高校数学II 曲線外の点からの接線—接点を文字で置き本数と式を調べる｜武蔵野個別指導塾

外点を接線に代入して接点の候補を求め、重解と異なる直線の本数を区別する考え方を整理します。

よくあるのは、曲線の外にある点の x 座標を、そのまま接点の x 座標に使ってしまう場面です。たとえば指定された点が横軸上にあるとしても、接線が曲線に触れる位置まで横軸上とは限りません。わかっているのは直線が通る点であって、曲線上の接点ではないからです。接点の位置を文字で置き、直線が指定点を通る条件から位置を決めましょう。

点の役割を分けて読む

曲線の式と通過点が与えられ、接線の式を求める問題では、まず接点の座標は未知です。接点を決める方程式を作り、その実数解から直線の式へ戻します。接点の候補が複数ある場合は、候補ごとに傾きと切片を計算します。

接線の本数を問われる場合は、方程式の次数からそのまま本数を決められません。実数解がないこともあり、重解は異なる接点を増やしません。さらに、異なる接点から求めた直線が同じ式なら、直線としては1本です。接点の個数と異なる直線の本数を別々に調べるのが筋道です。

点が文字を含む場合には、方程式の解の個数が変わる境界を探します。その境界では重解を含めて数え直し、点が曲線上に来る場合も問題の条件に応じて扱います。解答は直線の式なのか、接点なのか、本数なのかを最初に読み分けてください。

接点を動かして通過条件を作る

多項式の関数 y = f(x) は各実数で微分できます。接点の x 座標を t と置くと、接点は (t, f(t))、そこでの接線の傾きは f′(t) です。したがって、その接線は次の式で表せます。

y = f′(t)(x - t) + f(t)

曲線外の指定点を P(a, b) とすると、P を通るための条件は x = a、y = b を接線に代入して得られます。

b = f′(t)(a - t) + f(t)

ここで a と b は指定点の座標、t は未知の接点の座標です。図1のように、P と接点 T はそれぞれ別の役割を持ちます。t = a と初めから置くと、接点の真上や真下に P がある場合しか候補に入らず、求める接線を落とします。

図1では曲線上の T における傾きで直線を作り、その直線が P を通るかを調べています。通過条件を満たす実数 t が見つかれば、その t の接線は定義によって曲線の接線であり、代入条件によって P も通ります。逆に P を通る接線があれば、その接点の t は必ずこの条件を満たすので、候補を落としません。

実数解の候補を全部代入した後、直線を整理して一致も調べます。接線が曲線と接点以外で交わっても、接点での傾きが等しければ接線です。また、点が曲線上にあるかどうかは b と f(a) を比べて判定できます。以下では外点を主に扱い、境界で曲線上になる場合も区別します。

基本例題：放物線に2本引く

曲線 y = x² − 2x + 2 と点 P(0, -2) があるとします。P を通る接線をすべて求め、答えは y = mx + n の形で表してください。

まず f(0) = 2 なので、P は曲線上にありません。接点の x 座標を t と置き、傾きと接線を順に求めます。

f(x) = x² - 2x + 2
f′(x) = 2x - 2
f(t) = t² - 2t + 2
f′(t) = 2t - 2
y = (2t - 2)(x - t) + t² - 2t + 2
y = (2t - 2)x - t² + 2

P の x 座標 0、y 座標 -2 を代入すると、接点の条件が出ます。

-2 = (2t - 2)・0 - t² + 2
t² = 4
t = 2, -2

各 t を接線の式に戻します。t = 2 なら傾きは 2、t = -2 なら傾きは -6 なので、異なる2直線です。

t = 2: y = 2x - 2
t = -2: y = -6x - 2

図2のように、P の横の座標は 0 ですが、接点の横の座標は 2 と -2 です。図では両方の線が P から異なる場所へ伸びています。

図2に対応する接点を元の曲線に戻すと、t = 2 では (2, 2)、t = -2 では (-2, 10) です。前者は 2・2 − 2 = 2、後者は -6・(-2) − 2 = 10 となり、それぞれ直線上にもあります。接点での曲線の傾き 2 と -6 も直線の傾きと一致し、両直線に x = 0 を入れれば y = -2 です。

この確認は、単に方程式をもう一度解くこととは異なります。求めた点が曲線上にあり、線がその点を通り、そこでの傾きが一致し、指定された P も通るという元の条件をそれぞれ確かめているからです。

標準例題：三次曲線の3候補を直線に戻す

曲線 y = x³ − 3x の接線のうち、点 P(2, -2) を通るものをすべて求めてください。答えは根号を用い、y = m(x − 2) − 2 の形で表します。f(2) = 2 なので P は曲線外です。

f′(x) = 3x² - 3
f′(t) = 3t² - 3
f(t) = t³ - 3t
y = (3t² - 3)(x - t) + t³ - 3t
y = (3t² - 3)x - 2t³

P を代入し、左辺を整理して因数分解します。

-2 = 2(3t² - 3) - 2t³
-2 = 6t² - 6 - 2t³
2t³ - 6t² + 4 = 0
t³ - 3t² + 2 = 0
(t - 1)(t² - 2t - 2) = 0
t = 1, 1 + √3, 1 - √3

3つの実数解の傾きを計算します。

t = 1: 3t² - 3 = 0
t = 1 + √3: 3t² - 3 = 9 + 6√3
t = 1 - √3: 3t² - 3 = 9 - 6√3

求める接線は次の3本です。傾きが互いに異なるため、同じ直線を重ねて数えてはいません。

y = -2
y = (9 + 6√3)(x - 2) - 2
y = (9 - 6√3)(x - 2) - 2

どの式も x = 2 のとき y = -2 です。さらに各 t は通過条件を満たすので、上で作った接線の式に対応し、接点 (t, t³ − 3t) を通り、傾きは 3t² − 3 です。根号を含む候補は (t − 1)² = 3 を使えば、元の三次方程式にも戻せます。

直線の数を確定するまでが問題です。接点の方程式に3つ解があるという結果だけでは、直線が一致する可能性を一般には消せません。この例では傾きの比較で3本と判定しました。

発展例題：点の高さで本数が変わる

曲線 y = x³ − 3x と点 P(1, k) を考えます。k を実数として、P を通る異なる接線の本数を k の範囲ごとに求めてください。k = -3 と k = -2 では接線の式も求めます。k = -2 では P が曲線上に来るので、その場合も接線を数えるものとします。

接点を t とすると、先ほどと同様に接線は y = (3t² − 3)x − 2t³ です。P の条件から、次の関数 g(t) の値を調べます。

k = (3t² - 3)・1 - 2t³
g(t) = -2t³ + 3t² - 3
g′(t) = -6t² + 6t
g′(t) = -6t(t - 1)
g(0) = -3
g(1) = -2

g′(t) は t < 0 で負、0 < t < 1 で正、1 < t で負です。g は各区間でそれぞれ減少、増加、減少します。また t が負の方向へ限りなく大きくなると g(t) は正の方向へ、正の方向へ限りなく大きくなると負の方向へ限りなく大きくなります。多項式 g は連続なので、水平線 y = k との交点を区間ごとに数えられます。

k < -3: 1個
k = -3: 2個
-3 < k < -2: 3個
k = -2: 2個
k > -2: 1個

等号のとき、境界の t を隣り合う区間で二重に数えないことが必要です。k = -3 とすると因数分解は次のようになり、t = 0 は重解ですが接点としては1個です。

-2t³ + 3t² - 3 = -3
t²(3 - 2t) = 0
t = 0, 3/2
y = -3x
y = (15/4)x - 27/4

k = -2 の場合も計算します。

-2t³ + 3t² - 3 = -2
2t³ - 3t² + 1 = 0
(t - 1)²(2t + 1) = 0
t = 1, -1/2
y = -2
y = (-9/4)x + 1/4

これらはそれぞれ x = 1 で y = -3 または -2 となり、指定点を通ります。各式の傾きも対応する t における 3t² − 3 と一致します。k = -2 の t = 1 は P 自身を接点とする線であり、t = -1/2 に対応する別の線も P を通ります。外点に限定する問いなら k = -2 は対象から除きます。

接点の個数が直線の本数と一致する理由も確認します。異なる2つの接点で同じ直線がこの三次曲線に接すると仮定します。曲線とその直線の差は最高次係数が 1 の三次式で、2つの接点それぞれを少なくとも2重の解に持つことになります。すると4次以上の因数が必要で、三次式では不可能です。したがって、この例では上の個数がそのまま接線の本数です。曲線が変わった場合まで、この理由を無条件に広げないでください。

接点に外点の座標を入れてしまったら

基本例題で P(0, -2) の 0 を接点の t と誤って置くと、次の直線になります。

t = 0
y = -2x + 2
x = 0 のとき y = 2

この直線は曲線の (0, 2) における接線ですが、P を通りません。接線の公式へ代入する文字が接点の座標であることは正しくても、その値を指定点の座標から決めたところで条件を取り違えています。

図3のように、誤った直線と P は同じ x 座標で高さが違います。修正するには t を未知のまま残し、P を通る条件に戻ります。基本例題の式では -2 = -t² + 2 から t = ±2 と決まり、求める2本が得られます。

図3の縦の点線は同じ x 座標の比較を表し、赤い線は t = 0 の接線です。接点と P の高さが異なることが、通過条件を検査する必要を示しています。別の誤りとして、t² = 4 から t = 2 だけを取ると、P を通るもう1本を落とします。負の解を含めて代入した後、直線の一致を調べてください。

練習：接点と本数を自分で選ぶ

次の5問では、直線の式は指定された形で答えてください。接点を先に推測せず、通過条件を立ててから実数解を調べます。

1. 曲線 y = x² + 2x と点 (0, -9) について、点を通る接線をすべて y = mx + n の形で求めてください。
2. 曲線 y = x² + 4 と点 (2, 3) について、点を通る接線をすべて、根号を用いた y = m(x − 2) + 3 の形で求めてください。
3. 曲線 y = x³ + x と点 (0, 54) について、点を通る接線をすべて y = mx + n の形で求めてください。
4. 曲線 y = x² − 4x + 1 と点 (3, 2) について、点を通る接線の本数を求めてください。
5. 曲線 y = x³ と点 (1, 0) について、点を通る異なる接線の本数と、それぞれの式を y = m(x − 1) の形で求めてください。

練習の答えと解き方

1. 正負の接点を残す

f′(t) = 2t + 2
y = (2t + 2)(x - t) + t² + 2t
y = (2t + 2)x - t²
-9 = -t²
t² = 9
t = 3, -3
y = 8x - 9, y = -4x - 9

傾きが異なるので2本です。接点は (3, 15) と (-3, 3) で、各直線へそれぞれの x 座標を入れると同じ高さになります。傾きも 8 と -4 に一致し、x = 0 では両方とも -9 です。

2. 根号を含む接点

f′(t) = 2t
y = 2t(x - t) + t² + 4
y = 2tx - t² + 4
3 = 4t - t² + 4
t² - 4t - 1 = 0
(t - 2)² = 5
t = 2 + √5, 2 - √5
y = (4 + 2√5)(x - 2) + 3
y = (4 - 2√5)(x - 2) + 3

両方の式で x = 2 のとき y = 3 です。また (t − 2)² = 5 を展開すると通過条件 t² − 4t − 1 = 0 に戻ります。各線は接点 (t, t² + 4) を通り、そこでの傾き 2t を持ちます。傾きが違うので2本です。

3. 三乗の符号に注意する

f′(t) = 3t² + 1
y = (3t² + 1)(x - t) + t³ + t
y = (3t² + 1)x - 2t³
54 = -2t³
t³ = -27
t = -3
y = 28x + 54

三乗が -27 となる実数は -3 だけです。接点は (-3, -30) で、直線にも代入すると 28・(-3) + 54 = -30 です。傾き 28 は 3・(-3)² + 1 と等しく、x = 0 では指定された高さ 54 に戻ります。

4. 実数解がない場合

f′(t) = 2t - 4
y = (2t - 4)(x - t) + t² - 4t + 1
y = (2t - 4)x - t² + 1
2 = 3(2t - 4) - t² + 1
t² - 6t + 13 = 0
(t - 3)² + 4 = 0

実数の平方は負にならないので、この方程式に実数解はありません。求める接線は 0 本です。通過条件は接線が存在するために必要なので、実数解がないことから本数を確定できます。なお f(3) = -2 であり、指定点 (3, 2) は曲線外です。

5. 重解と異なる線の本数

f′(t) = 3t²
y = 3t²(x - t) + t³
y = 3t²x - 2t³
0 = 3t² - 2t³
t²(3 - 2t) = 0
t = 0, 3/2
y = 0
y = (27/4)(x - 1)

t = 0 は重解ですが1つの接点です。傾き 0 と 27/4 は異なるので答えは2本です。接点は (0, 0) と (3/2, 27/8) であり、各直線と曲線に戻して一致します。どちらも x = 1 のとき y = 0 で、指定点を通ります。f(1) = 1 のため、この点は曲線外です。

手元に残す4行

接点の座標は (t, f(t))、接線の傾きは f′(t) です。 指定点を接線に代入して t の実数解を探します。 重解は同じ接点として数え、異なる接点の直線の一致も調べます。 最後に指定点、接点、傾きの3つを元の条件へ戻します。

どの式で止まったかを見分ける

接線の式までは作れるのに答えが指定点を通らないときは、接点を表す t に外点の x 座標を直接入れていないか確かめます。たとえば基本例題なら t = 0 で作った線の x = 0 における高さは 2 であり、指定の -2 とは異なります。通る点を代入する操作を独立した1行として書くと、取り違えた場所を見つけられます。

実数解を得ても本数が合わないときは、接点の重複と直線の一致を別々に確認します。個別指導で説明するなら、まず「この t は何の座標か」、次に「この直線は指定点を通るか」と尋ね、式と図を行き来して答えの根拠を確かめます。条件が違えば接線がない場合もあるため、候補が出ない理由を平方の符号まで戻して言えると、解答の見通しが立ちます。

接点を表す文字と通過点の座標を分ければ、接線の本数も式も根拠を持って決められます。