高校数学C 楕円の接線—接点の座標を使う式と共有点の重なりを結び付ける｜武蔵野個別指導塾

接点の所属と連立式の重解を照合し、軸端や平行移動後の楕円でも接線の方程式を組み立てられます。

よくあるのは、理系の高3が与えられた点の座標を接線の公式へ入れ、できた直線を答えにしてしまう場面です。その点が楕円上になければ、そもそもその点を接点とは呼べません。式が作れたことと、求める接線が存在することは別の確認です。接点の所属から始め、直線と楕円を連立したときに何が起きるかを追いましょう。

接点を読む問題の分かれ道

1つ目の型は、楕円と接点が与えられ、その点での接線を求める問題です。最初に座標を楕円へ代入し、等式が成り立つことを確かめます。次に接線の式を作り、共有点が指定点に重なることを確認します。点の座標に平方根や負の数が入っていても、順序は変わりません。

2つ目の型は、接点の一方の座標だけが与えられる問題です。楕円上の条件からもう一方の座標を求めます。平方根には正負があるので、位置の条件で絞る前に両方を候補として書きます。軸上で2候補が一致する場合もあります。

3つ目の型は、中心が原点から移った楕円です。接点の絶対座標をそのまま原点中心の公式に入れると、移動量が残ります。中心から見た座標に直してから接線を作り、最後に元の座標へ戻します。ここでは接点が指定された接線を扱い、外部の点から引く接線の本数は扱いません。

接点と重解をつなぐ

正の数 a、b について、a > b > 0 とし、楕円を x²/a² + y²/b² = 1 とします。P(s,t) がこの楕円上にある条件は s²/a² + t²/b² = 1 です。この条件を先に置いたとき、Pでの接線は次の式です。

sx/a² + ty/b² = 1

図1のように、接線はPを通り、楕円と共有点がPに重なります。楕円を横切る直線では共有点が2つあります。接線ではその2つが重なるという見方が、連立方程式の重解に対応します。

まず t が0でない場合を考えます。Pを通る傾き m の直線 y = m(x − s) + t を楕円へ代入し、X = x − s と置きます。Pの所属条件を使うと、連立は次の二次方程式になります。

(1/a² + m²/b²)X² + 2(s/a² + mt/b²)X = 0

二次係数は a、b が正なので必ず正です。X = 0 はPに対応します。もう1つの解も0と重なる条件は、一次の係数が0であることです。

s/a² + mt/b² = 0
m = -b²s/(a²t)

この傾きを直線に戻し、Pの所属条件を使うと sx/a² + ty/b² = 1 が得られます。逆にこの式を連立すれば上の一次係数が0となり、二次係数は正のままなので、共有点はPに重なります。単に判別式を0とする前に、二次係数が0でないことが必要です。

残る t = 0 のとき、所属条件から s = a または s = -a です。式はそれぞれ x = a、x = -a になります。これは傾きを数で表せない垂直線です。楕円上では x²/a² = 1 となると y = 0 なので、各直線の共有点は対応する軸端です。一方、その軸端を通る傾き m の直線では、上の一次係数が 2s/a² となり0ではありません。したがって有限の傾きを持つ直線では重解にならず、垂直線を別に扱う必要があります。

s = 0 の軸端では t = b または t = -b です。このとき接線は y = b または y = -b で、傾き0の水平線です。垂直と水平を図の見た目だけで決めず、接点の式に戻して確かめます。

接線の式は、楕円上の他の点がその直線上にないことからも確かめられます。楕円上の任意の点を (x,y)、接点を (s,t) とします。両点が楕円上にある条件を使うと、次の関係が成り立ちます。

1 - (sx/a² + ty/b²)² = (sy - tx)²/(a²b²) ≥ 0

接線上なら左辺は0なので sy = tx です。これと接線の式を連立すると (x,y) = (s,t) となります。両式を整理すると、s²/a² + t²/b² = 1 により解は定まります。共有点が指定点に限られることを示す別の確認です。

基本例題：指定点で接する直線

楕円 x²/25 + y²/9 = 1 上の点 P(3, 12/5) における接線を求め、係数を整数にした方程式で答えてください。

まず点の所属を確認します。分母は正で、長い半軸は5、短い半軸は3です。

3²/25 + (12/5)²/9
= 9/25 + 144/225
= 9/25 + 16/25
= 1

Pは楕円上です。図2のように、Pは第1象限にあり、接線は右下がりになります。公式の s、t にそれぞれ3、12/5を入れます。

3x/25 + (12/5)y/9 = 1
3x/25 + 4y/15 = 1
9x + 20y = 75

答えは 9x + 20y = 75 です。重なりも直接確かめます。直線を y = (75 − 9x)/20 として楕円へ代入すると、次のように整理できます。

x²/25 + (75 - 9x)²/3600 = 1
144x² + (75 - 9x)² = 3600
225x² - 1350x + 2025 = 0
225(x - 3)² = 0

二次係数225は0ではなく、x = 3 が重解です。これを直線に戻すと y = 12/5 ですから、重なった共有点は指定されたPです。式にPを代入すると 27 + 48 = 75 とも確認できます。接線の公式で答えが早く出ても、この往復により点の取り違えや係数の誤りを見つけられます。

標準例題：片方の座標から接点を決める

楕円 x²/36 + y²/16 = 1 上で、x座標が -3 である点のそれぞれにおける接線を求めてください。方程式の係数は根号を含む形で表してください。

接点の y座標を t とすると、楕円上にあるための条件は次のとおりです。

(-3)²/36 + t²/16 = 1
1/4 + t²/16 = 1
t² = 12
t = 2√3 または t = -2√3

どちらも実数で、指定された x座標と合わせると2点です。yの符号を指定されていないので、一方を捨てる理由はありません。それぞれを接点の式に入れます。

-x/12 + √3 y/8 = 1
-x/12 - √3 y/8 = 1

両式に24をかけると、答えは -2x + 3√3 y = 24、-2x − 3√3 y = 24 です。係数24は0でないため、かける前後の直線は同じです。

戻して確認すると、各接点の楕円への代入は 9/36 + 12/16 = 1 です。上の直線へ (-3, 2√3) を入れると 6 + 18 = 24、下の直線へ (-3, -2√3) を入れても 6 + 18 = 24 です。いずれも接点の所属を満たすので、先に示した重解の議論を適用できます。2本は y の係数の符号が異なる直線です。

もし x座標が6なら t² = 0 となり、正負を別々に数えても接点は (6,0) の1点です。逆に x座標の絶対値が6より大きければ、t² は負となり実数の接点が存在しません。平方根の計算の前に、右辺の符号を見ると存在の有無まで答えられます。

発展例題：移動した中心から測る

楕円 (x − 2)²/16 + (y + 1)²/9 = 1 上の点 Q(4, -1 + 3√3/2) における接線を求めてください。方程式の係数は根号を含む形で表してください。

中心は (2,-1) です。中心相対の座標を X = x − 2、Y = y + 1 と置くと、楕円は X²/16 + Y²/9 = 1 です。Qの相対座標は (2, 3√3/2) となります。実際に所属を確かめます。

2²/16 + (3√3/2)²/9
= 1/4 + (27/4)/9
= 1/4 + 3/4
= 1

相対座標で接線の式を作ります。

2X/16 + (3√3/2)Y/9 = 1
X/8 + √3 Y/6 = 1
3X + 4√3 Y = 24

X、Yを元に戻した答えは 3(x − 2) + 4√3(y + 1) = 24 です。Qを代入すると 6 + 18 = 24 です。相対座標では標準形の接点の式そのものなので、重なった共有点は (2, 3√3/2)、元の座標ではQです。

元の x、y と相対座標を混ぜると、中心からの距離がずれます。たとえば Qの x座標4をそのまま分子に入れるのでなく、中心の x座標2を引いた2を使います。最後に元の直線へQを戻す確認は、移動方向の符号の点検にもなります。

誤答を止める：式ができても接点とは限らない

楕円 x²/25 + y²/9 = 1 について、点 R(5,3) での接線を求めるとします。誤って公式の形へそのまま入れると x/5 + y/3 = 1 となります。しかし、Rを楕円に入れると 1 + 1 = 2 です。Rは楕円上にないため、Rを接点とする接線は存在しません。

図3のように、Rは右端と上端の外側にあり、誤って作った直線はRすら通りません。実際に左辺へRを入れると2です。作った式が直線であることは、求めた条件を満たす証拠にはなりません。

原因は、接点の式を得るときに使った s²/a² + t²/b² = 1 を忘れたことです。修正は、代入前に点の所属を判定することです。所属しなければ「その点での接線は存在しない」と答えます。外部点を通る接線を問われた場合は別の条件であり、R自身を接点と決めてはいけません。

もう1つの誤りは、右端で傾きの式の分母が0になった時点で接線がないと判断することです。分母が0なのはその傾きの表し方を使えないという意味です。右端 (5,0) では x = 5 と置き、楕円に戻すと y = 0 となります。垂直線を別に検査すれば、接点が残ります。

練習：条件を戻して接線を選ぶ

次の5問はそれぞれ独立です。方程式は、指定がなければ分数や根号を含む正確な形で答えてください。

1. 楕円 x²/49 + y²/25 = 1 上の点 (0,-5) における接線を求めてください。
2. 楕円 x²/64 + y²/16 = 1 上の点 (8,0) における接線を求めてください。
3. 楕円 x²/16 + y²/4 = 1 上の点 (2,√3) における接線を求めてください。
4. 楕円 (x + 1)²/25 + (y − 2)²/4 = 1 上の点 (2,18/5) における接線を求めてください。
5. 楕円 x²/9 + y²/4 = 1 に対し、点 (3,2) を接点とする接線が存在するか答えてください。

答えと考え方

1. 所属は 0²/49 + (-5)²/25 = 1 です。接点の式は -5y/25 = 1 なので、答えは y = -5 です。代入すると x²/49 + 1 = 1 となり、x = 0 で指定点に戻ります。

2. 所属は 8²/64 + 0²/16 = 1 です。接点の式は 8x/64 = 1 なので、答えは x = 8 です。楕円へ戻すと 1 + y²/16 = 1、y = 0 です。傾きで表せない垂直線を含めて判定します。

3. 所属は 2²/16 + (√3)²/4 = 1/4 + 3/4 = 1 です。接点の式から x/8 + √3 y/4 = 1、すなわち x + 2√3 y = 8 です。指定点を入れると 2 + 6 = 8 です。所属条件が成立しているので、重解の議論によりこの点で接します。

4. 中心は (-1,2)、接点の相対座標は (3,8/5) です。所属は 9/25 + (64/25)/4 = 1 ですから、相対座標の接点の式を使えます。

3(x + 1)/25 + (8/5)(y - 2)/4 = 1
3(x + 1) + 10(y - 2) = 25

答えは 3(x + 1) + 10(y − 2) = 25 です。元の点を入れると 9 + 16 = 25 であり、相対座標の所属も満たします。よって重なった共有点は指定点です。

5. 3²/9 + 2²/4 = 2 なので、点は楕円上にありません。したがって指定点を接点とする接線は存在しません。点を通る直線が引けるかという問いとは区別します。

手元に残す要点

接点の座標を楕円へ代入してから、接線の式を使います。
t が0でない接点では、連立して重解を確認できます。
左右の軸端では垂直接線を別に確かめます。
移動した楕円では、中心からの座標に直します。

どの行で止まったかを見分ける

点を代入せず式を書いた場合は、まず楕円の左辺が1になるかを本人の手で計算します。1にならなければ、その点で接するという指定自体を見直します。1になったのに線が点を通らない場合は、接点の座標と分母の対応を点検します。

軸端で計算が止まった場合は、傾きの分母と接線の存在を分けて考えます。個別指導では、直線 x = 定数を楕円へ戻し、残る座標が1つに定まる行を確かめます。移動後なら中心と接点を別々に書き、差を取ってから式を作ります。接点に戻す一行が、楕円の接線の答えを支えます。