高校数学III 無限等比数列の極限—公比の境界と初項ゼロの例外を分けて考える｜武蔵野個別指導塾

初項が0の場合を分けてから公比を5区分で調べ、偶奇の項を使って境界の振る舞いを見極めます。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで公比1と-1を同じ扱いにする場面です。どちらも絶対値は1ですが、1を掛け続けると値は変わらず、-1を掛け続けると符号が交互に変わります。最初の値が0なら、その違いも項には現れません。何を掛けているかと、掛けられる初項が何かを分けて調べると、境界の判断がはっきりします。

ここで扱うのは数列の項そのものの極限です。項を足し合わせた和は扱いません。数列の極限は数学IIIの学習範囲に含まれます。

要点（結論から）

• 初項0なら公比に関係なく全項0です。
• 初項が0でないとき、|r| < 1なら極限は0、r = 1なら初項です。
• r = -1では2つの値が交代し、r < -1では符号を変えながら大きくなります。

問いの形を見分ける

1つ目は、具体的な公比を持つ数列の極限を求める形です。公比が負なら符号が交互に変わりますが、絶対値が1より小さければ各項の大きさは0に近づきます。符号の変化だけで発散と決めず、大きさも見ます。

2つ目は、公比が1や-1のときに収束するかを問う形です。絶対値が1という共通点だけでは結論が出ません。1では同じ値が続き、-1では一般に2つの値が交互に現れるので、偶数番と奇数番を別々に確かめます。

3つ目は初項を文字として、公比ごとの振る舞いを分類する形です。公比の大小を分ける前に初項が0かどうかを調べると、0に何を掛けても0という例外を落としません。初項が負のときは、正の公比が1より大きい場合の無限大の向きにも注意します。

公比と初項が決めるもの

初項をa、公比を実数rとし、nを正の整数として、数列をaₙ = arⁿ⁻¹と表します。n = 1では指数が0なのでa₁ = aです。r = 0でも初項はaで、2項目からは0です。以下のrⁿ⁻¹はn = 1のとき1とします。

数列が有限の値Lに収束するとは、nを十分大きくすると項とLの差の絶対値をいくらでも小さくできることです。有限の値に収束しない場合を発散と呼びます。正の無限大や負の無限大へ向かう場合も有限値への収束ではなく、発散の一種です。2つの値を行き来する場合は、どちらの無限大へも向かいません。

図1のように、まず初項が0かを見てから公比を数直線上で分けます。初項が0なら、公比にかかわらず全項が0です。以下、初項が0でない場合を考えます。

図1の境界-1と1は、それぞれ隣の区間から切り離して調べます。|r| < 1ならrⁿ⁻¹は0に収束し、aₙも0に収束します。r = 0はこの範囲に含まれ、2項目以降が0なので同じ結論です。

r = 1なら全項がaで、極限はaです。r = -1ならaと-aが交互に現れ、aが0でないため一致せず発散します。r > 1なら絶対値が大きくなり、a > 0では正の無限大、a < 0では負の無限大へ向かいます。r < -1なら絶対値が大きくなりながら符号が交互に変わるため、有限値にも正負いずれか一方の無限大にも向かいません。

この分類の根拠として、0 < q < 1ではqⁿ→0を使います。たとえばq = 1/(1+h)、h > 0と置けます。二項定理から(1+h)ⁿ ≥ 1+nhですから、0 < qⁿ ≤ 1/(1+nh)→0です。逆にq > 1ではq = 1+hと置けばqⁿ ≥ 1+nh→正の無限大です。負の公比は絶対値と符号を別々に見れば、これらの正の数の場合に戻せます。

公比が負のとき、連続する2項の比は負ですが、1項おきに見れば公比はr²です。この見方は、増大と交代を同時に判断する際に役立ちます。たとえばr < -1ならr² > 1なので、奇数番だけでも絶対値は増大します。偶数番も同様に増大し、初項が0でなければ両者の符号は逆です。単に「振動する」と書くだけでは、値が一定の範囲にとどまるr = -1との違いが伝わりません。

一方、-1 < r < 0ならr² < 1です。奇数番も偶数番も大きさが小さくなるので、両方とも0へ近づきます。偶奇の2列が同じ値へ近づけば、どの自然数も偶数か奇数のいずれかであることから、元の数列もその値へ近づきます。十分大きい項で両方の誤差が指定した小ささを下回るように、2つの開始位置の大きい方を選べばよいからです。

基本例題：符号が交代しても小さくなるか

数列aₙ = (-2/5)ⁿの極限を求め、有限の値で答えてください。nは正の整数です。

初項は-2/5で、公比は-2/5です。図2のように項は0の両側に交互に現れますが、0からの距離は毎回2/5倍になります。点は項を表し、点の間の線は描いていません。

図2の4点を式でも確かめます。

a₁ = -2/5
a₂ = 4/25
a₃ = -8/125
a₄ = 16/625

偶数項と奇数項は符号が違います。しかし、その絶対値は同じ規則で小さくなります。

|aₙ| = (2/5)ⁿ
0 < 2/5 < 1
lim[n→∞] (2/5)ⁿ = 0
-|aₙ| ≤ aₙ ≤ |aₙ|
lim[n→∞] aₙ = 0

最後ははさみうちです。偶数項と奇数項が両方0に近づくことも、この評価に含まれています。答えを元の規則に戻すと、どの項も前の項の-2/5倍であり、距離が2/5倍になるという図の読みと一致します。最初から0である必要はなく、十分後の項が0に近づけば収束します。

標準例題：境界で交互に残る値

数列bₙ = 3・(-1)ⁿが有限の値に収束するかを判定し、収束しない場合はその理由を示してください。

公比は-1、初項は-3です。大きさは変わらず符号だけが交代するので、偶数番と奇数番を分けます。kを正の整数とします。

b₂ₖ = 3・(-1)²ᵏ
b₂ₖ = 3
b₂ₖ₋₁ = 3・(-1)²ᵏ⁻¹
b₂ₖ₋₁ = -3

偶数項は常に3、奇数項は常に-3です。数列全体が有限の値Lに収束するなら、十分後の偶数項も奇数項もLに近づくはずです。しかし片方は3、もう片方は-3から動きません。したがって共通の有限極限はなく、発散します。正負の値を交互に取るので、正の無限大や負の無限大に向かうこともありません。

元の式にn = 1と2を戻すと、それぞれ-3と3です。その後も-1倍が続くため、上の2つの並びと一致します。公比が1なら各項は初項-3のままで収束する点が、公比-1との違いです。

発展例題：初項を含めた分類

実数a、rについて、a₁ = a、aₙ₊₁ = raₙで定まる数列の振る舞いを分類してください。有限値への収束、正または負の無限大への発散、どちらでもない発散を区別し、収束する場合は極限値を答えてください。

まず初項が0のときは、更新式に戻して調べます。

a₁ = 0
a₂ = r・0 = 0
a₃ = r・0 = 0

同じ操作を繰り返すので全項が0です。したがってrがどの実数でも極限は0です。公比が-1や2であっても、非ゼロの項が交代したり増大したりするわけではありません。

次にa ≠ 0とします。更新式を繰り返すとaₙ = arⁿ⁻¹です。まず-1 < r < 1では絶対値が0に向かいます。

|aₙ| = |a|・|r|ⁿ⁻¹
lim[n→∞] |r|ⁿ⁻¹ = 0
lim[n→∞] aₙ = 0

r = 0は2項目以降が0なので、上の結論に含まれます。r = 1ではaₙ = aとなり、極限はaです。r = -1では次のようになります。

a₂ₖ₋₁ = a
a₂ₖ = -a

a ≠ 0なのでaと-aは異なり、有限値にも正負の無限大にも向かわず発散します。r > 1ではrⁿ⁻¹が正の無限大へ向かうため、a > 0ならaₙは正の無限大、a < 0なら負の無限大へ向かいます。

最後にr < -1です。|r| > 1で、奇数項と偶数項は次の形です。

a₂ₖ₋₁ = a|r|²ᵏ⁻²
a₂ₖ = -a|r|²ᵏ⁻¹

絶対値は両方とも大きくなりますが、符号は逆です。したがって有限値には収束せず、正負どちらか一方の無限大にも向かいません。初項の符号を逆にすれば2つの向きは入れ替わりますが、結論は同じです。

答えを更新式に戻すと、r = 1ではaがそのまま保たれ、r = -1では毎回符号が反転します。r = 0では最初の更新で0になります。境界とゼロのケースを元の規則で確認することで、表の条件を機械的に暗記するより、分類の理由を追えます。

誤答をどう直すか

「公比の絶対値が1だから、3・(-1)ⁿは3に収束する」という答えを考えます。絶対値が1であることから言えるのは、項の絶対値が3のままだということです。項自体が3のままだとは言えません。

図3のように、偶数項は3の位置、奇数項は-3の位置に並びます。図の右へ進んでも2つの高さの差は6のままです。したがって1つの有限値へ近づくと判断できません。

図3を読み直すときは、まず偶数項と奇数項の式を書き、それぞれの極限を比べます。次に初項が0なら2つの高さが重なることを確認します。同じ公比-1でも、初項が0かどうかで結論が変わります。

別の誤りとして、|r| > 1なら常に正の無限大とすることがあります。初項が負でr > 1なら負の無限大です。またr < -1では符号が交互に変わるため、絶対値が大きくなることと正の無限大に向かうことを区別します。大きさと符号を別々に書き出すと修正できます。

練習：まず5問を自力で

各問でnは正の整数です。有限の極限があるときは正確な値を答え、ないときは正の無限大、負の無限大、またはそのいずれでもない発散に分類してください。

1. uₙ = (3/7)ⁿの極限を求めてください。
2. vₙ = -4・2ⁿ⁻¹の振る舞いを求めてください。
3. wₙ = 5・(-1)ⁿ⁻¹の振る舞いを求めてください。
4. x₁ = 0、xₙ₊₁ = -3xₙで定まる数列の極限を求めてください。
5. yₙ = 2・(-3/2)ⁿ⁻¹の振る舞いを求めてください。

答えと考え方

1. 公比3/7は0と1の間です。よって次のようになり、極限は0です。

0 < 3/7 < 1
lim[n→∞] (3/7)ⁿ = 0

元の式でも、各項は前の項の3/7倍です。正の値を保ちながら0からの距離が小さくなります。

2. 公比は2で、初項は-4です。2ⁿ⁻¹は正の無限大へ向かうので、負の定数を掛けたvₙは負の無限大へ発散します。

v₁ = -4
v₂ = -8
vₙ = -4・2ⁿ⁻¹ → 負の無限大

元の規則でも負の項を正の2倍にするため、符号は負のままです。

3. 公比は-1です。奇数項は5、偶数項は-5です。

w₂ₖ₋₁ = 5・(-1)²ᵏ⁻² = 5
w₂ₖ = 5・(-1)²ᵏ⁻¹ = -5

2つの値が異なるので有限値には収束せず、正負いずれかの無限大にも向かわない発散です。元の式にn = 1、2を入れても5、-5と一致します。

4. 初項0を更新式に入れるとx₂ = -3・0 = 0です。以後も0の-3倍は0なので、全項が0で極限は0です。公比の絶対値が1より大きくても、初項が0である条件を先に使います。

5. 公比は-3/2で、絶対値は1より大きく、符号は交互です。

y₂ₖ₋₁ = 2・(3/2)²ᵏ⁻²
y₂ₖ = -2・(3/2)²ᵏ⁻¹

奇数項は正の無限大へ、偶数項は負の無限大へ向かいます。全体は有限値にも正負いずれか一方の無限大にも向かわず発散します。初項2を-3/2倍すると-3で、上の偶数項の式にk = 1を入れた値とも一致します。

要点を手元に残す

• 初項0なら公比に関係なく全項0です。
• 初項が0でないとき、|r| < 1なら極限は0、r = 1なら初項です。
• r = -1では2つの値が交代し、r < -1では符号を変えながら大きくなります。
• r > 1では初項の符号で正負の無限大を分けます。

途中式からつまずきを探す

境界で迷うときは、公比の絶対値を書いた行の次に、実際の初項と2項目を書いてみます。1と-1を同じ結論にした答案なら、符号が変化するかを更新式へ戻して確かめます。初項が文字の問題では、公比の分類より前に初項0の場合を分けたかを見ると、例外の抜けを見つけやすくなります。

個別指導では、本人が偶数項と奇数項をどう式にしたかを確認し、指数が偶数か奇数かを一緒にたどります。さらに、絶対値の極限から項そのものの極限へ移る際には、はさみうちの上下を言葉か式で説明できるかを見ます。公比の大きさと符号、そして初項を順に調べれば、境界の違いは項の並びに現れます。