高校数学II 剰余定理と因数定理—代入した値から余りと因数になる条件を求める｜武蔵野個別指導塾

一次式を零にする数から余りを求め、指定された余りによる定数決定と因数の判定を練習できます。

よくあるのは、高校生が割る式の一次の係数を見落とし、定数項の符号だけを変えて代入値を決める場面です。例えば 2x − 1 を見て 1 を代入すると、割る式は零になりません。まず 2x − 1 = 0 を解く一行が、余りを求める計算の出発点です。ここでは一次式で割った余りと、それを使った因数の判定を扱います。高次方程式の解を求めることには広げません。

要点（結論から）

• 除式を零にする値を、方程式を解いて求めます。
• 一次式で割った余りは、その値を元の整式に代入した値です。
• 除式 x − a が因数となる必要十分条件は、整式に a を代入した結果 P(a) が0になることです。

どんな条件を式にするか

定期テストでは、整式を一次式で割った余りを直接求める型があります。筆算を最後まで進めなくても、割る式を零にする値を代入すれば余りが出ます。除式が x − a の形とは限らないので、代入する前に一次方程式を書くと選び間違いを防げます。

次に、余りが指定されたとき、整式に含まれる文字定数を決める型があります。代入した値が指定された余りに等しいという式を立て、定数について解きます。条件が2つなら、それぞれから式を作って連立します。文字定数を求めた後も、元の2つの余りに戻るかを確かめます。

もう1つは、ある一次式が因数になる条件や、整式の因数を見つける型です。因数になることは余りが零であることと対応します。候補を試して零になったら、割り算の等式に戻して因数である理由を示します。計算した値が零でない場合は、その候補は因数ではありません。

余りに残るものを見る

整式 P(x) を x − a で割った商を Q(x)、余りを r とすると、割り算の関係は次のように表せます。

P(x) = (x − a)Q(x) + r

一次式で割るので、余りの次数は1より小さく、余りは定数です。余りが零の場合も含めます。この等式は x の値によらず成り立ちますから、x = a を代入すると、右辺の積の部分が零になり、P(a) = r です。これが剰余定理です。商の形を知らなくても余りを求められるのは、代入によって商を含む項が消えるためです。

図1のように、割る式を零にする値を先に求めてから、その値を割られる式へ入れます。除式が 3x + 6 なら、3x + 6 = 0 から x = -2 です。3x + 6 = 3(x + 2) と見ても同じ値です。係数3を無視して -6 を入れるのではありません。

図1の矢印は、割る式の定数項をそのまま移す操作ではなく、方程式を解く手順を表します。一般に ax + b で割る場合、a が零でなければ、零にする値は -b/a です。このときも余りは定数で、P(x) = (ax + b)Q(x) + r にその値を入れると r = P(-b/a) となります。

余り r が零なら P(x) = (x − a)Q(x) となるため、x − a は P(x) の因数です。逆に x − a が因数なら、P(x) = (x − a)Q(x) と書けるので P(a) = 0 です。この両方向が因数定理です。ax + b についても a が零でなければ、零にする値を代入した結果が零であることと、ax + b が因数であることは同値です。零になったという計算だけで止めず、割り算の等式と結びつけて説明します。

分数を代入して余りを求める

例題1　P(x) = 2x³ − 3x² + 4x + 1 を 2x − 1 で割った余りを、分数または整数で求めてください。

最初に除式を零にします。

2x − 1 = 0
2x = 1
x = 1/2

したがって剰余定理から、求める余りは P(1/2) です。各項に括弧を付けて代入します。

P(1/2) = 2(1/2)³ − 3(1/2)² + 4(1/2) + 1
= 2 × 1/8 − 3 × 1/4 + 2 + 1
= 1/4 − 3/4 + 3
= -1/2 + 3
= 5/2

答えは 5/2 です。図2のように、1/2 をそれぞれの項に入れてから累乗を計算します。2x³ の2は、代入値を3乗した後に掛けます。分数を含む計算では、累乗の範囲と分母をそろえる順番を区別すると途中の符号を追えます。

図2の結果を割り算の関係に戻して確かめます。実際に商は x² − x + 3/2 なので、

P(x) = (2x − 1)(x² − x + 3/2) + 5/2

です。右辺を展開すると、2x³ − 3x² + 4x − 3/2 + 5/2 となり、元の P(x) に戻ります。余りは定数なので次数の条件も満たしています。この確認は計算結果が元の割り算を表すことを示します。余りを代入で得られる理由そのものは、先ほどの一般の等式で説明しています。

余りが分数になっても、除式の係数でさらに割る必要はありません。P(1/2) がそのまま定数の余りです。商の係数には除式の係数が影響しますが、余りは除式が零になる点での P の値として決まります。

2つの余りから定数を決める

例題2　P(x) = x³ + ax + b は、x − 1 で割ると余りが 4、x + 2 で割ると余りが -5 です。定数 a、b を整数で求め、得られた P(x) が x + 1 を因数に持つか判定してください。

x − 1 を零にする値は 1 です。余りが 4 という条件は P(1) = 4 と書けるので、

1 + a + b = 4
a + b = 3

です。次に x + 2 を零にする値は -2 です。余りが -5 という条件から、

-8 − 2a + b = -5
-2a + b = 3

を得ます。2本の式の差を取ると 3a = 0 ですから a = 0、これを a + b = 3 に戻して b = 3 です。よって P(x) = x³ + 3 です。

求めた定数を元の条件へ戻すと、P(1) = 1 + 3 = 4、P(-2) = -8 + 3 = -5 です。指定された2つの余りと一致します。連立方程式の解が条件を満たすことを、代入値と余りの両方で確認できました。

最後に因数を判定します。x + 1 を零にする値は -1 ですから、P(-1) = -1 + 3 = 2 です。零ではないので x + 1 は因数ではありません。ここでの分かれ目は、余りが与えられた条件ではその値に等しい式を作り、因数かどうかの条件では零かどうかを見ることです。余りが非零なら、その候補について割り算を続けても因数にはなりません。

誤った代入を戻して直す

例えば例題1で「2x − 1 だから x = 1 を代入し、余りは P(1) = 4」とする答えは誤りです。計算 P(1) = 2 − 3 + 4 + 1 = 4 自体は正しくても、2 × 1 − 1 = 1 であり、除式が零になっていません。したがって P(1) は求める余りだとは言えません。

図3のように、代入値の候補を除式へ戻して零になるかを先に調べます。1 は不適切で、1/2 なら 2 × 1/2 − 1 = 0 です。正しい値を P に入れ直すと、例題1の余り 5/2 に戻ります。除式に入れる確認と、元の整式に入れて余りを計算する作業は役割が異なります。

別の誤りは、P(a) = 0 を見つけたのに x + a を因数とすることです。例えば P(-2) = 0 なら、零になる式は x + 2 です。x − (-2) と書いてから符号を整理すると対応が見えます。図3の確認は符号の間違いにも使えます。候補の因数に代入値を入れ、零にならなければ組み合わせが違います。

余りの条件を読み違えないために

割り算の等式では、余りは割られる式の一部分を見て決めるものではありません。定数項が余りになるのは x で割るときのように、代入値が零で、零を含む項が消える場合です。例えば一般の整式 P(x) を x − a で割るなら、定数項に加えて、a の各累乗を含む項も余りに影響します。定数項を抜き出す前に、何を零にするのかを確認します。

また、除式を定数倍しても零にする値は変わりません。x + 2 と 3x + 6 のどちらで割っても、同じ P(x) なら余りは P(-2) です。ただし商まで同じではありません。3倍した除式に対しては、割り算の積を同じに保つよう商が変わります。余りと商を一緒に扱わず、求められたものがどちらかを読み取ります。

因数を探すときに候補が思いつかない場合は、小さな整数を順に代入して調べる方法があります。ただし、いくつかの整数で零にならなかったことから、因数が存在しないと結論することはできません。分数を代入したときに零になる場合もあります。候補を試すことは発見の手段であり、見つけた候補の因数性は因数定理で根拠を示します。

定数を含む問題では、求める前に定数を勝手に固定しないことも大切です。P(a) を計算するとき、x にだけ指定値を入れ、未知の係数は文字のまま残します。その後、余りの条件を使って文字についての方程式を解きます。複数の条件を使う場合、それぞれがどの除式に対応するかを書いておくと、正負の異なる代入値を混ぜずに済みます。

商を使って確認するときにも、単に代入点で一致するだけでは不十分です。1点で値が等しい異なる整式はいくつもあります。除式と商を掛け、余りを加えた式を展開して、各次数の係数が元の整式と一致することまで見ます。一方、余りを求める根拠としては、一般の割り算の等式に除式を零にする値を入れるだけで十分です。証明と計算の検算は、それぞれの役割を分けて考えます。

余りが零になった後、商を求めれば因数分解の形を具体的に書けます。商の次数は元の整式より1低くなりますが、その商がさらに因数分解できるかは別に調べます。零でない余りが出た場合は、指定された一次式を因数として積の形にはできません。判定の答えに余りの値を添えれば、結論までの道筋を読み返せます。

手を動かす問題

次の問題は先にまとめて解き、その後で答えを確認してください。余りと定数は整数または分数で答え、因数の判定には理由を添えます。

1. P(x) = x³ − 2x² + 5x − 4 を x − 3 で割った余りを求めてください。
2. P(x) = 4x² + 2x − 3 を 2x + 1 で割った余りを求めてください。
3. P(x) = x³ + cx² − 2x + 1 が x − 2 を因数に持つとき、定数 c を求めてください。
4. P(x) = x³ − 4x² + x + 6 について、x + 1 が因数かを判定し、因数なら残りの因数も整数係数の式で求めてください。

答えと道筋

1. x − 3 = 0 より x = 3 です。P(3) = 27 − 18 + 15 − 4 = 20 なので余りは 20 です。実際に P(x) = (x − 3)(x² + x + 8) + 20 と展開して元の式へ戻せます。

2. 2x + 1 = 0 より x = -1/2 です。P(-1/2) = 4 × 1/4 + 2 × (-1/2) − 3 = 1 − 1 − 3 = -3 です。余りは -3 です。P(x) = (2x + 1)(2x) − 3 となり、除式と商の積に余りを加えると問題の整式になります。

3. x − 2 が因数である条件は P(2) = 0 です。8 + 4c − 4 + 1 = 0、すなわち 4c + 5 = 0 から c = -5/4 です。戻して P(2) = 8 − 5 − 4 + 1 = 0 となり、与えられた因数の条件を満たします。実際に P(x) = (x − 2)(x² + 3x/4 − 1/2) と表せます。

4. x + 1 を零にする値は -1 です。P(-1) = -1 − 4 − 1 + 6 = 0 なので、因数定理から x + 1 は因数です。割ると商は x² − 5x + 6 で、これは (x − 2)(x − 3) と因数分解できます。したがって P(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3) です。後ろの2因数を先に掛けると x² − 5x + 6、さらに x + 1 を掛けると元の整式に戻ります。

練習の1と2は、余りが零でなくても定理を使える例です。3は因数という言葉を余り零に変換し、定数を決める例です。4では零を確かめた後に商を求めて積に戻しました。どの問題でも、最後の確認は与えられた除式や整式に戻して行います。

要点を短く

• 除式を零にする値を、方程式を解いて求めます。
• 一次式で割った余りは、その値を元の整式に代入した値です。
• 除式 x − a が因数となる必要十分条件は、整式に a を代入した結果 P(a) が0になることです。
• 求めた定数や因数は、元の条件と割り算の等式に戻します。

途中のどこで止まるかを見分ける

自分の答案を見返すときは、答えの数値より先に、除式を零にする式が書けているかを見ます。そこが空欄なら、2x + 1 = 0 のような一次方程式からやり直します。代入値は正しいのに結果が違うなら、負の数の累乗や分数の通分を1項ずつ確認します。

個別指導で確かめるなら、まず「なぜその値を入れると商の項が消えるか」を割り算の等式で説明できるかを見ます。続いて、余りが零という条件から因数を取り出し、逆向きにも説明できるかを確かめます。答えが合わなかった場合は、候補を除式に戻す段階と、元の整式へ代入する段階を分けて言葉にします。式のどこが零になるのかが見えれば、代入値の選択にも理由が残ります。