高校数学II 一次不等式が表す領域—代入する点と境界線で塗る側を判断する｜武蔵野個別指導塾

原点が境界上にある場合の判定点の選び方から、積が0になる直線の扱いまで、図と例題から読み解き、半平面を描きます。

よくあるのは、高2が不等式の表す側をいつでも原点で判定しようとする場面です。直線が原点を通ると、原点を代入した値は0になり、どちら側かは決まりません。境界から外れた点を選び直し、その点の符号と等号の有無を分けて調べると、図の塗り方に根拠ができます。

領域を読む3つの場面

一次式が正か負かを問われたときは、まず式を0とおいた直線を描き、直線のどちら側で条件が成り立つかを調べます。等号がある場合には直線も含めます。直線が座標軸に平行でも手順は同じです。

複数の不等式が並ぶときは、それぞれを満たす部分の共通部分を取ります。境界の交点も、各条件に実際に代入して所属を決めます。片方の境界を含んでも、もう片方の条件を満たさなければその点は入りません。

2つの一次式の積については、因数の符号を組にして考えます。積が正なら両方正または両方負、負なら異符号です。積が0になる境界は別に調べ、等号があるかどうかで入れるかを決めます。以下では円の領域や領域上の最大最小には立ち入りません。

境界と判定点の役割

a、bが同時に0ではないとき、ax + by + c = 0は直線です。その直線を境界として、平面は式の値が正の側と負の側に分かれます。たとえばbが0でなければ、式はb(y − (-ax − c)/b)と表せます。同じxに対して境界の高さとの差を見ると、境界を越えるところで符号が変わります。bが0ならaは0でなく、式はa(x + c/a)となり、縦の境界の左右で符号が変わります。

図1のように、直線上でない点を1つ選んで式に代入すると、その点を含む側の符号がわかります。直線の上では式が0なので、正か負かを区別する判定点には使えません。原点が便利なのは、原点が境界上にない場合です。原点が境界上なら、たとえば(1, 0)を試し、それも境界上なら(0, 1)を試せます。a、bは同時に0ではないので、どちらかは境界から外れます。

図1の直線はy = xです。点(0, 1)ではy − x = 1、点(1, 0)ではy − x = -1です。y − x > 0なら前者の側を塗りますが、境界では値が0なので線を含めません。図では含まない境界を破線で表します。逆にy − x ≥ 0なら同じ側に加えて境界を実線で含めます。

判定点は答えそのものではなく、側を選ぶための道具です。選んだ点が条件を満たさなかった場合も失敗ではありません。境界でないことを確かめたうえで、反対側を選べばよいからです。また、不等式に負の数を掛けると不等号の向きが逆になることにも注意します。

境界を描くときは、軸との交点が2つ使えるとは限りません。たとえば縦の直線ならxの値を固定して2点を取り、横の直線ならyの値を固定します。傾きの形に直そうとして0で割る必要はありません。判定点も、座標が簡単という理由で選んだ後、必ず境界に代入して0でないことを確認します。

等号を含む不等式でも、塗る側の判定点には境界外の点を選びます。境界上の点は条件を満たしますが、両側のどちらを塗るべきか教えてくれないためです。線の種類は境界の所属を示し、塗りは境界外の点の所属を示すと整理すると混同しません。

基本例題：原点を通る境界

問題。x + 2y > 0の表す領域を、境界を含むかどうかを明示して図示してください。

まず境界を求めます。

x + 2y = 0
y = -x/2

この直線は原点を通ります。原点を代入すると0であり、正でも負でもないので、塗る側の判定には使えません。そこで直線上にない(0, 1)を試します。

0 + 2・1 = 2 > 0

したがって(0, 1)を含む側が答えです。式を変形しても、2が正なので不等号の向きは変わりません。

x + 2y > 0
2y > -x
y > -x/2

図2のように直線より上側を塗り、直線は破線にします。直線上の任意の点では左辺が0で、厳密な不等号を満たさないからです。

反対側の(0, -1)では左辺が-2となり、条件を満たしません。図2の塗りと代入結果が一致します。たとえ判定点の代入に失敗しても、境界を含めるかの判断は不等号を見直せば独立にやり直せます。

標準例題：共通部分の端を点検する

問題。連立不等式 x + y ≥ 3、x − y < 1 の表す領域を、境界と交点の所属を明示して図示してください。

それぞれyについて整理します。

x + y ≥ 3
y ≥ 3 - x
x - y < 1
-y < 1 - x
y > x - 1

最後の行では負の数-1を掛けたため、不等号を反転します。境界はy = 3 − xとy = x − 1です。前者は実線、後者は破線にし、両方の直線より上の共通部分を塗ります。

境界の交点は連立して求めます。

3 - x = x - 1
2x = 4
x = 2
y = 1

(2, 1)は最初の式では等号を満たしますが、2 − 1 = 1なので2つ目の厳密な不等式を満たしません。したがって交点は含まれません。実線で描いた境界も、その全体が答えに入るわけではなく、もう一方の不等式を満たす部分に限られます。

たとえば(0, 4)は4 ≥ 3かつ-4 < 1なので共通部分に入ります。(0, 0)は0 ≥ 3を満たさず入りません。このように境界の線種と共通部分の所属を別々に調べると、交点を塗りつぶす誤りを避けられます。

発展例題：積の符号と境界

問題。(x − 2)(x + y − 1) ≤ 0の表す領域を、連立不等式の組と境界の所属を用いて示してください。

2つの因数をそれぞれA = x − 2、B = x + y − 1とおきます。積が負になるのは、AとBの符号が異なるときです。積が0になるのはA = 0またはB = 0のときです。この2つを合わせると、答えは次の2つの領域の和です。

x - 2 ≥ 0 かつ x + y - 1 ≤ 0
または
x - 2 ≤ 0 かつ x + y - 1 ≥ 0

それぞれを変形します。

x ≥ 2 かつ y ≤ 1 - x
または
x ≤ 2 かつ y ≥ 1 - x

境界x = 2は縦の直線、y = 1 − xは斜めの直線です。どちらも積を0にするので、直線全体を含みます。交点はx = 2を代入して(2, -1)です。この点も積が0なので含みます。

境界の外にある(3, -3)では2つの因数は1と-1で、積は-1です。一方、(3, 0)では1と2で、積は2です。前者が条件に入り後者が入らないことは、上の2組の不等式とも一致します。符号の組を2つ挙げず、片方だけを塗ると、もう一方の領域が欠けます。

一般に積が厳密に負なら、2つの因数が異符号である2組を使い、境界は含めません。積が0以上なら同符号の2組と境界を取り、0より大きければ境界を除きます。境界が重なる特別な場合にも、因数ごとの符号を確認すれば判断できます。

積の扱いでは、0を正や負に混ぜないことが重要です。まず正と負の組を考え、次に0となる点を等号に応じて加えると、境界の抜けを調べられます。2つの境界が交わる場合には交点で両因数が0になり、平行な場合には交点がありません。それぞれの図の形が違っても、符号の条件は同じ方法で確認できます。

因数の一方に負の数を掛けた形へ直す場合は、積全体の符号が反転します。式の見た目が似ていても、変形の各段階で不等号の向きを追います。領域の一部を代表する点を元の積へ代入すれば、変形後の組が元の条件と食い違っていないか検査できます。

誤答を図から修正する

誤答例。y − x > 0について、原点を代入して0を得たので、原点側を塗るとします。原点は境界上にあり、どちらの側にも属さないため、この判断では塗る側が決まりません。0は正という条件も満たしていません。

図3のように(0, 1)を選び直します。この点ではy − x = 1 > 0ですから、(0, 1)を含む側が答えです。反対側の(1, 0)では-1となり、条件を満たしません。

図3の破線は境界を含まないことも表します。原点は式の値が0なので答えに入りません。判定点が不適切だったことと、境界を含めるかということは別の確認です。たとえば不等号を≥に変えれば、塗る側は同じでも原点を含む直線が加わります。

練習問題

次の領域を図示し、それぞれ境界を含むか明示してください。積の問題は符号による連立不等式の組も答えてください。

1. 2x + y ≤ 4。
2. 3x − y > 0。
3. x ≥ -1、x + y < 2の共通部分。
4. (x + 1)(y − 2) > 0。
5. (x − 3)(x − 1) ≤ 0。

練習の解答と確かめ

1. 直線を含む側

境界と不等式を変形します。

2x + y = 4
y = 4 - 2x
2x + y ≤ 4
y ≤ 4 - 2x

答えは直線y = 4 − 2xとその下側です。等号があるため境界を実線にします。原点は境界上になく、0 ≤ 4を満たすので塗る側に入ります。境界上の(2, 0)は左辺が4になり、等号を満たすことも確かめられます。

2. 原点以外を試す

境界を求め、負の数を掛ける際に向きを変えます。

3x - y = 0
y = 3x
3x - y > 0
-y > -3x
y < 3x

直線y = 3xの下側が答えで、境界は含みません。(1, 0)では左辺が3で条件を満たします。(0, 1)では-1となり、反対側は含まれません。原点は境界上なので側の判定には使えません。

3. 実線と破線の共通部分

境界はx = -1とy = 2 − xです。答えはx = -1の右側で、かつy = 2 − xの下側です。x = -1は等号を含むので実線、y = 2 − xは含まないので破線にします。ただし実線のうち答えに入るのは、もう一方の条件を満たす部分です。

2直線の交点は(-1, 3)です。この点ではx + y = 2となり、厳密な不等式を満たさないため入りません。(0, 0)は0 ≥ -1かつ0 < 2で両方を満たし、(-2, 0)は最初の条件を満たしません。交点と両側の点を条件に戻せば、共通部分の取り違えを点検できます。

4. 同符号の2組

積が正なので、2因数が両方正か両方負です。

x + 1 > 0 かつ y - 2 > 0
または
x + 1 < 0 かつ y - 2 < 0

よって答えはx > -1かつy > 2、またはx < -1かつy < 2です。境界x = -1、y = 2では積が0なので、どちらも含みません。(0, 3)では積は1、(-2, 1)でも積は1です。(0, 1)では積が-1であり、条件に入りません。2組の領域をどちらも取る必要があります。

5. 平行な境界の間

因数が異符号か、いずれかが0である条件を立てます。

x - 3 ≥ 0 かつ x - 1 ≤ 0
または
x - 3 ≤ 0 かつ x - 1 ≥ 0

前者はx ≥ 3かつx ≤ 1であり、同時に満たすxはありません。後者はx ≤ 3かつx ≥ 1です。したがって答えは1 ≤ x ≤ 3で、yの値に制限はありません。境界の2直線x = 1、x = 3はともに含みます。

x = 2では積は(-1)・1 = -1です。x = 0では積は3で条件を満たさず、x = 1または3では積が0です。交わらない境界でも、符号の組から空の部分を見分ければ、存在しない領域を塗らずに済みます。

図にした答えを読み返す際は、境界をまたぐ2点に加え、境界上の点も調べます。条件を満たす点が塗られ、満たさない点が塗られていなければ、その点については整合します。ただし数点が合うことだけで平面全体の証明にはならないので、各半平面で符号が一定である理由と併せて使います。

手元に残す要点

境界は一次式を0とおいて描きます。 境界上にない点で正負を調べ、等号の有無で線を決めます。 連立は共通部分、積は因数の符号の組と0を調べます。

考え方を点検する問い

「原点の代入結果が0だったら、次にどの点を選びますか」と尋ねると、境界上の点と判定点の役割を区別できているか見えます。個別指導では、選んだ点の座標を式に戻し、0でないことと正負を声に出して確認します。その後、反対側の点も1つ試し、塗りの向きと一致するかを調べます。

積の場合には「0になる点はどの因数から生じますか」と問い、因数ごとの境界と不等号の等号を照合します。符号の組を書いた後に、両方の条件を同時に満たす点があるかも調べます。境界と各部分の符号を対応させると、塗る範囲を式から説明できます。