高校数学C ベクトルのなす角—余弦の範囲と非零条件から角度を決める｜武蔵野個別指導塾

内積を長さの積で割って余弦を出し、非零条件と余弦の範囲を確認して、矢印のなす角を決めます。

よくあるのは、理系の高校生が2本の直線を見て鋭角を選び、そのまま矢印のなす角として答える場面です。直線には両向きがありますが、ベクトルには向きがあります。一方の矢印を逆にすると、鋭角が鈍角に変わることもあります。内積の符号と角度の範囲を結びつけ、答えが実際に作れるかまで調べましょう。

角度を求める問いの入口

成分が与えられたときは、まず内積とそれぞれの長さを計算します。次に内積を長さの積で割って余弦を求めます。最後に、0以上π以下という範囲で角を選びます。余弦の値を書いて終わる問いと、角度そのものを求める問いは区別してください。

長さと内積が直接与えられる場合もあります。このときは成分を作る必要はありません。ただし、与えられた数から得られる余弦が -1以上1以下に入るかを確かめます。範囲外なら計算ミスか、そもそも条件を満たすベクトルが存在しないかのどちらかです。

未知数を含む場合は、式を解く前に各ベクトルが零でない条件を出します。二乗して解く場合には符号の情報が失われるため、候補を元の余弦の式へ戻します。端の角0とπも、同方向と逆方向として扱います。

矢印の向きと余弦の範囲

以下、a、bは平面上のベクトルとし、|a|、|b|はそれぞれの長さを表します。ともに零でないとき、始点をそろえた2本の矢印には、0以上π以下のなす角θが定まります。内積の定義から、次の関係が成り立ちます。

a・b = |a||b| cos θ
cos θ = (a・b)/(|a||b|)

2行目で割れるのは、両方の長さが正だからです。零ベクトルには向きが定まらず、なす角を定義できません。内積が0であっても、一方が零なら直角とはいえません。まず分母を確認する習慣が、この区別を守ります。

図1のように、同じ始点から出る矢印の間を0からπの範囲で測ります。直線として見たときの小さい角とは、向きによって異なります。

図1では、aとbのなす角がθです。aと反対向きの矢印を使えば角はπ − θになります。直線の交わり方を見て鋭角を先に選ぶと、この向きの違いが消えてしまいます。

0以上π以下では、余弦は1から -1まで単調に減ります。そのため、この範囲で余弦の値が決まれば角は一意に決まります。内積が正なら0 ≤ θ < π/2、0ならθ = π/2、負ならπ/2 < θ ≤ πです。0とπを除いた場合に、それぞれ鋭角と鈍角になります。ただし、この判定にも両方が非零という前提が必要です。

例えばcos θ = 1/2ならθ = π/3、cos θ = -1/2ならθ = 2π/3です。cos θ = 1ならθ = 0、cos θ = -1ならθ = πです。角度を度数法で答える場合はそれぞれ60°、120°、0°、180°に対応します。問題で指定された単位を最後に確かめます。

根号を含む長さは正の平方根で表します。|a|² = 9なら|a| = 3であり、長さを -3にはしません。また、余弦を求める式の分母にある根号を整理しても、分母が正であることは変わりません。符号は内積の側から読めます。

端点と存在を逆に見る

余弦が範囲内に入ることは、与えられた長さと内積の組を平面上で実現できるかを考える入口です。正の長さを持つ一方の矢印を水平に置き、もう一方をその始点から余弦に対応する角だけ傾ければ、指定された長さの矢印を描けます。こうして作った角の内積は、定義によって指定値に戻ります。範囲内という条件は単なる計算結果の点検ではなく、実際に組を作れることにもつながります。

端点では図が重なって見えるため、角がないと判断しがちです。しかし同方向なら角は0、逆方向なら角はπと定義の範囲に含まれます。両方が非零であることを確かめれば、矢印が同じ直線に重なる場合も除外しません。一方、片方が零なら同じ図の点に描かれても方向を選べず、角は決まりません。この2種類の違いは、長さが正かどうかで判定できます。

小数で得た値が1をわずかに超えた場合は、すぐに存在しないと決めず、元の根号や分数で計算をやり直します。途中の丸めが原因か、与えられた条件自体が矛盾するのかを、正確な値で区別するためです。反対に、正確な分数が範囲を超えたなら、図を描き直しても条件は両立しません。

基本例題：成分から鈍角を選ぶ

a = (2, 0)、b = (-1, √3)とします。aとbのなす角を、0以上π以下の弧度法で求めてください。

図2のようにaは右向き、bは左上向きです。図は答えの符号を点検する助けになりますが、角の正確な値は内積から求めます。

まず成分から長さを出します。どちらも正なので、なす角を定義できます。

|a| = √(2² + 0²)
    = 2
|b| = √((-1)² + (√3)²)
    = √4
    = 2
a・b = 2・(-1) + 0・√3
    = -2

θをなす角とすると、定義に代入して次を得ます。

cos θ = -2/(2・2)
      = -1/2
θ = 2π/3

内積が負なので鈍角という判定も一致します。逆にθ = 2π/3を代入すると、|a||b| cos θ = 2・2・(-1/2) = -2となり、成分から計算した内積に戻ります。図2の矢印の向きもこの鈍角に対応しています。

標準例題：根号を整理して角度に戻す

p = (1, 2)、q = (3, 1)のなす角をθとします。cos θを根号を含む形で求め、θが鋭角、直角、鈍角のどれかを答えてください。

角を特別な値と決めつけず、まず余弦を正確に求める方針を取ります。長さは平方根で表し、分母の整理後も正負を失わないようにします。

|p| = √(1² + 2²)
    = √5
|q| = √(3² + 1²)
    = √10
p・q = 1・3 + 2・1
    = 5

両方の長さは正です。したがって、次のように割れます。

cos θ = 5/(√5・√10)
      = 5/√50
      = 1/√2
      = √2/2

余弦は正なのでθは鋭角です。この例ではさらにθ = π/4と求まりますが、指定された答えは余弦と角の種類です。√2/2は正であり、その二乗は1/2ですから、根号の整理に符号の誤りはありません。

元の条件へ戻すと、√5・√10・(√2/2) = 5です。これは成分から得た内積に一致します。また、余弦の値は -1以上1以下なので、平面上の角として矛盾しません。根号の式を約分した後にこの範囲を確認すると、長さを二乗のまま使った誤りにも気づきやすくなります。

発展例題：二乗して出た候補を選ぶ

実数tに対し、u = (1, 0)、v = (t, 1)とします。uとvのなす角が2π/3となるtをすべて求めてください。答えは根号を使って表します。

vの第2成分は1なので、どの実数tでも零ベクトルになりません。uも非零です。よって任意のtについて角を考えることができ、条件は余弦の等式で表せます。

|u| = 1
|v| = √(t² + 1)
u・v = t
cos(2π/3) = -1/2
t/√(t² + 1) = -1/2

分母は正です。右辺が負なので、元の式を満たすにはt < 0が必要です。この符号を控えてから両辺を二乗します。

t²/(t² + 1) = 1/4
4t² = t² + 1
3t² = 1
t² = 1/3
t = ±√3/3

二乗後の式には正の候補も現れます。しかしt < 0に合うのはt = -√3/3です。必要条件から得た候補を、元の式に戻して十分か確かめます。

|v| = √(1/3 + 1)
    = 2√3/3
u・v = -√3/3
(u・v)/(|u||v|) = (-√3/3)/(2√3/3)
                = -1/2

なす角の範囲は0以上π以下なので、余弦が -1/2となる角は2π/3です。したがって答えはt = -√3/3です。正の候補では内積が正となり、指定された鈍角を作れません。

条件の実現可能性は逆方向にも使えます。たとえば長さが2と3で内積が7だと指定された場合、余弦は7/6となります。これは1を超えるため、その条件を満たす非零ベクトルの組は存在しません。角度を無理に選ばず、長さと内積の組自体を見直します。内積が6なら余弦は1であり、端の角0として実現します。

直線の鋭角に置き換える誤り

次の答えを点検します。「非零ベクトルa、bの内積が負なので、2本の直線の鋭角をなす角とする」。内積が負なら、指定された矢印のなす角はπ/2より大きくπ以下です。逆向きならπです。逆向きでない場合は鈍角になり、一方を反転して得る直線の鋭角とは、使っているベクトルの組が異なります。

図3のように、bと -bは同じ直線上でも反対向きです。aとbの角がθなら、aと -bの角はπ − θです。

図3を見ながら、元の矢印を指でたどってください。直す手順は、両方が非零か調べ、内積の符号を出し、求めた余弦に対応する0以上π以下の角を選ぶことです。図だけで判断しにくい場合も、この順なら直線の向きと矢印の向きを混ぜずに済みます。

零ベクトルを含む場合も別の失敗です。例えばaが零でbが非零ならa・b = 0ですが、|a||b| = 0なので余弦の式で割れません。直角と修正するのではなく、なす角は定義されないと答えます。

練習：角度を決める前に条件を見る

次の5問を解いてから、下の解答と比べてください。角度は指定のない限り0以上π以下とし、弧度法で答えます。

1. a = (1, 1)、b = (0, 2)のなす角を求めてください。
2. |a| = 4、|b| = 5、a・b = -10のとき、なす角を求めてください。
3. a = (0, 0)、b = (2, -3)のなす角を求められるか、理由とともに答えてください。
4. 非零ベクトルa、bについて、|a| = 3、|b| = 2、a・b = -7という条件が実現するか答えてください。
5. a = (1, 0)、b = (s, 1)のなす角がπ/4となる実数sをすべて求めてください。答えは整数で表します。

練習の解答と戻し方

1. 長さと内積を成分から計算します。

|a| = √(1² + 1²) = √2
|b| = √(0² + 2²) = 2
a・b = 1・0 + 1・2 = 2
cos θ = 2/(2√2) = √2/2
θ = π/4

両方とも非零です。逆に√2・2・(√2/2) = 2となり、与えた成分の内積に戻ります。正の内積と鋭角も対応しています。

2. 両方の長さが正なので定義を使えます。

cos θ = -10/(4・5)
      = -1/2
θ = 2π/3

戻すと4・5・(-1/2) = -10です。長さと内積の指定を満たし、余弦も許される範囲にあります。

3. aの長さは0です。向きが定まらず、分母|a||b|も0なので、なす角は定義されません。内積を計算すると0ですが、それは直角を意味しません。

4. 条件が実現すると仮定すると、余弦は次の値になります。

cos θ = -7/(3・2)
      = -7/6

これは -1より小さいため、実現しません。内積は長さの積の負の値より小さくはなれないため、どの向きを選んでも指定の -7に戻せません。

5. aは非零で、bも第2成分が1なので非零です。余弦が正であるためs > 0に注意して解きます。

|a| = 1
|b| = √(s² + 1)
a・b = s
s/√(s² + 1) = √2/2
s²/(s² + 1) = 1/2
2s² = s² + 1
s² = 1
s = ±1

s > 0から候補はs = 1です。元のベクトルに戻すとb = (1, 1)、長さは√2、内積は1なので、余弦は1/√2 = √2/2です。角は確かにπ/4であり、負の候補は指定の余弦を満たしません。

手元に残す要点

非零を確認し、内積を長さの積で割ります。
余弦は -1以上1以下、角は0以上π以下です。
二乗した候補は符号と元の式に戻して選びます。

どこで止まったかを見分ける

答えが鋭角になったのに内積が負なら、直線と矢印の角を混ぜていないか確認します。内積と角の種類が合うのに数値が合わないなら、長さの平方根と分母の積を別々に計算し直します。

個別指導で式を確かめるときは、まず「なぜこの分母で割れるか」を説明してみてください。続けて、出した角の余弦を長さの積に掛け、元の内積へ戻します。角度を選ぶ前後の両方で矢印の向きを確かめれば、鈍角も端の角も同じ定義から扱えます。