高校数学III 項が消える無限級数—部分和の端に残る項を追って和を求める｜武蔵野個別指導塾

部分分数で2項ずつ残る和と、根号の差が発散する例から、有限の相殺をたどる項消去の技法です。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで分数を引き算に直し、相殺の線を次々に引くうちに端の項まで消してしまう場面です。途中の項に反対符号の相手があっても、最初と最後には相手がないことがあります。無限に続く式を一度に消すのではなく、まず有限個の和を作り、どの項が残るかを数えます。その後で項数を増やしたときの極限を調べると、和が存在する場合と発散する場合を同じ手順で区別できます。

どんな形なら端に注目するか

1つ目は、分母にずれた2つの因数がある形です。各項を2つの分数の差に直すと、後の項の正の部分と前の項の負の部分が重なることがあります。因数の間隔が2なら、端には通常2個ずつ残ります。間隔を見ずに1個だけ残すと答えが変わります。

2つ目は、最初から隣り合う2つの値の差で書かれた形です。根号を含んでも、有限和の中では同じ値に反対符号が付けば相殺できます。ただし、最後に残る値が無限に大きくなれば、消去ができても級数は収束しません。

3つ目は、3つの因数がある形です。直接3つの分数に分ける以外に、隣り合う2因数の積の逆数の差に直せます。どちらの場合も、公式を覚えるより有限和の初めと終わりを展開することが確実です。数列の極限と無限級数の和は異なり、和を決める対象は部分和です。

有限の列に相手を探す

数列 a₁, a₂, … に対し、初項から第n項までの和を Sₙ = Σ[k=1..n] aₖ と書きます。nを限りなく大きくしたときSₙが有限の値に近づけば、級数は収束し、その極限を和と呼びます。有限の値に近づかなければ発散です。数学IIIの極限には数列の極限と無限級数の収束・発散および和が含まれます。

たとえば各項が bₖ − bₖ₊₂ の形なら、正の側には b₁ から bₙ、負の側には b₃ から bₙ₊₂ が並びます。nが2以上なら共通する b₃ から bₙ が消え、b₁ + b₂ − bₙ₊₁ − bₙ₊₂ が残ります。n = 2では共通部分が空ですが、同じ式は成り立ちます。図1のように、両端の2個を残してから極限に進みます。

図1の上段と下段の重なりは有限個の項の対応です。右端の2項が0に近づけば左端が和になりますが、右端が0に近づかない場合には別の結論になります。無限個の項の順序を変える操作は必要ありません。

消去の幅と残りの見積もり

ずれが1の場合は、b₁ − b₂、b₂ − b₃というように隣同士でつながります。最後に残るのは b₁ − bₙ₊₁ です。ずれが2の場合は、奇数番の鎖と偶数番の鎖を並べていると見ることもできます。鎖の始点が2個あるため、左端に2項が残ります。右端も各鎖の終点が1個ずつ残るので、合わせて2項です。ずれの幅を確かめておくと、長い和を全部書かなくても残りの候補を見つけられます。

ただし、この見方を使う前に差の形が正しいか、通分して元の一般項に戻します。また、終点にはnが入るため、項数によって値が変わります。始点と終点を同じ定数として扱うことはできません。たとえば終点が1/(n+1)なら0に近づきますが、n+1なら限りなく大きくなります。消去の形が同じでも、右端の性質に応じて結論が変わります。

有限和を小さい項数で調べるときは、n = 1とn = 2をそれぞれ元の式に代入します。一般形の中の省略記号は実際に何項あるかを示していないため、短い和では重なりがないこともあります。具体的な項を足した結果と残りの式が一致すれば、開始番号や係数の誤りを見つけやすくなります。ただし数例の一致だけでは一般の場合の証明にならず、共通部分の範囲も示す必要があります。

基本例題：2つずれた分母

正の整数kについて、無限級数 Σ[k=1..∞] 1/((k+1)(k+3)) の収束・発散を判定し、収束するなら和を分数で求めてください。

各因数は正なので分母は0になりません。差の分子が2になることから、まず各項を次のように直します。

1/((k+1)(k+3))
= (1/2)・((k+3)-(k+1))/((k+1)(k+3))
= (1/2)・(1/(k+1) - 1/(k+3))

第n項までの和をSₙとし、nが2以上の場合を並べます。

Sₙ = (1/2)・Σ[k=1..n] (1/(k+1) - 1/(k+3))
   = (1/2)・((1/2 + 1/3 + ... + 1/(n+1))
      - (1/4 + 1/5 + ... + 1/(n+3)))
   = (1/2)・(1/2 + 1/3 - 1/(n+2) - 1/(n+3))
   = 5/12 - 1/(2(n+2)) - 1/(2(n+3))

n = 2でも、共通部分が空としてこの式は成立します。n = 1も元の和と比べると1/8で一致します。図2のように、正の1/2と1/3には負の相手がなく、負の最後の2項にも正の相手がありません。

図2の右端の2項はnを大きくするとそれぞれ0に近づきます。したがって lim[n→∞] Sₙ = 5/12 で、級数は収束し、和は5/12です。答えを元の和に戻すと、例えば最初の2項は1/8 + 1/15 = 23/120です。部分和の式にn = 2を代入しても5/12 − 1/8 − 1/10 = 23/120となります。有限個の相殺と残りの式が対応しています。

和との差も確認できます。全体の和から第n項までの和を引くと、残りは1/(2(n+2)) + 1/(2(n+3))です。これは正で0に近づきます。したがって各部分和は5/12より小さく、項を加えるにつれてその値に近づきます。

標準例題：消えても発散する差

正の整数kについて、無限級数 Σ[k=1..∞] (√(k+2) − √(k+1)) の収束・発散を判定し、収束するなら和を求めてください。

有限和を先に作ります。隣り合う根号が反対符号で現れるので、nが2以上なら次のようになります。

Sₙ = (√3 - √2) + (√4 - √3) + ... + (√(n+2) - √(n+1))
   = √(n+2) - √2

n = 1でもこの式は元の第1項です。nを大きくすると√(n+2)は限りなく大きくなり、定数√2を引いてもSₙは限りなく大きくなります。したがって級数は発散し、有限の和はありません。例えばn = 3なら元の3項の和は(√3 − √2) + (2 − √3) + (√5 − 2) = √5 − √2で、残った端と一致します。

各項を有理化すると、√(k+2) − √(k+1) = 1/(√(k+2) + √(k+1))です。この一般項は0に近づきますが、それだけで部分和の収束は決まりません。この問題では部分和が直接求まるので、一般項の極限で判断せず、右端の根号が増え続けることを確認します。

発展例題：3因数を2因数の差へ

正の整数kについて、無限級数 Σ[k=1..∞] 1/(k(k+1)(k+2)) の収束・発散を判定し、収束するなら和を分数で求めてください。

どの因数も正です。隣り合う2因数の積の逆数を引くと分子が2になるので、次の変形が使えます。

1/(k(k+1)(k+2))
= (1/2)・((k+2)-k)/(k(k+1)(k+2))
= (1/2)・(1/(k(k+1)) - 1/((k+1)(k+2)))

bₖ = 1/(k(k+1)) と置けば、各項は (bₖ − bₖ₊₁)/2 です。有限部分和では隣の項が消えます。

Sₙ = (1/2)・(b₁ - b₂ + b₂ - b₃ + ... + bₙ - bₙ₊₁)
   = (1/2)・(b₁ - bₙ₊₁)
   = (1/2)・(1/2 - 1/((n+1)(n+2)))
   = 1/4 - 1/(2(n+1)(n+2))

この式はn = 1でも成立します。右端は0に近づくため、級数は収束し、和は1/4です。n = 2では元の2項が1/6 + 1/24 = 5/24で、部分和も1/4 − 1/24 = 5/24です。和との差は1/(2(n+1)(n+2))で、未計算の部分が正のまま0へ向かいます。

3因数を見てすぐにそれぞれの逆数へ分解しても解けますが、差を取ったときの分子を先に計算すると、1段階のずれが見つかります。係数1/2を忘れると、元の1項に戻した際に2倍になるので、最初の等式で通分して確かめてください。

端まで消した答案を直す

基本例題で「1/(k+1)と1/(k+3)は同じ分数が現れるので全部消え、和は0」とする答案を考えます。誤りは、有限和にない相手を端の項にまで補ってしまうことです。正の1/2に対応する負の項は、kが正の範囲には現れません。正の1/3も同様です。

図3のように、消す前に正と負の範囲を別々に書き、重複する部分に限って線を引きます。右端にも負の2項が残るので、その場で0とせずnを含む式として保存します。nを無限に大きくしてから初めて右端の極限を判定します。

別の失敗は、n = 1やn = 2の短い和に、存在しない中間項を書き加えることです。一般の並べ方はnが十分大きい場合に示し、小さいnは元の定義へ戻して確かめます。有限和の式が正しいことと、その極限が存在することは別の確認です。標準例題では前者が成り立っても、右端が増えるので後者は成り立ちません。

手を動かす5問

いずれもkは正の整数です。収束・発散を判定し、収束する場合は和を分数で求めてください。途中では第n項までの和を求めます。

1. Σ[k=1..∞] 1/(k(k+1))
2. Σ[k=1..∞] 1/((k+2)(k+4))
3. Σ[k=1..∞] (1/√k − 1/√(k+1))
4. Σ[k=1..∞] (√(k+4) − √(k+3))
5. Σ[k=1..∞] 1/((k+1)(k+2)(k+3))

答えと道筋

1. 通分すると各項は1/k − 1/(k+1)です。したがって Sₙ = 1 − 1/(n+1) となり、収束して和は1です。n = 1では1 − 1/2 = 1/2で元の初項に一致し、和との差1/(n+1)は0へ向かいます。

2. 各項は (1/2)・(1/(k+2) − 1/(k+4)) です。正の範囲は1/3から1/(n+2)、負の範囲は1/5から1/(n+4)なので、nが2以上で

Sₙ = (1/2)・(1/3 + 1/4 - 1/(n+3) - 1/(n+4))
   = 7/24 - 1/(2(n+3)) - 1/(2(n+4))

となります。n = 1でも1/15に一致します。残りの2項は0へ向かうため、収束して和は7/24です。和との差は最後の2つの正の分数の和です。

3. 隣り合う根号の逆数が消えるので Sₙ = 1 − 1/√(n+1) です。n = 1で元の1 − 1/√2に戻り、右端は0に近づきます。よって収束して和は1です。和との差は1/√(n+1)です。

4. 有限和は Sₙ = √(n+4) − √4 = √(n+4) − 2 です。n = 1では√5 − 2となって初項と一致します。右端の根号は限りなく大きくなるので発散し、有限の和はありません。

5. 通分して各項を (1/2)・(1/((k+1)(k+2)) − 1/((k+2)(k+3))) と直します。よって

Sₙ = (1/2)・(1/(2・3) - 1/((n+2)(n+3)))
   = 1/12 - 1/(2(n+2)(n+3))

です。n = 1で1/12 − 1/24 = 1/24となり元の初項に一致します。最後の分数は0に近づくので、収束して和は1/12です。和との差は1/(2(n+2)(n+3))です。

残しておく要点

有限の部分和を作り、反対符号の相手がある項を消します。
ずれの幅に応じて両端に残る個数を数えます。
右端の極限まで調べて収束・発散を決めます。
小さいnを元の和へ戻して端と係数を点検します。

途中式のどこで止まったか

部分分数を作れない場合は、通分した分子に戻して係数を確認します。変形は合っているのに答えが違う場合は、正の項と負の項の開始番号と終了番号を別々に書き出し、相手のいない項に印を付けます。個別指導で途中式を見るときも、消去線の本数より、最後にnを含む項が残っているかを確かめます。

部分和が求まった後で判断に迷うなら、右端が0へ向かう例と無限に大きくなる例を並べて比べます。一般項が小さくなることだけで結論を出さず、求めた部分和そのものの極限を追います。端に残った項が、級数の行き先を決めます。