高校数学I 二次関数の開き方—係数の符号と大きさを座標表から読み取って幅を比べる｜武蔵野個別指導塾

正負の係数を同じxと同じ高さで比べ、座標表から放物線の開き方を見極める目を養います。

よくあるのは、高1の本人が復習中に「係数が負のほうが細い」と考える場面です。たしかに、ある2本のグラフを見てそう見えることはあります。しかし、負号は開く向きを決め、幅は係数の絶対値に関係します。符号と大きさを一度に判断せず、同じ座標を使って一つずつ比べてみましょう。

どんな問いで比べ方を選ぶか

出方は大きく3種類あります。式から開く向きと幅の順序を決める問い、座標表や点から係数を求める問い、幅の条件から文字の範囲を求める問いです。最後の型では、符号による場合分けと境界の等号が必要です。

使う式は y = ax² で、a は 0 でない実数です。x の範囲は特に指定がなければ実数全体です。a = 0 では y = 0 となり、ここで比べる二次関数の放物線ではありません。係数を文字で求めたときは、この除外を最後に戻して確かめます。

既習事項として、負の数を2乗すると正になること、絶対値は数直線上で0からの距離を表すこと、正の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わらないことを使います。たとえば |-5| = 5、|2| = 2 です。数の大小では -5 < 2 ですが、絶対値は逆の順序です。

向きと幅を別々に読む

x と y の関係 y = ax² のグラフは、原点を頂点とし、y軸を対称の軸とする放物線です。x と -x の2乗が等しいため、同じ高さの左右の点は y軸から同じ距離にあります。a > 0 のとき原点から上へ、a < 0 のとき原点から下へ開きます。

図1のように、まず符号で上向きと下向きを分けます。幅については、正負を取り除いた絶対値 |a| を比べます。|a| が大きいほど、同じ高さに達するまでの横の距離は小さくなり、放物線は細くなります。

図1では上向きも下向きも、それぞれ絶対値 2 の曲線が絶対値 1 の曲線より細く描かれています。上下の向きが異なる曲線でも、原点からの高さの差の絶対値をそろえれば幅を比べられます。座標の縦横は同じ縮尺です。

この規則を式で確かめます。0 でない同じ x に対して、原点からの縦の距離は |y| = |a|x² です。x² > 0 なので、|a| が大きいほうが縦の距離も大きくなります。ただし、これは同じ x での高さの比較であって、そのまま横幅を測ったわけではありません。

横幅に結びつけるには、原点からの縦の距離を同じ正の数 h にそろえます。|a|x² = h より x² = h/|a| です。したがって左右の点の原点からの横の距離は √(h/|a|) で、2点の間の幅はその2倍です。|a| が大きいと h/|a| は小さく、正の平方根も小さくなるので幅が狭くなります。h = 0 ではどちらも原点に集まり、幅の違いは表れません。

逆に、同じ正の高さで同じ幅なら横の距離が等しく、h/|a| も等しいので絶対値は等しくなります。向きも同じなら係数は一致し、向きが反対なら符号だけが反対です。図を目で比べるときも、縦と横の縮尺が両方の図で同じか確かめる必要があります。異なる縮尺の絵を見ただけでは、見かけの幅から係数を判定できません。

基本例題：表から細さを確かめる

次の3つの関数について、開く向きと幅の広い順を求めてください。幅は原点から同じ正の縦の距離で測ります。また x = -2, -1, 0, 1, 2 の座標表を整数または既約分数で作ってください。

A: y = (1/2)x²、B: y = 2x²、C: y = -x²

A と B は係数が正なので上向き、C は負なので下向きです。各 x の2乗は順に 4, 1, 0, 1, 4 です。係数を掛けると次のようになります。

表の 1/2 は正確な分数です。小数に直して丸めず、指定された形で値を残します。

図2のように x = 2 で比べると、縦の距離は A が 2、B が 8、C が 4 です。いずれも同じ x² = 4 に、それぞれの絶対値を掛けた結果です。この縦の距離の順序から、同じ正の縦の距離で測る幅の順序は逆になります。

実際に原点から縦に 2 離れた高さで確かめます。A は y = 2、B も y = 2、C は y = -2 と置きます。

A: 2 = (1/2)x²
x² = 4
x = -2, 2
B: 2 = 2x²
x² = 1
x = -1, 1
C: -2 = -x²
x² = 2
x = -√2, √2

幅は A が 4、B が 2、C が 2√2 です。1 < √2 < 2 は各辺が正で、2乗すると 1 < 2 < 4 となることから確かめられます。よって広い順は A、C、B です。得られた点を元の式へ戻すと、A は (1/2)・4 = 2、B は 2・1 = 2、C は -(√2)² = -2 となり、指定の縦の距離に達します。

表に戻ると、x = -1 と x = 1 で同じ値です。x = 0 は3本とも原点なので、そこで幅の差を判断することはできません。また、図2は x = 2 における縦の距離の比較であり、図中の縦の線そのものが横幅ではありません。横幅の結論は、同じ縦の距離を取る計算で確かめています。

標準例題：点から係数を取り戻す

関数 y = ax² のグラフが点 (-3, -6) を通ります。a を既約分数で求め、y = (3/2)x² と比べて向きと幅を答えてください。幅は原点から同じ正の縦の距離で測ります。

点の x と y を同じ式に代入します。x = -3 の2乗は -9 ではなく 9 です。

-6 = a・(-3)²
-6 = 9a
a = -6/9
a = -2/3

a は 0 でないので、求めた式は二次関数です。元の点に戻すと (-2/3)・(-3)² = (-2/3)・9 = -6 で、確かに指定の点を通ります。求めたグラフは下向き、比較するグラフは上向きです。

幅は |-2/3| = 2/3 と |3/2| = 3/2 で比べます。共通の分母を使えば 2/3 = 4/6、3/2 = 9/6 なので 2/3 < 3/2 です。したがって求めたグラフのほうが広く開きます。負の係数だから細いと決めると、この例では結論が逆になります。

同じ縦の距離を 6 として点を戻すこともできます。求めた式では -6 = (-2/3)x² から x² = 9、x = -3, 3 です。もう一方は 6 = (3/2)x² から x² = 4、x = -2, 2 です。幅はそれぞれ 6 と 4 で、絶対値の比較と一致します。下向きのグラフに y = 6 を代入して比較しないことにも注意してください。

発展例題：文字の境界まで調べる

関数 y = (t − 1)x² が、y = -4x² より広く開くとします。2つの幅は原点から同じ正の縦の距離で測ります。前者が二次関数であることも条件として、実数 t の範囲を不等号で求めてください。

広く開く条件は係数の絶対値が相手より小さいことです。さらに t − 1 = 0 では二次関数でないので除きます。したがって求める条件は次の2つです。

|t - 1| < 4
t - 1 ≠ 0

絶対値が 4 より小さいということは、t − 1 が -4 と 4 の間にあることです。両辺に 1 を加えます。

-4 < t - 1 < 4
-3 < t < 5

ここから t = 1 を除き、答えは -3 < t < 1 または 1 < t < 5 です。t = -3 と t = 5 では絶対値が 4 で幅が等しいため、「広い」に含めません。t = 1 は幅が広い曲線として採用するのではなく、二次係数が 0 になった時点で除きます。

境界とその両側を調べると、t = -4 では絶対値 5、t = -3 では 4、t = -2 では 3 です。t = 0 と 2 ではそれぞれ絶対値 1 で、t = 1 では 0 です。さらに t = 4 では 3、t = 5 では 4、t = 6 では 5 です。条件を満たす範囲と境界の扱いが計算と合います。これらの確認は解の導出そのものではなく、導いた範囲の点検です。

標準例題では点を代入して係数を一つ決めました。発展例題では係数が変わり、絶対値の条件を満たす範囲を求めます。境界で幅が等しくなる場合と、係数が 0 になり対象から外れる場合は理由が異なるので、同じ印で消さず別々に書きます。

誤答を座標へ戻す

「-3 < -1 だから y = -3x² は y = -x² より広い」という答えを考えます。係数の数としての大小は正しいものの、幅に必要な絶対値の比較にはなっていません。図3のように x = 1 での値を比べると、前者は -3、後者は -1 で、原点からの縦の距離は前者が大きくなります。

同じ縦の距離 3 での幅も計算します。前者は -3 = -3x² から x = -1, 1 で幅 2、後者は -3 = -x² から x = -√3, √3 で幅 2√3 です。したがって前者が細く、誤答の結論は反対です。

誤りの原因は、符号が向きを決める役割と、絶対値が幅を決める役割を混ぜたことです。直すときは、係数の下に絶対値を別に書きます。|-3| = 3、|-1| = 1 としてから 3 > 1 を比べれば、前者が細いと判定できます。原点への代入だけでは両方 0 となるため、誤りの発見には使えません。

自分で試す5問

各問では x は実数、幅は原点から同じ正の縦の距離で測ります。数値は整数または既約分数、根号を使って正確に表してください。

1. y = 3x² と y = (1/4)x² の開く向きと幅の広い順を求め、x = 2 のときの y をそれぞれ求めてください。
2. y = bx² が点 (4, 10) を通るとき、b を求め、y = -2x² と幅を比べてください。
3. y = -5x² と y = -2x² について、原点からの縦の距離が 10 の左右の点と幅を求めてください。
4. y = cx² が y = 7x² と同じ幅で反対向きに開くとき、c を求めてください。
5. y = (s + 2)x² が二次関数であり、y = (1/3)x² より細く開くとき、実数 s の範囲を不等号で求めてください。

解答と考え方

1. 両方とも正の係数なので上向きです。絶対値は 3 > 1/4 ですから、広い順は y = (1/4)x²、y = 3x² です。x = 2 を代入すると前者は (1/4)・4 = 1、後者は 3・4 = 12 です。同じ x で縦の距離が小さい前者が広いという判定とも合います。

2. 10 = b・4² = 16b より b = 10/16 = 5/8 です。代入すると (5/8)・16 = 10 で指定の点を通り、b ≠ 0 も満たします。5/8 < 2 なので、求めたグラフは y = -2x² より広く、向きはそれぞれ上向きと下向きです。

3. どちらも下向きなので y = -10 を使います。-10 = -5x² から x² = 2、x = -√2, √2 で幅は 2√2 です。-10 = -2x² から x² = 5、x = -√5, √5 で幅は 2√5 です。各根号を2乗して元の式に戻すと、前者は -5・2 = -10、後者は -2・5 = -10 です。前者の絶対値が大きく、幅が狭いことも一致します。

4. 同じ幅なので |c| = 7 です。相手は上向きで反対向きという条件から c < 0 です。よって c = -7 です。たとえば x = 1 で2つの値は -7 と 7 となり、縦の距離が等しく向きが反対であることを確認できます。

5. 細い条件は |s + 2| > 1/3 です。絶対値の定義から s + 2 < -1/3 または s + 2 > 1/3 です。2 を引くと s < -7/3 または s > -5/3 です。等号では幅が等しく、条件に入りません。求めた範囲では係数は 0 になりません。境界の外側の s = -3 と s = -1 では絶対値がともに 1、間の s = -2 では係数が 0 です。境界とその内側・外側を不等号で照らしても結論が合います。

手元に残すこと

• まず a ≠ 0 と定義域を確かめます。
• 符号は上下の向き、|a| は幅を決めます。
• 同じ x ≠ 0 の縦の距離が大きいほど、同じ正の縦の距離での幅は狭くなります。
• 幅が等しい条件、係数が 0 の条件、等号の可否を分けて調べます。

つまずいた場所を見分ける

係数が負のときだけ答えが逆になるなら、数の大小と絶対値の大小を別の行に書いてみます。x が負の点から係数を出すところで符号を誤るなら、代入後の (-3)² のように括弧を残し、2乗を先に計算します。図だけで迷う場合は、同じ x での2つの値を表にして、原点からの縦の距離を比べます。

個別指導で確かめるなら、まず本人に「どの2つの量をそろえたか」を図に印で示してもらいます。次に絶対値の比較から幅へ移る理由を、同じ正の縦の距離 h を使って説明できるかを見ます。最後に、係数が 0 の場合と幅が等しい場合を問題の条件へ戻します。式と図の対応を言葉にすると、開き方の判断を別の数でも再現できます。