≦ x ≦ 2 のままにすると、求める部分とは別の場所を切り取ります。端点の移動先を先に書くと、この失敗を防げます。端を含まない範囲なら、移動後も対応する端を含みません。

符号を誤った式を点で直す

y = x² を右へ 2 動かすとき、誤って y = (x + 2)² と書いたとします。原因は、移動後の横座標に足す 2 を、もとの横座標を求める式にもそのまま足したことです。もとの点 (0, 0) は右へ 2 動いて (2, 0) になるはずですが、誤った式に x = 2 を入れると y = 16 です。指定された点を通りません。

図3のように、誤った式の頂点は (-2, 0) で、左へ動いています。正しくは移動後の x から 2 を戻し、y = (x − 2)² です。この式に x = 2 を入れると y = 0 となり、移動先を通ります。頂点以外の (1, 1) も (3, 1) に移り、正しい式を満たします。

また、y = x² − 2x を右へ 3 移すときに y = (x − 3)² − 2x とする誤りもあります。二乗の部分だけを書き換え、一次の x を残したためです。もとの点 (0, 0) の移動先 (3, 0) を代入すると右辺は -6 となります。両方の x を置き換えれば (x − 3)² − 2(x − 3) となり、(3, 0) を通ります。

縦の移動でも同様に、下へ 3 を式の中の x − 3 に変えてはいけません。下へ動かすと横座標は変わらず、各点の縦座標が 3 減ります。どの座標が変わるかを書き出してから式に進むと、横と縦の操作を区別できます。

練習問題

次の 5 問では、指定がない限り定義域を実数全体とします。式の係数と座標は整数または分数で答え、移動した点を式に戻して確かめてください。

1. y = x² + 4x + 1 を右へ 1、上へ 3 動かした式を展開し、点 (0, 1) の移動先を求めてください。
2. y = 3x² − 6x + 2 を左へ 2、下へ 4 動かした式を展開し、点 (1, -1) の移動先を求めてください。
3. y = (1/2)x² − 2 を右へ 4、下へ 1 動かした式を展開し、点 (2, 0) の移動先を求めてください。
4. -2 ≦ x ≦ 1 の部分 y = -x² + 2 を左へ 3、上へ 2 動かした式と定義域を求め、両端の移動先を求めてください。
5. y = x² + 2x − 1 を右へ 2、上へ 5 動かした放物線上の点 (5, 19) に対応する移動前の点を求め、元の式に戻してください。

練習の答えと道筋

1. x を x − 1 に置き換え、3 を加えます。

y = (x - 1)² + 4(x - 1) + 1 + 3
  = x² + 2x + 1

(0, 1) は (1, 4) に移ります。元の式で x = 0 の値は 1、移動後の式で x = 1 の値は 4 です。右へ 1、上へ 3 の両方を満たします。

2. 左と下はそれぞれ h = -2、k = -4 とします。

y = 3(x + 2)² - 6(x + 2) + 2 - 4
  = 3x² + 6x - 2

(1, -1) は (-1, -5) に移ります。元の式に 1 を入れると -1、新しい式に -1 を入れると 3 − 6 − 2 = -5 です。

3. 分数の係数をそのまま残して展開します。

y = (1/2)(x - 4)² - 2 - 1
  = (1/2)x² - 4x + 5

(2, 0) は (6, -1) に移ります。元の式では (1/2)・2² − 2 = 0、新しい式では (1/2)・6² − 4・6 + 5 = -1 です。分数を小数に直さなくても一致を確かめられます。

4. 左へ 3 動かすので範囲の両端から 3 を引きます。式には x + 3 を代入し、2 を加えます。

-5 ≦ x ≦ -2
y = -(x + 3)² + 2 + 2
  = -x² - 6x - 5

もとの両端は (-2, -2)、(1, 1) です。移動先は (-5, 0)、(-2, 3) です。新しい式ではそれぞれ -25 + 30 − 5 = 0、-4 + 12 − 5 = 3 となります。両端の x は新しい範囲の端に一致します。

5. 移動を逆にたどり、横座標から 2、縦座標から 5 を引くと (3, 14) です。元の式で 3² + 2・3 − 1 = 14 となります。さらに移動後の式は (x − 2)² + 2(x − 2) − 1 + 5 で、x = 5 のとき 9 + 6 − 1 + 5 = 19 です。逆に求めた点と指定点の両方が条件に戻ります。

覚えておくこと

横に h、縦に k 動かした点は (u, v) から (u + h, v + k) へ移ります。
移動後の式は y = f(x − h) + k です。
式中の x はすべて置き換え、定義域があればその端も移します。
点を移動させて代入し、符号と計算を確かめます。

どこで止まったかを見つける

式の符号だけが逆なら、まず元の点と移動先の座標を並べ、移動後の x から移動前の横座標を言葉で戻してみます。点の移動先から違う場合は、右と左、上と下のどちらが座標の増加に当たるかを座標平面で確認します。展開後だけ合わない場合は、置き換え直後の式と分配した各項を見比べます。

個別指導で確かめるなら、もとの点を 1 点選び、移動先、置き換え直後の式、代入結果の順に本人の説明を聞きます。定義域があるときは端点も同じ矢印で移せるかを見ます。移動後の座標から元へ戻る道が見えれば、横方向の符号には理由が残ります。