高校数学II 高次方程式—因数分解と置き換えで複素数の範囲の解をそろえる｜武蔵野個別指導塾

積が零になる各因数の解を集め、複二次式の置き換えを戻して、複素数解と重解の漏れを防ぎます。

よくあるのは、高校生が積の形に直したところで一方の因数だけを零とおき、残りの因数を調べずに答案を閉じる場面です。途中の因数分解が合っていても、解の一覧は完成していません。実数では解けない二次式が残ったときも、複素数の範囲ではさらに調べられます。どの枝からどの解が出たかを追い、最後に元の方程式に戻す練習をしましょう。

要点（結論から）

• 積が零なら各因数を零とし、枝ごとの解を合わせます。
• x²を置き換えたら、求めた値をxの方程式へ戻します。
• 複素数の範囲では負の数の平方根も調べます。

テストで見たい3つの道筋

高次方程式は、整理したときに未知数の最高次数が3以上になる方程式です。ここでは三次と四次の簡単な式を、因数分解や置き換えで二次以下に帰着させます。一般の高次方程式を解く公式は扱いません。まず右辺を零にして、共通因数や積の形を探すことが出発点です。

1つ目の型は、三次式を一次式と二次式に分けて解く問題です。代入して零になる数が見つかれば、それに対応する一次式が因数になります。割り算で残りを求め、両方の因数を零とおきます。二次式がさらに分かれるか、複素数の解を持つかまで確かめます。

2つ目は、四次式に奇数次の項がない問題です。x²を別の文字に置くと二次方程式になります。ただし、その文字の値はxそのものの値ではありません。置き換えを戻し、二乗が負になる場合も複素数の範囲で解きます。

3つ目は、実数係数の方程式で複素数の解が与えられ、残りを求める問題です。共役な数も解になることを使うと、実数係数の二次因数を作れます。重解がある場合は、異なる値の個数と因数の重なりを区別して書きます。どの型でも、解の範囲を問題文で確認することから始めます。

零になる枝と解の重なり

積ABが零なら、AまたはBの少なくとも一方が零です。これはAが零でない場合、AB = 0の両辺をAで割ってB = 0とできるからです。逆に、どちらかが零なら積も零です。したがって、積の方程式は各因数を零とする方程式に分けてよく、各枝から得られた値を合わせます。

図1のように、一次因数と二次因数の両方へ進みます。枝分かれは連立ではなく「または」です。両方を同時に満たす値を探すのではなく、それぞれの解を集める点に注意してください。

図1の二次因数は実数の範囲では零になりません。しかし虚数単位iをi² = -1と定めると、x² + 1 = 0はx = i, -iを持ちます。解の範囲が複素数なら、この枝を「解なし」として捨てることはできません。逆に、問題が実数解を求める場合は、最後に実数だけを選びます。

同じ一次因数が2回現れるとき、その因数に対応する解を重解と呼びます。例えば(x − 1)²(x + 2) = 0では、1は2回現れる因数に対応する重解で、-2は別の解です。異なる解の値は2種類ですが、因数の回数を含めると1は2回数えます。重解を2種類の異なる数として書くわけではありません。

実数係数の整式では、複素数a + biを代入して零になると、その共役な数a − biも解です。実数係数は共役を取っても変わらず、和と積の共役はそれぞれ共役の和と積になるため、代入結果の零も共役を取ると零のままです。aとbが実数でbが零でないとき、2つの一次因数の積は(x − a − bi)(x − a + bi) = (x − a)² + b²となり、実数係数に戻ります。共役な解の性質を使う前に、係数が実数であることを確認しましょう。

基本例題：三次式を2つの枝に分ける

問題　方程式 x³ − 2x² + x − 2 = 0 を複素数の範囲で解き、解を正確な形で書きなさい。

まず4項を前半と後半に分け、それぞれ共通因数を取り出します。

x³ − 2x² + x − 2 = 0
x²(x − 2) + (x − 2) = 0
(x − 2)(x² + 1) = 0

2行目では、後半のx − 2にも1という係数があると見ています。共通する括弧をくくると、図2のように2つの因数が現れます。展開し直せば、x³ − 2x² + x − 2に戻るため、因数分解の符号を確認できます。

図2の各枝を順に解きます。まずx − 2 = 0からx = 2です。もう一方は次のようになります。

x² + 1 = 0
x² = -1
x² − i² = 0
(x − i)(x + i) = 0

よってx = iまたはx = -iです。答えは x = 2, i, -i です。平方すると-1になる数を正の虚数単位だけにせず、負の虚数単位も含めます。二次因数の判別式が負であることは実数解がないという意味であり、複素数解がないという意味ではありません。

元の式へ戻しても確かめます。x = 2では8 − 8 + 2 − 2 = 0です。x = iではi³ = -iなので、-i + 2 + i − 2 = 0です。x = -iでも同様に零になります。各値が解である確認に加え、上の因数分解と各枝の解き切りによって、ほかに解が残らないことも示せています。代入だけでは、求め忘れた解がないことまでは示せません。

少し難しい例題：置き換えを戻す

問題　方程式 x⁴ − 2x² − 8 = 0 を複素数の範囲で解き、解を正確な形で書きなさい。

x⁴は(x²)²なので、t = x²とおきます。すると元の方程式は次の二次方程式です。

t² − 2t − 8 = 0
(t − 4)(t + 2) = 0
t = 4 または t = -2

ここでtはx²を表します。したがって、元に戻すとx² = 4またはx² = -2です。前者からx = 2, -2、後者からx = √2 i, -√2 iを得ます。答えは x = 2, -2, √2 i, -√2 i です。

実数の範囲でxを探すならx²は負にならないので、t = -2は除きます。今回は複素数の範囲なので、置き換えた文字に非負の制限を付けてはいけません。例えば(√2 i)² = -2です。置き換え前の文字の範囲に合わせ、戻した後の方程式を解き切ることが分かれ目です。

確認として、x² = 4の2値ではx⁴ − 2x² − 8 = 16 − 8 − 8 = 0です。x² = -2の2値では4 + 4 − 8 = 0です。逆に、元の式を満たすxの二乗は必ず上の二次方程式を満たすため、t = 4か-2に限られます。それぞれの二乗方程式の解を拾ったので、候補の漏れもありません。

誤答をほどく：割る前に零を調べる

誤答の例　x(x² − 9) = 0を複素数の範囲で解く際、両辺をxで割ってx² − 9 = 0とし、x = 3, -3と答えました。

この計算はxが零でない場合に限れば正しいものです。しかし、xが零のときはxで割れません。元の式にx = 0を代入すると積は零ですから、割り算によって解を1つ落としています。図3のように、割る操作に進む前に零の場合を別に調べます。

図3ではx = 0の枝と、x² − 9 = 0の枝を並べています。後者は(x − 3)(x + 3) = 0なので、正しい答えはx = 0, 3, -3です。それぞれを元の積に代入すると、いずれかの因数が零になります。積が零になる条件から、この3値以外は解になりません。

零でないとわかっている数で割ること自体は問題ありません。未知数を含む式で割る場合は、その式が零になる場合を先に処理します。因数分解済みなら、割らずに各因数を零とおく方法が見通しを保ちます。なお、x² = 9からx = 3だけを得る誤りもあります。(-3)²も9であることを確認し、平方根の両符号を忘れないようにします。

因数を見つけるときの確認

三次式の項を組にしても共通の括弧が現れないときは、簡単な数を代入して零になるか調べる方法があります。整式をx − aで割った余りはx = aを代入した値なので、零になればx − aが因数です。ただし、いくつかの数を試して零にならなかったことだけから、解が存在しないとは結論できません。試す数を変えるか、別の因数分解を考えます。因数を1つ見つけた後は、割り算で得た商と掛け合わせ、元の式に戻るかを確かめます。

また、二次式が実数の範囲で因数分解できないときも、判別式や平方完成を使えば複素数の解を求められます。例えばx² + 2x + 5 = 0は(x + 1)² = -4となるので、x + 1 = 2iまたは-2iです。従って解は-1 + 2iと-1 − 2iです。これらは実数係数の式に現れた共役な組です。二乗の前後で符号を両方考えたため、もう一方を推測に頼らず得られます。

解の一覧を見直すときは、答えの個数だけを手掛かりにしないでください。同じ因数が重なる場合、次数と異なる解の値の個数は一致しません。一方、因数の回数を含めて数える視点は、重解の書き忘れに気づく助けになります。最後は実際の因数と解を対応させ、各枝が処理済みかを確かめます。

手を動かす問題

続く4題は複素数の範囲で解き、整数・根号・虚数単位を使った正確な形で解を記してください。重解があれば、そのことも記してください。

1. x³ + x² − 4x − 4 = 0
2. x⁴ + 5x² + 4 = 0
3. 実数係数の方程式 x³ − 4x² + 9x − 10 = 0 の解の1つが1 + 2iである。残りの解も含めて求めなさい。
4. (x + 3)²(x − 4) = 0

答えと解き方

1. x = -1, 2, -2 です。項を組にして因数をそろえます。

x³ + x² − 4x − 4 = 0
x²(x + 1) − 4(x + 1) = 0
(x + 1)(x² − 4) = 0
(x + 1)(x − 2)(x + 2) = 0

各因数を零とおくと3つの値が出ます。元の左辺は上の積と等しいので、各値を戻すと対応する因数が零です。例えば-1では-1 + 1 + 4 − 4 = 0となります。積が零になる条件から、この3値以外はありません。

2. x = i, -i, 2i, -2i です。t = x²とおくと、

t² + 5t + 4 = 0
(t + 1)(t + 4) = 0
t = -1 または t = -4

元に戻してx² = -1またはx² = -4です。それぞれ2つの複素数があるため、4値になります。x² = -1なら元の左辺は1 − 5 + 4 = 0、x² = -4なら16 − 20 + 4 = 0です。二次式の2つのtの値から各二乗方程式を解いているので、解を取り尽くしています。

3. x = 1 + 2i, 1 − 2i, 2 です。係数が実数なので、与えられた解の共役な数1 − 2iも解です。対応する因数を掛けると、

(x − 1 − 2i)(x − 1 + 2i) = (x − 1)² + 4 = x² − 2x + 5

元の三次式をこの二次式で割ると、商はx − 2、余りは零です。実際に(x² − 2x + 5)(x − 2)を展開するとx³ − 4x² + 9x − 10に戻ります。残る一次因数を零とおけばx = 2です。各解を積の式に戻すと対応する因数が零となり、元の条件を満たします。積の各因数を解いたため、ほかの値はありません。

4. x = -3, 4。ただし-3は重解です。x + 3 = 0またはx − 4 = 0とおきます。前者の因数が2回掛けられているため、-3は2重の解です。元の式に戻すと、-3では2つのx + 3が零になり、4ではx − 4が零になります。異なる値は2つであり、-3を別の値として重複して列挙する必要はありません。

問題4のように最初から積の形で与えられた式は、展開してから解く必要はありません。展開すると重なっていた因数が見えにくくなります。与えられた形を保って解き、重なりを記録してから代入で確認すると、計算量を抑えながら理由も残せます。

因数を零とする式は、書いた順番ではなく、残さず解いたかどうかで確かめます。各値の対応先を指で追うと、見直しの際にも枝をたどれます。

要点を短く

• 積が零なら各因数を零とし、枝ごとの解を合わせます。
• x²を置き換えたら、求めた値をxの方程式へ戻します。
• 複素数の範囲では負の数の平方根も調べます。
• 実数係数なら非実数解の共役も解で、重解は因数の回数で見ます。
• 元の式への代入と、解を取り尽くした理由を両方確認します。

どこで止まったかを見分ける

因数分解後の答案に解が1つしかないときは、各因数に印を付け、それぞれを零とする式を言葉で説明できるか確かめます。因数の枝は書けるのに複素数の値が出ない場合は、i² = -1に戻り、正負の両方を二乗します。置き換え後の値をそのまま答えにする場合は、tが何を表したかを元の等式に書き戻します。

個別指導で確認するなら、講師が先に答えを示すのではなく、どの変形が同値か、割る数が零にならないか、元の式でどの因数が零になるかを順に説明してもらいます。重解では、値の種類と同じ因数の回数を区別できるかを見ると、計算の誤りと数え方の誤りを分けられます。解の枝を最後までたどることが、高次方程式の答えをそろえます。