高校数学III 無限等比級数と図形—繰り返す長さや面積を初項と公比に直す｜武蔵野個別指導塾

相似比2/5の正方形の周長、面積比の求め方、残りの面積による回数の判定を通して図形の級数を読み解きます。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで、相似比をそのまま面積比にしてしまう場面です。小さな正方形の一辺が元の2/5なら、縦と横がそれぞれ2/5になります。周の長さには2/5を掛けますが、面積には2/5を2回掛けます。どの量を足すのかを先に決めると、この違いが式に現れます。

数学IIIの極限では、数列の極限や無限級数の収束と和を扱います。ここでは相似な図形が繰り返し現れる状況に絞り、長さと面積の和、および有限回で残る面積を調べます。

図形を数列に移す3つの問い

1つ目は、各段階の周の長さを足す問いです。相似比が一定なら、一辺も周長も同じ比で変わります。ただし重なった辺を1回だけ数える外周と、各図形の周長を別々に足したものは違います。問題が指定した量を読みます。

2つ目は、各段階の面積を足す問いです。相似比を2乗して面積比を作り、最初に足す図形の面積を初項にします。元の図形を含めるか、最初に縮めた図形から始めるかで初項は変わります。

3つ目は、決められた面積より残りを小さくする回数を求める問いです。無限に続けた合計を求めてから、有限回までの合計を引くと、残りを等比数列で表せます。最小の回数を求めるなら、その回数で条件を満たすことに加えて、1回前では満たさないことも必要です。

初項と公比を図から取り出す

長さの比をrとすると、対応する2方向の長さがそれぞれr倍ですから、相似な平面図形の面積比はr²です。たとえば図1のように一辺を3/5に縮めると、面積は元の9/25です。面積が3/5になるのではありません。

図1では左の一辺を5、右を3として、面積が25と9に対応します。図形の向きや位置が変わっても相似比は対応する長さの比で決まり、面積比はその2乗です。単位を付けた問題では、長さの和は長さの単位、面積の和は面積の単位で答えます。

初項a、公比qの等比数列の最初のn項の和をSₙとします。qが1でないとき、有限和は次のように求まります。

Sₙ = a + aq + aq² + … + aqⁿ⁻¹
qSₙ = aq + aq² + … + aqⁿ
(1 - q)Sₙ = a - aqⁿ
Sₙ = a(1 - qⁿ)/(1 - q)

無限級数の和とは、項を無限個同時に足す操作ではなく、有限和Sₙの極限です。|q| < 1ならqⁿは0に近づき、和はa/(1 − q)です。図形の縮小で0 < r < 1なら、周長の公比rも面積の公比r²もこの条件を満たします。縮小しない場合まで公式を無条件で使ってはいけません。初項が0の例外を除き、公比1では有限和が増え続け、有限の和に収束しません。

基本例題：正方形の周長を重ねて数える

一辺が10 cmの正方形を第1図形とします。次の図形は直前の正方形に相似で、一辺の長さは直前の2/5です。この操作を繰り返します。第1図形から各正方形の周の長さを別々に数えて加えた無限級数の和を、cmを単位とする分数または整数で求めてください。重なりを除いた外周ではありません。

図2のように、最初の3つの一辺は10 cm、4 cm、8/5 cmです。第1図形も数えるので、初項は縮小後の16 cmではなく40 cmです。

各段階の周長を順に計算します。

第1図形の周長 = 4・10 = 40
第2図形の一辺 = 10・(2/5) = 4
第2図形の周長 = 4・4 = 16
第3図形の一辺 = 4・(2/5) = 8/5
第3図形の周長 = 4・(8/5) = 32/5

したがって周長の列の初項は40、公比は16/40 = 2/5です。実際に(32/5)/16も2/5なので、最初の2回の対応は問題の縮小条件と一致します。0 < 2/5 < 1を確かめて、有限和から極限を取ります。

Sₙ = 40(1 - (2/5)のn乗)/(1 - 2/5)
Sₙ = (200/3)(1 - (2/5)のn乗)
lim[n→∞] Sₙ = 200/3

答えは200/3 cmです。第1図形を除いた残りは200/3 − 40 = 80/3 cmで、第2図形からの初項16、公比2/5の和16/(1 − 2/5)とも一致します。図形が小さくなっても周長の合計が0になるわけではありません。各項が0へ近づくことと、項を積み重ねた和の値は別の話です。

標準例題：面積の列を作る

面積が50 cm²の正方形を第1図形とします。直前の正方形と相似で、辺の長さが直前の3/5の正方形を次々に作ります。第1図形を含む各正方形の面積の和を、cm²を単位とする分数で求めてください。各面積は重なりの有無にかかわらず別々に数えます。

辺の比3/5をそのまま面積の公比にしないよう、縦横の倍率を掛けます。面積比は(3/5)・(3/5) = 9/25です。第2図形と第3図形の面積も、元の条件から順に作れます。

第1図形の面積 = 50
第2図形の面積 = 50・(9/25) = 18
第3図形の面積 = 18・(9/25) = 162/25

ここで18/50 = 9/25、(162/25)/18 = 9/25です。初項50、公比9/25で、0 < 9/25 < 1なので有限和は収束します。

Sₙ = 50(1 - (9/25)のn乗)/(1 - 9/25)
Sₙ = (625/8)(1 - (9/25)のn乗)
lim[n→∞] Sₙ = 625/8

答えは625/8 cm²です。第1図形を引くと残りは225/8 cm²です。一方、第2図形からの和は18/(1 − 9/25) = 225/8 cm²となり、開始位置をずらしても一致します。長さの和に使った公比と面積の和に使った公比を取り違えないために、式の脇に「辺」「面積」と書いておくと確認しやすくなります。

発展例題：残りが基準を下回る回数

面積が64 cm²の正方形を第1図形とし、辺の長さを直前の1/2にした相似な正方形を次々に作ります。各図形の面積を別々に数えるとき、第1図形から第n図形まで足した後、まだ足していない図形の面積の和が1/4 cm²より小さくなる最小の正の整数nを求めてください。

面積の公比は(1/2)² = 1/4です。第1図形を含む無限和と、n個までの有限和をそれぞれ求めます。公比1/4は絶対値が1未満なので、無限和を使えます。

全体の和 = 64/(1 - 1/4)
全体の和 = 256/3
Sₙ = 64(1 - (1/4)のn乗)/(1 - 1/4)
Sₙ = (256/3)(1 - (1/4)のn乗)
残り Rₙ = 256/3 - Sₙ
Rₙ = (256/3)・(1/4)のn乗

残りは第n+1図形から始まります。その面積は64・(1/4)のn乗です。これを初項、公比1/4として無限和を求めてもRₙに戻ります。残りを「次の1枚の面積」とするのは誤りです。

R₄ = (256/3)・(1/4)の4乗 = 1/3
R₅ = (256/3)・(1/4)の5乗 = 1/12
1/3 > 1/4
1/12 < 1/4

Rₙはnが1増えると1/4倍になり、正のまま減ります。したがってn = 4以下では基準未満にならず、n = 5で初めて条件を満たします。答えは5回です。もし「1/4以下」という条件なら等号も認めますが、この問題の「より小さい」には認めません。境界で等しくなる別の設定でも、不等号を読み替えずに判定します。

誤答を図で直す

標準例題で次の式を書く誤りを考えます。

誤：面積の公比 = 3/5
誤：面積の和 = 50/(1 - 3/5) = 125

有限和の公式自体は使える形でも、公比の意味が違います。第2図形の面積をこの式から逆に読むと30 cm²です。しかし、辺を3/5にした正方形の面積は50・(3/5)・(3/5) = 18 cm²なので、もとの図形条件に戻りません。

図3のように、辺の倍率を縦と横に掛けると9/25になります。正しくは初項50、公比9/25とし、和は625/8 cm²です。答えだけ直すのでなく、第2図形の面積を直接計算して、公比から出る第2項と照合します。

もう1つの失敗は、第1図形を足す指定を見落とし、第2図形の面積18を初項にすることです。その場合に出る225/8 cm²は第2図形以降の和としては正しいものの、求める全体から50 cm²不足しています。式の初項が図のどの段階かを矢印で結ぶと、開始位置のずれを発見できます。

練習問題

各図形の量は、重なりがあっても別々に数えます。答えは指定した単位で、分数または整数で表してください。

1. 一辺6 cmの正方形を第1図形とし、辺を直前の1/3にして正方形を作り続けます。第1図形からの周長の和を求めてください。
2. 面積28 cm²の正方形を第1図形とし、辺を直前の1/2にして正方形を作り続けます。第1図形からの面積の和を求めてください。
3. 面積45 cm²の正方形から始め、辺を直前の2/3にして正方形を作り続けます。元の正方形を含めず、第2図形以降の面積の和を求めてください。
4. 周長12 cmの正三角形から始め、辺を直前の1/4にして相似な正三角形を作り続けます。第1図形から第3図形までの周長の合計を求めてください。
5. 面積27 cm²の正方形から始め、辺を直前の1/3にして正方形を作り続けます。第1図形から第n図形まで足した後の残りの面積の和が1/20 cm²より小さくなる最小の正の整数nを求めてください。

練習の答えと考え方

1. 周長の初項は4・6 = 24 cm、公比は1/3です。公比の絶対値は1未満なので、求める和は次のとおりです。

24/(1 - 1/3) = 24/(2/3)
= 36

答えは36 cmです。第2図形の一辺は2 cmで、周長8 cmは初項24に1/3を掛けた値と一致します。

2. 面積比は(1/2)² = 1/4です。初項28、公比1/4の和を取ります。

28/(1 - 1/4) = 28/(3/4)
= 112/3

答えは112/3 cm²です。第2図形は28・1/4 = 7 cm²であり、辺を半分にする条件に合います。

3. 面積比は(2/3)² = 4/9です。求める和の初項は元の45ではなく、第2図形の45・4/9 = 20 cm²です。

20/(1 - 4/9) = 20/(5/9)
= 36

答えは36 cm²です。元の図形を含む和は45/(1 − 4/9) = 81 cm²で、そこから45 cm²を引いても36 cm²です。

4. 周長の公比は1/4です。無限和ではなく3項の有限和を求めます。

第2図形の周長 = 12・(1/4) = 3
第3図形の周長 = 3・(1/4) = 3/4
合計 = 12 + 3 + 3/4
合計 = 63/4

答えは63/4 cmです。第1図形の一辺は4 cm、第2図形の一辺は1 cmで、3辺を足すと第2図形の周長は3 cmです。

5. 面積の公比は1/9で、n個の後の残りは第n+1図形を初項とする等比級数です。

Rₙ = 27・(1/9)のn乗/(1 - 1/9)
Rₙ = (243/8)・(1/9)のn乗
R₂ = 3/8
R₃ = 1/24
3/8 > 1/20
1/24 < 1/20

残りは正で、nが増えるごとに1/9倍です。よってn = 2までは条件を満たさず、答えは3回です。第4図形の面積は27・(1/9)の3乗 = 1/27 cm²で、これを初項とする残りの和は(1/27)/(8/9) = 1/24 cm²となり、求めた値に戻ります。

覚えておくこと

長さの相似比がrなら面積比はr²です。
初項は、実際に足し始める図形から決めます。
無限和には公比の絶対値が1未満という条件を使います。
残りは次の図形から始め、最小回数は1回前も調べます。

途中式のどこで止まったか

個別指導で確かめるなら、まず図の第1図形と第2図形に、それぞれ辺の長さと面積を書いてもらいます。第2図形の辺が正しくても面積に長さの比を1回しか掛けていなければ、縦と横の倍率を別々に書き直します。最初の図形を含めるかどうかは、和の第1項と図を線で結ぶと確かめられます。

残りの問題では、n回目に足した量とn回後に残る量を別の欄に置きます。最小回数の答えが出たら、1回前の残りも元の不等号へ戻します。相似比から面積比へ移る1行が、図形と級数を結びます。