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高校数学II 文字を含む直線と交点の軌跡—分母が零の条件を分け復元できる点を見極める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

固定直線上の候補点から実数パラメータを逆算し、平行・一致となる値や実現しない点を取り分ける考え方が身につきます。

よくあるのは、高2が分母を払って存在しない点まで加える場面です。文字を含む直線と固定された直線の交点を追うと、計算で現れた方程式は固定直線そのものになることがあります。しかし、その直線上の点がどれも実際に交点になるとは限りません。文字を戻して作れるかを調べ、作れない点を除きます。

要点（結論から）

文字で割る前に、零になる値を元の2直線へ戻します。
消去で得た条件は必要性であり、文字を復元して十分性を示します。
復元できない候補点と、一致して交点が定まらない文字を区別します。

交点を追う問題の見取り図

実数 t を動かすと直線が変わり、その都度、固定直線との共有点が変わります。求める軌跡は、交点として実際に現れる点を集めた図形です。固定直線上にあることは必要ですが、それだけでは十分とは限りません。

出方の一つは、連立すると交点の座標が分数になる型です。分母が零になる t では、その式を使えません。元の連立方程式に戻して、平行で交点がないのか、一致して交点が一つに定まらないのかを分けます。

もう一つは、固定直線上の一般の点に対して t を逆算する型です。逆算の分母が零の点は、機械的に除外する前に元の式へ代入します。矛盾が出れば除外ですが、恒等式になればその点は実際に含まれます。両方の係数が零になる例外もあります。

さらに、t の範囲が限定される型では、復元した値がその範囲に入ることも必要です。境界の値を含むかを点の側に移してから答えます。以下では直線と固定直線の交点を扱い、直線群の包絡線は扱いません。

消去と復元は別の確認

軌跡を求めるには、まず動点 P(x, y) が条件を満たすと仮定し、そこから x と y の条件を導きます。これが必要性です。次に、その条件を満たす任意の点について、許された実数 t を具体的に作り、元の2直線の交点になることを示します。これが十分性です。

図1のように、左から右へ式を変形するだけでは、右側に余分な点が入る可能性があります。右から左への矢印には、t の復元と、交点が一つに定まる確認が必要です。途中で割った式が零になる場合は、割る前に別に調べます。

例えば固定直線が y = 0 で、動く直線との連立から (t − 1)x = 2 が得られたとします。t = 1 では 0 = 2 となるため交点はありません。t ≠ 1 なら x = 2/(t − 1) で、x ≠ 0 です。逆に x ≠ 0 なら t = 1 + 2/x と作れ、元の式を満たします。x = 0 では元の式が 0 = 2 になるので作れません。このように、文字の側で割れない値と、点の側で復元できない値は別々に調べます。

動く式が常に直線を表すかも先に確かめます。一般形 ax + by + c = 0 が直線であるには、x と y の係数 a, b が同時に零でないことが必要です。また2直線が一致すると共有点は無数にあり、「交点」として一つの点を選ぶ規則がない場合、交点を一意に定める値から外します。問題に一致時の扱いが指定されていれば、その指定を優先します。

式を読む順番を決める

固定直線が水平とは限りません。例えば固定直線が x = 2 なら、動く直線に x = 2 を代入して y と t の関係を調べます。傾きを使う形に直す必要はなく、縦の直線もそのまま連立できます。固定直線が斜めの場合も、一方の座標を表して代入できますが、割る係数が零でないことを先に確かめます。

連立後の式が A(t)x = B(t) のとき、A(t) ≠ 0 なら x は一つです。A(t) = 0 かつ B(t) ≠ 0 なら矛盾し、共有点はありません。A(t) = B(t) = 0 なら固定直線上の点がすべて共有点になり、交点は一つに定まりません。この判定は代入前の式がどちらも直線であることを確認してから使います。

逆算の段階でも同様です。点の座標を固定して C(x)t = D(x) となったら、C(x) ≠ 0 では t = D(x)/C(x) と復元します。C(x) = 0 の場合は D(x) が零かどうかで、どの t でも無理なのか、複数の t が候補になるのかが分かれます。後者では、候補の中に交点が一意に定まる許された値があるか確かめます。

基本例題：固定直線上の穴

実数 t に対して直線 ℓ: (t − 1)x + y = 2 と固定直線 m: y = 0 を考えます。交点がただ一つある t について、その交点 P の軌跡を方程式と除外点で表してください。

ℓ の y の係数は常に 1 なので、どの t でも ℓ は直線です。m の式を ℓ に代入すると、次のようになります。

(t - 1)x + 0 = 2
(t - 1)x = 2

t = 1 では 0 = 2 となり、ℓ は y = 2 です。m と平行で交点はありません。t ≠ 1 なら連立式は一つの x を定めます。

x = 2/(t - 1)
y = 0

分子は零でないので x ≠ 0 です。したがって必要な条件は y = 0 かつ x ≠ 0 です。図2のように原点を除く横軸が候補になります。

逆に、y = 0 上の任意の点 (x, 0) で x ≠ 0 とします。次の実数を選べます。

t - 1 = 2/x
t = 1 + 2/x

この t は 1 と異なります。元の ℓ の左辺に点を戻すと (2/x)x + 0 = 2 ですから、確かに ℓ と m の交点です。原点は ℓ の左辺を 0 にするため、どの t でも交点になりません。よって答えは y = 0、ただし (0, 0) を除くです。

例えば t = 2 では P = (2, 0)、t = 0 では P = (-2, 0) です。どちらも元の式に代入して 2 になります。一方、t を大きくすると原点に近づきますが、有限の実数 t で原点に到着するわけではありません。近づく点と実際に取る点を区別します。

標準例題：復元の分母が零でも残る点

実数 t に対し、ℓ: (t − 2)x + y = 3t − 6 と m: y = 0 を考えます。交点がただ一つある t について、交点 P の軌跡を座標で表してください。

ℓ の y の係数は 1 ですから、常に直線です。m を代入して整理します。

(t - 2)x = 3t - 6
(t - 2)x = 3(t - 2)
(t - 2)(x - 3) = 0

t ≠ 2 では x − 3 = 0 なので P = (3, 0) です。t = 2 では ℓ が y = 0 となり m と一致します。共有点は無数にあるので、この値は「交点がただ一つ」という条件に入りません。

逆に (3, 0) は、例えば t = 0 のとき ℓ: -2x + y = -6 と m の唯一の交点です。元の式に戻すと -2・3 + 0 = -6 です。したがって軌跡は点 (3, 0) です。

ここで t について整理すると (x − 3)(t − 2) = 0 です。x ≠ 3 なら t = 2 しかなく、そのとき2直線は一致します。x = 3 では t の係数と定数項がともに零になり、どの t でも式が成立します。t = 2 以外を選べるので、この点は除外されません。復元の式で零を見つけた後、その点の元の式を調べる理由がここにあります。

発展例題：文字の範囲を交点に移す

0 ≤ t ≤ 3 の実数 t に対して ℓ: (t + 1)x + y = 2t + 4、m: y = 1 とします。交点 P の軌跡を方程式と不等式で表してください。

ℓ の y の係数は 1 で、t + 1 は指定範囲で正です。よって m と ℓ は常にただ一つの交点を持ちます。y = 1 を代入します。

(t + 1)x + 1 = 2t + 4
(t + 1)x = 2t + 3
x = (2t + 3)/(t + 1)
x = 2 + 1/(t + 1)

0 ≤ t ≤ 3 より 1 ≤ t + 1 ≤ 4 です。正の数の逆数では大小が逆になるので、1/4 ≤ 1/(t + 1) ≤ 1 です。従って必要な条件は y = 1、9/4 ≤ x ≤ 3 です。両端も t = 3、t = 0 でそれぞれ取ります。

逆に y = 1、9/4 ≤ x ≤ 3 とします。x − 2 は 1/4 以上 1 以下なので零ではありません。次のように t を作ります。

x - 2 = 1/(t + 1)
t + 1 = 1/(x - 2)
t = 1/(x - 2) - 1

1/4 ≤ x − 2 ≤ 1 より 1 ≤ 1/(x − 2) ≤ 4 です。よって 0 ≤ t ≤ 3 が成り立ちます。この t では (t + 1)(x − 2) = 1 なので、(t + 1)x = 2t + 3 です。元の ℓ に y = 1 を戻せば、左辺は 2t + 4 となります。したがって答えは y = 1、9/4 ≤ x ≤ 3 です。

端点の検算では、t = 0 のとき x + 1 = 4 から x = 3、t = 3 のとき 4x + 1 = 10 から x = 9/4 です。範囲の両端が点として含まれることまで、元の直線で確かめられます。

誤答を点に戻して直す

基本例題で「(t − 1)x = 2 だから y = 0 が軌跡」とする答えを考えます。固定直線の式は確かに必要ですが、原点が含まれる点で誤りです。図3では、横軸上の原点に白丸を置き、交点として実現しないことを示しています。

原点を元の式に代入すると、どんな t についても 0 = 2 という矛盾になります。文字が消えた後の式を満たすことと、元の条件に戻せることは同じではありません。修正するには、候補上の点に対して t = 1 + 2/x と復元し、x = 0 は元の式で別に判定します。

別の誤りは、標準例題で t = 2 を代入し、共有点が無数だから軌跡が横軸全体だとするものです。問題は交点がただ一つある値に限っています。一致する値の共有点を交点として勝手に選べません。反対に、t = 2 を除いた後も点 (3, 0) は他の値で実現しますから、その点まで消してはいけません。

練習：文字と点を往復する

各問で t は実数です。答えは方程式と必要な除外点または範囲で表し、点だけの場合は座標で表してください。交点がただ一つある t に限ります。

ℓ: (t + 2)x + y = 4、m: y = 0 の交点の軌跡を求めてください。
ℓ: (t − 1)x + y = 2t − 2、m: y = 0 の交点の軌跡を求めてください。
ℓ: (t + 1)x + y = t + 4、m: y = 1 の交点の軌跡を求めてください。
1 ≤ t ≤ 4 のとき、ℓ: tx + y = 3t + 2、m: y = 0 の交点の軌跡を求めてください。
ℓ: (t − 3)x + (t − 3)y = 2、m: y = 2 の交点の軌跡を求めてください。ℓ が直線でない値にも注意してください。

練習の解答と検算

y = 0 を代入すると (t + 2)x = 4 です。t = -2 では 0 = 4 なので交点がなく、それ以外では x = 4/(t + 2) ≠ 0 です。逆に x ≠ 0 なら t = 4/x − 2 と置け、この値は -2 でなく、元の左辺は (4/x)x = 4 です。答えは y = 0、ただし (0, 0) を除きます。
代入と因数分解により (t − 1)(x − 2) = 0 です。t = 1 では2直線が一致し、交点は一つに定まりません。他の値では x = 2 です。t = 0 を選ぶと ℓ は -x + y = -2 で、(2, 0) を通り m と一致しません。答えは点 (2, 0) です。
y = 1 を代入して、順に整理します。

(t + 1)x + 1 = t + 4
(t + 1)x = t + 3
(t + 1)(x - 1) = 2

t = -1 では矛盾するので交点はなく、他の値では x ≠ 1 です。逆に x ≠ 1 なら t = 2/(x − 1) − 1 と作れます。これを元の式に戻すと (t + 1)x + 1 = (t + 1) + 2 + 1 = t + 4 です。答えは y = 1、ただし (1, 1) を除きます。

t は正なので、代入後の tx = 3t + 2 を割れます。

x = 3 + 2/t
1 ≤ t ≤ 4
1/4 ≤ 1/t ≤ 1
1/2 ≤ 2/t ≤ 2
7/2 ≤ x ≤ 5

逆に 7/2 ≤ x ≤ 5 なら 1/2 ≤ x − 3 ≤ 2 です。t = 2/(x − 3) と置くと 1 ≤ t ≤ 4 で、tx = 3t + 2 を満たします。端点も t = 4 で x = 7/2、t = 1 で x = 5 と元の式に戻ります。答えは y = 0、7/2 ≤ x ≤ 5 です。

t = 3 では左辺の x、y の係数がともに零で、式は 0 = 2 となり直線ではありません。t ≠ 3 では y の係数も零でなく直線です。y = 2 を代入すると次の通りです。

(t - 3)(x + 2) = 2
x + 2 = 2/(t - 3)
x ≠ -2

逆に x ≠ -2 なら t = 3 + 2/(x + 2) と置け、t ≠ 3 です。このとき ℓ の左辺は (2/(x + 2))(x + 2) = 2 です。m と ℓ の x の係数は後者が零でないため一致せず、交点は一つです。答えは y = 2、ただし (-2, 2) を除きます。

要点を手元に

文字で割る前に、零になる値を元の2直線へ戻します。
消去で得た条件は必要性であり、文字を復元して十分性を示します。
復元できない候補点と、一致して交点が定まらない文字を区別します。
文字の範囲と端点は、点に戻した後も確認します。

どこで止まったかを確かめる

「分母が零のとき、元の2直線は平行ですか、一致しますか」と問いかけると、計算不能と交点の不存在を混同していないか見えます。式を代入して 0 = 定数になるか、0 = 0 になるかを書き、図形の状態と結びつけます。

「除いた点を作る別の t はありますか」と聞けば、一つの t を除く操作と、一つの点を除く操作を区別できます。個別指導では、候補点を任意に置き、復元した t が実数で条件内か、さらに元の2式を同時に満たすかを一行ずつ確認します。逆算できない点は割る前の式に戻し、矛盾と恒等式を見分けます。軌跡の穴は、元の条件まで戻して初めて決まります。