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高校数学C 放物線の接線—接点の条件と重解から傾きに頼らない式を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 式と曲線を掘り下げる

接点の所属を確かめ、重解と頂点の垂直線から、移動後にも使える放物線の接線へ進みます。

よくあるのは、理系の高校3年生が放物線の頂点で接線を求めようとし、傾きの式の分母が0になって手が止まる場面です。割り算を進められないことは、接線が存在しないことを意味しません。頂点では縦の直線が現れ、傾きで表す方法から漏れるのです。接点が曲線上にあるかを最初に調べ、連立した式の重なり方から接線を作りましょう。

接線の問いを見分ける

出方の1つは、放物線とその上の点が与えられ、その点での接線の方程式を求める形です。座標を公式に入れる前に、点が放物線の式を満たすか確かめます。満たさない点に「その点での接線」はありません。

もう1つは、頂点や移動後の点が指定される形です。頂点では縦の接線を別に調べ、平行移動では座標を頂点からの差に直します。式の形を覚えていても、接点の座標と移動量を混同すると別の直線が出ます。

さらに、直線が接するように係数を決める問題があります。代入後の式が本当に二次式かを先に見ます。二次式なら重解の条件を使えますが、一次式になった場合は判別式0という手順をそのまま使えません。答えは元の連立に戻して接点を確認します。

接点を通る直線と重解

放物線を y² = 4px、p ≠ 0 とし、その上の点を P(a, b) とします。所属の条件は b² = 4pa です。p は正でも負でもよく、曲線はそれぞれ右または左に開きます。接点の式を作る際、a と b はこの条件を満たす定数です。

図1のように、b ≠ 0 なら P を通る傾き m の直線を y = m(x − a) + b と置けます。m ≠ 0 として x = a + (y − b)/m とし、放物線に代入します。ただし m = 0 は後で別に調べます。

y² = 4p{a + (y − b)/m}

y² − (4p/m)y − 4pa + (4pb/m) = 0

y² − (4p/m)y − b² + (4pb/m) = 0

最後の行では所属条件を使いました。y = b は P に対応する根です。この二次式の2つの根が b に重なるとき、その式は (y − b)² と一致します。y の係数を比較すると 4p/m = 2b、したがって m = 2p/b です。b ≠ 0 と p ≠ 0 により、この傾きも0ではありません。得られた傾きを通過式に戻し、b² = 4pa を使います。

y − b = (2p/b)(x − a)

by − b² = 2px − 2pa

by = 2p(x + a)

逆に、この直線を放物線へ戻すと、b ≠ 0 のもとで (y − b)² = 0 となります。したがって候補が重解を与えることまで確かめられます。水平線 y = b の場合は y² = 4px から x が1つ決まりますが、上の二次式の重解として得られた接線とは別です。P の近くで放物線を上下の点に分けると、b ≠ 0 の水平線は曲線を横切ります。共有点が1つという数え方だけでは、横向きの放物線の接線を判定できない点に注意します。

b = 0 なら所属条件と p ≠ 0 から a = 0 です。このとき式 by = 2p(x + a) は x = 0、つまり頂点を通る垂直線になります。実際に x = 0 を代入すれば y² = 0 という重解です。頂点を通る有限の傾きの直線 y = mx を代入すると x(m²x − 4p) = 0 です。m ≠ 0 なら頂点のほかに共有点があり、m = 0 なら軸そのものです。図1の縦線は傾きを無理に定義せずに表せます。

平行移動した放物線 (y − k)² = 4p(x − h) では、X = x − h、Y = y − k と置きます。接点 (a, b) の所属条件は (b − k)² = 4p(a − h) です。先の式に接点の相対座標を入れ、元の座標へ戻すと次を得ます。

(b − k)(y − k) = 2p{(x − h) + (a − h)}

b = k でもこの式は使えます。その場合は所属条件から a = h で、接線は x = h です。座標を戻した後も、接点を代入して両辺が一致するか調べます。

接線の導出でどの変形が逆向きに使えるかも確認します。m と b で割った部分には、それぞれ0でないという条件が付いています。そこで得た直線が候補であることを示した後、直線を元の放物線へ代入し、実際に同じ根が2回現れることを確認しました。この逆向きの確認は、必要な条件から出た候補が本当に答えになることを保証します。

また、縦の直線 x = a を一般の点 P に通して代入すると y² = b² です。b ≠ 0 なら y = b と y = -b の異なる2点がありますから、P での接線ではありません。b = 0 のときに限り2点が頂点へ重なります。これで有限の傾きの直線と縦の直線を分けた調査がつながります。

平行移動の式にある a − h と b − k は、接点そのものの座標ではなく頂点からの差です。たとえば接点が頂点より上なら b − k は正、下なら負です。図形を移すと接点も直線も同じ量だけ動きますから、移動後の接線が元の頂点を通ると決めつけてはいけません。縦の接線も x = 0 のままにせず、頂点の横座標 x = h に移します。

基本例題：接点の座標から直線へ

放物線 y² = 8x 上の点 P(2, 4) における接線を求めてください。答えは整数係数の方程式で表します。

まず 4² = 16、8・2 = 16 なので P は曲線上です。4p = 8 より p = 2 であり、p ≠ 0 も満たします。図2のように P を通る接線を考えます。b = 4 は0でないため、導いた式を適用できます。

4y = 4(x + 2)

y = x + 2

逆に、この直線を放物線に代入して、接点で重なることを確認します。

x = y − 2

y² = 8(y − 2)

y² − 8y + 16 = 0

(y − 4)² = 0

y = 4 から x = 2 です。したがって接点は指定の P に戻り、答えは y = x + 2 です。接線は P を通るだけでなく、連立で P に対応する根が重なります。

標準例題：左に開く放物線の頂点

放物線 y² = -12x の頂点における接線を、座標の方程式で求めてください。p = -3 なので p ≠ 0 で、頂点は O(0, 0) です。所属も 0² = -12・0 で確かめられます。

接点の式に a = 0、b = 0 を入れます。

0・y = -6(x + 0)

x = 0

この直線は縦向きです。元の曲線に x = 0 を代入すると y² = 0 となり、頂点で重なります。一方、傾き 2p/b に b = 0 を入れることはできません。式を変形した後に分母が0になることと、接線がないことは別です。答えは x = 0 です。

発展例題：移動した曲線と接点の確認

放物線 (y + 1)² = 12(x − 2) 上の点 P(5, 5) における接線を、整数係数の方程式で求めてください。頂点は (2, -1)、p = 3 です。まず P を戻すと、左辺は 6² = 36、右辺は 12・3 = 36 で、所属が成立します。

X = x − 2、Y = y + 1 と置くと、曲線は Y² = 12X です。P の相対座標は (3, 6) なので、接線は次のように得られます。

6Y = 6(X + 3)

Y = X + 3

y + 1 = x − 2 + 3

y = x

元の式に y = x を代入します。

(x + 1)² = 12(x − 2)

x² − 10x + 25 = 0

(x − 5)² = 0

x = 5、y = 5 と指定の点に戻ります。移動前の接点 (3, 6) を元の座標の点と取り違えると、通過点の検査で誤りに気づけます。答えは y = x です。

誤答から直す：点が曲線上にないとき

放物線 y² = 8x に対して Q(1, 4) における接線を求めるつもりで、4y = 4(x + 1)、つまり y = x + 1 と書く誤りを考えます。図3のように、Q は同じ高さの曲線上の点より左にあります。

原因は、接線の式が b² = 4pa という所属条件を使って導かれたことを忘れた点です。Q では 4² = 16 に対し 8・1 = 8 ですから、Q は曲線上にありません。したがって Q における接線は定義できません。Q を通る別の点での接線を求める問いなら、接点を未知数として別に調べる必要があります。

誤って得た直線も元へ戻してみます。y = x + 1 なら x = y − 1 です。

y² = 8(y − 1)

y² − 8y + 8 = 0

判別式は 64 − 32 = 32 で正です。二次係数は1で0ではないため判別式を使え、異なる2つの共有点があります。修正の順序は、点の所属、直線の候補、連立による重解の確認です。図3で Q と曲線を区別することが、式を適用できない状況の早い発見につながります。

直線の共有点を数えるときは、何を未知数にしたかにも気を配ります。横向きの放物線と水平線は、y を固定して x を求めれば一次式になり、共有点が1つでも重解の二次式は現れません。この場合を接線とする結論は出せません。縦の直線では y の二次式になり、頂点で初めて重解になります。

検算では式の見た目が公式に似ているかだけで判断しません。指定点に戻すことは、接線を求める対象が問題の点だったかを確認します。連立に戻すことは、直線と曲線の接触の仕方を確認します。どちらかを省くと、誤った点を接点とした直線や、点を通るだけの直線を見逃すことがあります。

練習：まず問題を解く

各問の答えは、直線なら整数係数の方程式、点なら整数または分数の座標で表してください。接点が存在しない場合はその理由を記してください。

y² = 16x 上の点 (1, 4) における接線を求めてください。
y² = -8x の頂点における接線を求めてください。
(y − 2)² = 4(x + 1) 上の点 (3, 6) における接線を求めてください。
y² = 4x に対し、点 (2, 2) における接線が存在するか調べてください。
y² = 12x に直線 y = 2x + c が接するとき、c と接点を求めてください。c は分数で表してください。

練習の答えと戻し方

4² = 16・1 より指定点は曲線上です。p = 4 なので接線の式は 4y = 8(x + 1)、答えは y = 2x + 2 です。x = (y − 2)/2 を元の式に入れると y² = 8(y − 2)、すなわち (y − 4)² = 0 です。x = 1 にも戻ります。
頂点 (0, 0) は 0² = -8・0 を満たし、p = -2 です。接線の式から x = 0 です。これを代入すると y² = 0 で、指定の頂点に重なります。負の p でも垂直接線を傾きの分母で割らずに得られます。
左辺は (6 − 2)² = 16、右辺は 4(3 + 1) = 16 で所属します。X = x + 1、Y = y − 2 とすると接点は (4, 4)、p = 1 です。

4Y = 2(X + 4)

2(y − 2) = x + 5

2y = x + 9

これを元の式に戻すと y − 2 = (x + 5)/2 なので、(x + 5)² = 16(x + 1)、すなわち (x − 3)² = 0 です。y = 6 に戻ります。答えは 2y = x + 9 です。

2² = 4 ですが 4・2 = 8 です。指定点は曲線上にないので、その点における接線は存在しません。点を通る接線を別の接点で引けるかどうかは、ここで問われた所属とは別の条件です。
直線を放物線に代入します。x の二次係数は4で0ではないので、判別式を使えます。

(2x + c)² = 12x

4x² + (4c − 12)x + c² = 0

(4c − 12)² − 16c² = 0

144 − 96c = 0

c = 3/2

これを連立に戻すと 4x² − 6x + 9/4 = 0、つまり (2x − 3/2)² = 0 です。x = 3/4、y = 3 となります。3² = 12・(3/4) で曲線上にあり、3 = 2・(3/4) + 3/2 で直線上にもあります。答えは c = 3/2、接点 (3/4, 3) です。

練習5では傾きが2と指定されているため、縦の直線は候補に含まれません。傾きを指定しない問いなら、有限の傾きで表せない直線も別に確認します。条件を広げず、求める対象を問題文に戻して読むことが大事です。