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高校数学III 根号を含む数列の極限—有理化と次数比較を組み合わせて値を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 極限を掘り下げる

根号の差を共役で有理化し、外側のnを残す例題と桁落ちの説明から、極限値を導く手順をたどります。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで、根号の中も外の項も大きくなるからと、無限大どうしの差をゼロにする場面です。大きくなる速さが同じでも、差がゼロに近づくとは限りません。差を積に変え、残った分子と分母がどの程度の大きさかを比べると、有限の値が見えてきます。ここでは n を正の整数とし、n が限りなく大きくなるときの数列を調べます。

どの形で手が止まるか

根号を含む式には、見た目の似た異なる問いがあります。第1は √(n²+an)-n のような差です。両方の項が大きくなるので、それぞれの極限を引くことはできません。共役な式を掛け、差を商へ変えてから n で割ります。

第2は n/(√(n²+b)+n) のような商です。この形では分母から n をくくると、分子の n と約分できます。有理化を使う前に、分母を正の n で割れば足りるかを見ます。第3は n(√(n²+c)-n) のように、差の外に増大する因子がある形です。括弧内がゼロに近づくことだけでは積を決められません。有理化後に外側の n も含めて比べます。

いずれも、式の部品に別々の記号を代入するのではなく、もとの一つの数列の値を保つ変形をします。無限大は実数の一つとして引き算できる数ではなく、増大の様子を表す記号です。したがって「∞ − ∞ = 0」という計算は根拠になりません。

共役を掛けた後に何が残るか

A、B が非負のとき、(√A-√B)(√A+√B) = A-B です。差に対する和を共役な式と呼びます。元の値を変えないため、分子と分母の両方に同じ共役な式を掛けます。分母に置く共役がゼロでないことも必要です。

図1のように、差は共役との積で根号の外へ出ます。残った商では分子と分母の大きさを同じ基準で測ります。図の A、B は非負で、和が正の場合です。両方ゼロならその和で割れないため、別に扱います。

n は正なので √(n²) = n です。例えば √(n²+6n) = n√(1+6/n) と書けます。根号内を n² で割った後、外へ出るのは n² ではなく n です。n が正という条件がこの操作を支えます。

また、uₙ → 0 のとき √(1+uₙ) → 1 です。ここで扱う項は根号内が正なので、この連続性を使えます。分母の極限が正なら、その逆数の極限も取れます。たとえば √(1+6/n)+1 は 2 に近づき、各 n で正です。

数値を計算するときも変形が役立ちます。近い大きな数どうしを引くと、丸められた数字の差に誤差が目立つことがあります。これが桁落ちです。有理化は数学上は等しい式を作り、計算上は小さい差を直接引く操作を避けます。ただし数値が近いという観察は極限の証明そのものではありません。

基本：差が残す定数

例題1。正の整数 n に対して aₙ = √(n²+6n)-n とします。lim[n→∞] aₙ を正確な値で求めてください。

根号の中は正で、共役 √(n²+6n)+n も正です。したがって、これを分母に置けます。分子の積を計算してから n で割ります。

aₙ = (√(n²+6n)-n)(√(n²+6n)+n)/(√(n²+6n)+n)
   = ((n²+6n)-n²)/(√(n²+6n)+n)
   = 6n/(√(n²+6n)+n)
   = 6/(√(1+6/n)+1)

6/n → 0 なので、分母は 2 に近づきます。その値はゼロでないため商の極限を取れて、答えは 3 です。図2のように、n を大きくすると差は 3 に近づきますが、どの有限の n でも差がそのまま 3 になるわけではありません。

もとの式に戻して確かめます。根号内は (n+3)² より 9 小さいので、√(n²+6n) < n+3 です。また根号内は n² より大きいため、aₙ は正です。したがって 0 < aₙ < 3 となり、3 に下側から近づくという結果と矛盾しません。n = 1 では √7-1、n = 2 では 2 です。小さい n の値が答えと異なっても、極限の主張には反しません。

仮に各項の極限を先に求めると、根号も n も限りなく大きくなり、差は決まりません。実際、根号の中の 6n が n² より次数の低い項であっても、差の極限には定数として残りました。低い次数の項を最初に消すのではなく、差を処理した後に比べることが必要です。

別の確認として、基本例題の式を 3 との差で見ます。先ほどの正の分母を利用すると、次のように整理できます。

3-aₙ = 3-6/(√(1+6/n)+1)
     = 3(√(1+6/n)-1)/(√(1+6/n)+1)
     = (18/n)/(√(1+6/n)+1)²

最後の等号でも共役を掛けています。右辺は正で、分子は0へ、分母は4へ向かいます。したがって3-aₙは正の側から0に近づき、aₙは3より小さい側から3に収束します。数値が 3 に見える桁まで近づいても、有限の n では等しくないことがこの式から読み取れます。

標準：商は分母から尺度をそろえる

例題2。正の整数 n に対し bₙ = n/(√(n²+5)+n) とします。lim[n→∞] bₙ を分数で求めてください。

分母は正です。n も正なので、分子と分母を n で割れます。根号から n を出す際には √(n²) = n を使います。

bₙ = n/(n√(1+5/n²)+n)
   = 1/(√(1+5/n²)+1)

5/n² → 0 なので、分母は 2 に近づきます。分母の極限がゼロでないことから、答えは 1/2 です。もとの分母は 2n より大きいので、各項は正で 1/2 より小さくなります。求めた値に下側から近づくこととも合います。

この問題で共役を使うことも可能ですが、差を作る必要がない以上、まず分母の大きさに注目する方が短く済みます。分母に n² があるように見えても、根号全体は n 程度です。根号の内側と外側を同じ次数として数えないようにします。

発展：ゼロへ向かう差に n を掛ける

例題3。正の整数 n に対し cₙ = n(√(n²+8)-n) とします。lim[n→∞] cₙ を正確な値で求めてください。

共役は正です。外側の n を残したまま有理化し、その後に分母から n を取り出します。

cₙ = n・((n²+8)-n²)/(√(n²+8)+n)
   = 8n/(√(n²+8)+n)
   = 8/(√(1+8/n²)+1)

8/n² → 0 であり、分母は 2 に近づきます。よって答えは 4 です。括弧内だけなら、有理化により 8/(√(n²+8)+n) → 0 です。しかし外側の n が増大するため、括弧内の極限がゼロという情報だけでは積は決まりません。

元の条件へ戻ると、根号は n より大きいので cₙ > 0 です。さらに √(n²+8)+n > 2n だから cₙ < 4 です。この上下の位置は得られた極限と整合します。基本例題では差そのものが定数に近づき、ここでは差がゼロへ向かう速度を n が打ち消します。分子に残るのが 6n なのか 8 なのかが、その違いを生みます。

数値計算で大きな n を試す場合、元の差は小さい数を大きな数の引き算で得ます。表示桁数が足りないと、正しい差を読み取れないことがあります。有理化後の 8/(√(1+8/n²)+1) は近い大きな数の引き算を含まず、比較しやすい形です。十分大きな n で値が 4 に近いことは点検になりますが、上の極限の議論が根拠です。

この違いは根号内の増分にも表れます。n² に 6n を足す場合、平方の差に現れる分子は n に比例します。一方、n² に 8 を足す場合、分子は定数です。どちらも共役の分母は n 程度ですが、後者の差はその分だけ小さくなります。外に n がある場合には、その縮小と増大を一緒に考えます。

分母が n 程度という見通しは計算の方向を選ぶためのものです。実際の値を決めるときには、n で割った後の根号内と分母の極限を明示します。分母の極限がゼロなら同じ商の極限の規則はそのまま使えません。

誤答をほどく：差と積を混ぜない

例題3に対して「√(n²+8) と n はともに無限大だから差は 0。したがって cₙ = 0」とする答えを考えます。この推論は差の段階で止まります。両方が増大するという情報だけでは差は決まりません。例題1は差が 3 に向かう反例です。

図3のように、例題3では差の極限がゼロと示せても、外側の n を残して積全体を評価し直します。ゼロに近づく量と増大する量の積は、その速度によって変わるからです。共役を使った後、分子の 8n と分母の n を同じ尺度で比べれば 4 を得ます。

修正の際は、まず「何の極限を求めているか」を丸で囲みます。括弧内と積全体を別の数列として記し、等号で結べる式変形を先に行います。さらに、共役を分子だけに掛けていないか、分母が正か、根号から出した n の符号が正かを確かめます。これらの確認は、答えを暗記していても省けない部分です。

自分で試す5問

いずれも n は正の整数です。極限値を正確な整数または分数で求めてください。途中では分母がゼロでない理由も示します。

lim[n→∞] (√(n²+10n)-n)
lim[n→∞] n/(√(n²+7n)+2n)
lim[n→∞] n(√(n²+12)-n)
lim[n→∞] (√(9n²+4n)-3n)
lim[n→∞] n(√(n²+2n+9)-n-1)

解答と確かめ

共役は正です。差を商にしてから n で割ります。

√(n²+10n)-n = 10n/(√(n²+10n)+n)
              = 10/(√(1+10/n)+1)
              → 5

もとの根号は n より大きく、(n+5)² は根号内より 25 大きいので、差は 0 と 5 の間です。答えの 5 へ下から近づく位置と合います。

分母は正です。根号から正の n を出します。

n/(√(n²+7n)+2n) = 1/(√(1+7/n)+2)
                       → 1/3

元の分母は 3n より大きく、各項は 0 と 1/3 の間です。分母の極限は 3 であり、商の操作に問題はありません。

共役は正です。外側の n を保って計算します。

n(√(n²+12)-n) = 12n/(√(n²+12)+n)
                      = 12/(√(1+12/n²)+1)
                      → 6

元の差は正で、共役は 2n より大きいため、積は 6 より小さい正の数です。答えはその境界に一致します。

共役 √(9n²+4n)+3n は正です。√(9n²) = 3n を用います。

√(9n²+4n)-3n = 4n/(√(9n²+4n)+3n)
                    = 4/(√(9+4/n)+3)
                    → 2/3

元の差は正です。また (3n+2/3)² は根号内より 4/9 大きいので、差は 2/3 未満です。極限値の位置が確かめられます。

n+1 は正で、共役 √(n²+2n+9)+n+1 も正です。先に (n+1)² を引くことが要点です。

n(√(n²+2n+9)-n-1)
= 8n/(√(n²+2n+9)+n+1)
= 8/(√(1+2/n+9/n²)+1+1/n)
→ 4

根号内は (n+1)² より 8 大きく、元の括弧は正です。共役は 2n より大きいため、元の積は 4 未満です。n+1 の全体を共役に含めることで、定数項の引き忘れも防げます。

練習5のように括弧に定数がある場合、√(n²+2n+9)-n だけを有理化してから 1 を引く方法もあります。ただし、その途中で再び近い数の差が現れます。最初から n+1 を一つの項として共役を選ぶと、平方の差に残る数を直接調べられます。どちらを選んでも元の式と等しいことを各行で確かめるのが判断の基準です。