高校数学III 文字を含む等比数列—収束範囲と境界の値を条件から絞り込む｜武蔵野個別指導塾

公比1と-1の端点に加え、係数が0になる値も元の一般項で確かめ、等比数列が収束する文字の範囲を絞ります。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートに公比の絶対値が1より小さい範囲を書き、その両端を調べずに答えを囲む場面です。公比が1なら項は一定ですが、-1なら符号が交互に変わります。さらに、文字を含む係数が0になると、振動するはずの部分が消えることもあります。文字を動かす問題では、開区間を得た後に端点と係数を元の数列へ戻すことが、答えの範囲を決める手順です。

文字条件の問いを3つに分ける

1つ目は、公比を文字で表した数列について、有限の値に収束する文字の範囲を求める型です。まず公比の絶対値が1より小さい範囲を解きます。その結果の端点では、元の式が定数列になるか、正負を繰り返すかを別々に確かめます。端点は不等式の計算の余りではなく、数列の性質が変わる場所です。

2つ目は、公比の前にも文字を含む係数がある型です。公比がどの値であっても、係数が0なら各項は0です。公比による分類を始める前に係数0を取り出すと、その例外を落としません。逆に係数が0でないと確認した後なら、公比1と-1を元の項で見比べられます。

3つ目は、異なる底の累乗を含む分数の型です。分子と分母を最も大きい正の底の累乗で割り、絶対値が1より小さい比を作ります。分母の極限が0でないかも調べます。これは和を求める問題ではなく、各番号に対応する数列の項の極限を調べる問題です。数列の極限の範囲で、等比数列の文字条件に絞って考えます。

公比と係数を別々に見る

nを正の整数、Cとrを実数の定数とし、uₙ = C・rⁿを考えます。ここで「収束」は有限の実数に近づくことを意味します。正の無限大や負の無限大に向かう場合も、この意味では収束ではありません。文字がある問題では、文字の値を1つ固定してからCとrを定数として扱います。

Cが0なら、rの値にかかわらず全項が0です。Cが0でないときは次のように分けます。|r| < 1ならrⁿは0に近づくので、uₙも0に収束します。r = 1ならuₙは常にCで、Cに収束します。r = -1なら偶数項はC、奇数項は-Cです。Cが0でないのでこの2つは異なり、数列全体は収束しません。

r > 1では絶対値が限りなく大きくなり、Cの符号に応じて正または負の無限大へ向かいます。r < -1では絶対値が大きくなりながら符号が交互に変わります。どちらも有限値には収束しません。偶数項と奇数項が異なる値に近づく場合は、両方を含む数列全体が1つの値に近づくことはできない、という判定を使います。

図1のように、係数0を先に確認してから公比を見ると、端点の扱いが整理できます。矢印の先に書いた値は、その条件を満たした場合の極限です。

公比に文字が入っているときは、例えば|a − b| < 1を-bと読み違えず、-1 < a − b < 1と書き直します。両辺にbを加えた後、その開区間の両端を元の式に代入します。端点を含むかは不等号の形から推測せず、各項が実際に何になるかで判断します。

また、C = 0を調べるときは、変形前の一般項がその文字の値でも定義されていることを確かめます。今回のC・rⁿではnが正の整数なので、r = 0でも0ⁿ = 0です。係数0のときに0で割ってしまう変形は使いません。条件を絞る計算と、その条件を満たすことの確認は別の仕事です。

基本例題：端点を一般項に戻す

問題。実数aに対し、nを正の整数としてuₙ = (a − 2)ⁿとします。uₙが有限の値に収束するaの範囲を求め、各場合の極限値を示してください。範囲は不等式で、極限値は整数で答えてください。

公比をr = a − 2と置きます。係数は1で0ではありません。まず絶対値が1より小さい範囲を求めます。

|a - 2| < 1
-1 < a - 2 < 1
1 < a < 3

この範囲では公比の絶対値が1より小さく、lim[n→∞] (a − 2)ⁿ = 0です。ただし、これで収束する値をすべて調べたわけではありません。端点a = 1とa = 3を元の式へ戻します。

a = 1 のとき uₙ = (-1)ⁿ
a = 3 のとき uₙ = 1ⁿ = 1

前者では奇数項が-1、偶数項が1なので収束しません。後者は全項が1なので1に収束します。a < 1ならa − 2 < -1で、項の絶対値が大きくなり、符号も交互です。a > 3ならa − 2 > 1で、項は正の無限大へ向かいます。したがって答えは次のとおりです。

1 < a < 3 では極限値 0
a = 3 では極限値 1
収束する範囲は 1 < a ≤ 3

図2のように、数直線の左端は含まず、右端は含みます。線の両端に同じ印を付けないことが、2つの代入結果に対応します。a = 2では公比0なので、正の整数nに対する各項は0です。開区間内の値も元の式で確かめられます。

端点の判定だけでなく、区間の外も残さず確認しました。これにより、示した範囲の値が収束することと、それ以外が収束しないことの両方が得られます。有限の極限値を求める問題では、無限大に向かうケースを有限値への収束に含めないようにします。

標準例題：係数が0になる値を救い出す

問題。実数aに対し、vₙ = (a + 1)(a − 2)ⁿとします。nは正の整数です。vₙが有限の値に収束するaの範囲を集合として求め、それぞれの極限値を整数で示してください。

まず係数a + 1が0となる値を調べます。

a + 1 = 0
a = -1
vₙ = 0・(-3)ⁿ = 0

公比は-3ですが、各項は0です。よってa = -1は収束条件に含まれます。この値を先に外すことで、残りでは係数が0でないことを使えます。

次にa ≠ -1とします。公比の絶対値が1より小さい範囲は、基本例題と同じ計算で次のようになります。

|a - 2| < 1
1 < a < 3

この範囲では、固定したaに対してa + 1は一定なので、極限値は0です。次に境界を調べます。

a = 1 のとき vₙ = 2・(-1)ⁿ
a = 3 のとき vₙ = 4・1ⁿ = 4

a = 1では偶数項が2、奇数項が-2となり、収束しません。a = 3では全項が4なので4に収束します。a < 1でa ≠ -1なら公比は-1より小さく、係数は0でないため、偶数項と奇数項はそれぞれ反対の符号を保ちながら絶対値が大きくなります。a > 3では公比が1より大きく、係数も正なので項は正の無限大へ向かいます。

以上を合わせた答えは、a = -1または1 < a ≤ 3です。a = -1と1 < a < 3の極限値は0、a = 3の極限値は4です。元の式に戻すと、例外のa = -1では係数が確かに0であり、a = 3では係数が4、公比が1です。範囲と極限値を1組ずつ結び付けておくと、端点の値を0と誤記せずに済みます。

ここで「公比の絶対値が1以上なら収束しない」とまとめると、a = -1の定数列を失います。反対に「係数が0になる値を常に追加する」だけでは、係数を含む分数式などでその値が定義域に入るかを見落とします。この問題では元の式が全実数aで定義されているため、追加できました。

発展例題：累乗の比に直して極限を設計する

問題。実数tと正の整数nについて、wₙ = (2ⁿ + t・5ⁿ)/(3ⁿ + 5ⁿ)とします。wₙの極限値が2/5となるtを分数で求めてください。また、そのtについて元の数列が実際に2/5へ近づくことを示してください。

分母の各項は正なので、どの正の整数nでも分母は0ではありません。分子と分母を5ⁿで割り、底の比に直します。

wₙ = ((2/5)ⁿ + t)/((3/5)ⁿ + 1)
lim[n→∞] (2/5)ⁿ = 0
lim[n→∞] (3/5)ⁿ = 0
lim[n→∞] ((3/5)ⁿ + 1) = 1
lim[n→∞] wₙ = (0 + t)/(0 + 1)
lim[n→∞] wₙ = t

2つの公比はそれぞれ0と1の間にあり、その累乗は0に収束します。分母の極限は1で0ではないので、分子と分母の極限の商を取れます。指定された極限値との条件から、t = 2/5です。

元の数列へ代入して、指定された値との差も確認します。

wₙ = ((2/5)ⁿ + 2/5)/((3/5)ⁿ + 1)
wₙ - 2/5 = ((2/5)ⁿ - (2/5)(3/5)ⁿ)/((3/5)ⁿ + 1)
lim[n→∞] (wₙ - 2/5) = 0

分子の2つの項は0に近づき、分母は1に近づくので、差は0です。したがって元の条件を満たします。分母を最大の底の累乗で割るのは、単に大きな数を消すためではありません。残る累乗が0に近づき、分母が0以外に近づくという、商の極限を使う条件を見える形にするためです。

この例でt = 0を代入しても分子の2ⁿは残りますが、その比は0へ向かいます。tの項が消える場合も同じ変形に含まれます。また、分子と分母を2ⁿで割ると、分母に(5/2)ⁿが残り、そのまま有限の極限の商として扱えません。どの累乗で割れば残る比が1未満になるかを先に見ます。

誤答を直す：開区間を答えにする前に

基本例題について「|a − 2| < 1より1 < a < 3。したがって収束範囲は1 < a < 3」と答えたとします。この途中式は、極限値が0になる範囲を示しています。しかし、有限の値に収束する範囲を尋ねられているので、0以外への収束も調べる必要があります。

図3のように、左端a = 1では-1と1を繰り返します。一方、右端a = 3では1が続きます。右端を追加して1 < a ≤ 3と直します。左端も機械的に追加するのではなく、奇数項と偶数項の違いを理由に除きます。

別の誤りは、標準例題でa = -1を除くことです。|a − 2| = 3という公比の大きさだけを見れば項が大きくなるように見えますが、その前の係数は0です。0でない係数の場合の分類をそのまま当てず、先に元の積を計算します。さらに、a = 1で係数2を見落とすと、振動する2つの値を-1と1と書いてしまいます。公比と係数は役割が違うので、どちらも一般項から読み直します。

発展例題では、分子の2ⁿを先に0として消す書き方も危険です。2ⁿ自体は0に近づきません。5ⁿで割った後の(2/5)ⁿが0に近づく、と説明する必要があります。分母も同時に割り、その極限が1であることを確かめれば、商の極限を使う根拠がそろいます。

練習問題

いずれもnは正の整数、文字は実数です。収束は有限の値への収束を意味します。範囲は不等式または集合で、極限値は整数か既約分数で答えてください。

1. pₙ = (b + 3)ⁿが収束するbの範囲と、各場合の極限値を求めてください。
2. qₙ = (c − 6)(c + 1)ⁿが収束するcの範囲と、各場合の極限値を求めてください。
3. rₙ = (2d − 1)ⁿが-1から1までの範囲の値0に収束するdの範囲を求めてください。
4. sₙ = (4ⁿ + k・7ⁿ)/(6ⁿ + 7ⁿ)の極限値が-3/7となるkを求めてください。
5. hₙ = (m − 2)(m − 4)ⁿが収束するmの範囲と、各場合の極限値を求めてください。

解く前に、端点と係数0の値を別の行に書いてください。4は商の分母が各項で0でないことと、変形後の分母の極限を調べます。

練習の答えと確かめ

1. 公比b + 3について、まず絶対値が1より小さい範囲を求めます。

-1 < b + 3 < 1
-4 < b < -2

この範囲の極限値は0です。b = -4ではpₙ = (-1)ⁿで収束せず、b = -2ではpₙ = 1ⁿ = 1です。範囲外では公比の絶対値が1より大きく有限値に収束しません。答えは-4 < b ≤ -2で、b = -2の極限値は1です。元の式の底に戻すと右端の底は確かに1です。

2. 係数が0となるc = 6ではqₙ = 0です。それ以外では公比c + 1を調べます。

-1 < c + 1 < 1
-2 < c < 0

c = -2ではqₙ = -8・(-1)ⁿで収束せず、c = 0ではqₙ = -6・1ⁿ = -6です。外側は、係数0のc = 6を除き、公比の絶対値が1より大きいので有限値に収束しません。答えは-2 < c ≤ 0またはc = 6です。極限値は-2 < c < 0とc = 6で0、c = 0で-6です。c = 6を元の積へ戻すと係数が0で、公比7でも全項が0になります。

3. 係数は1なので、公比の絶対値が1より小さいことが0への収束条件です。

-1 < 2d - 1 < 1
0 < 2d < 2
0 < d < 1

d = 0では底が-1で振動し、d = 1では底が1で極限値は1です。外側は底の絶対値が1より大きく、0へ近づきません。したがって答えは0 < d < 1です。例えば範囲内のd = 1/2では底が0で、全項が0です。

4. 7ⁿは正なので分母を含めて割ることができます。元の分母6ⁿ + 7ⁿも正です。

sₙ = ((4/7)ⁿ + k)/((6/7)ⁿ + 1)
lim[n→∞] sₙ = (0 + k)/(0 + 1)
lim[n→∞] sₙ = k
k = -3/7

元の式にk = -3/7を戻すと、7ⁿで割った分子は(4/7)ⁿ − 3/7、分母は(6/7)ⁿ + 1です。分母の極限は1なので、指定の-3/7に近づきます。

5. m = 2では係数が0で、hₙは全項0です。係数が0でない場合の公比はm − 4です。

-1 < m - 4 < 1
3 < m < 5

m = 3ではhₙ = (-1)ⁿで収束せず、m = 5ではhₙ = 3・1ⁿ = 3です。それ以外の区間外では、m = 2を除き、公比の絶対値が1より大きいので有限値には収束しません。答えはm = 2または3 < m ≤ 5です。極限値はm = 2と3 < m < 5で0、m = 5で3です。m = 2の底は-2ですが、元の係数が0なので各項は0です。

手元に残す要点

係数0を元の一般項で先に調べます。
係数が0でなければ、公比の絶対値が1未満の範囲を解きます。
公比1と-1はそれぞれ代入し、定数列と振動を区別します。
分数型は大きい底の累乗で割り、分母の極限が0でないことを見ます。
範囲の内外と端点を元の条件へ戻し、極限値を添えます。

ノートのどこで止まったかを見る

不等式は解けるのに答えが欠ける場合は、開区間の下に両端を代入した2行があるかを見ます。片方に丸、片方に除外の印を付け、その理由を項の並びで書けるか確認します。係数がある場合は、公比の表より前に係数0の候補を書いたかも調べます。

分数型で迷う場合は、割る累乗を分子と分母のすべての項に適用できているか、そして分母の極限を計算したかを見ます。個別指導では、途中式の最初に戻って数を1つ固定し、元の項の並びと変形後の並びを照合します。端点と例外を元の数列で確かめる習慣が、文字条件の答えを閉じます。