高校数学III 停留点と極値—導関数の符号が変わるかを左右から判定する｜武蔵野個別指導塾

導関数が0でも極値にならない例を解き、左右の符号変化と微分できない点を調べて停留点と極値を区別します。

よくあるのは、理系高3の演習で導関数が0になった座標を見つけ、そのまま極小と書く場面です。水平な接線は山頂や谷底に現れますが、水平になっても上り続ける曲線があります。導関数の値を1点で調べた結果と、その点の前後で関数がどう動くかを分けて考えましょう。極値の候補を探した後に、左右の符号を確かめるまでが判定です。

要点（結論から）

• 微分可能な内点の極値では導関数が0です。
• 停留点では左右の導関数の符号を調べます。
• 正から負なら極大、負から正なら極小です。

問いの形を見分ける

1つ目は関数が与えられ、停留点と極値を求める問題です。まず定義域の内点で導関数が0となる点を求め、次にその両側で導関数が正か負かを調べます。極値を答えるときは、xの値と関数の値を取り違えないようにします。

2つ目は、ある点が極値になるかを理由つきで判定する問題です。停留点であることは候補を得る情報ですが、それだけで極大とも極小とも決まりません。符号が変わらない場合も、左右の増減を示して結論を出します。

3つ目は、条件の違いを問う問題です。微分可能な内点で極値をとれば導関数は0ですが、逆向きは一般に成り立ちません。また、微分できない内点に極値がある関数もあります。どの方向の主張で、どの仮定が必要かを意識します。学習指導要領の数学IIIには導関数を用いた関数の増減と極大・極小が含まれます。

停留点と極値の関係

関数fが内点aで微分可能で、f′(a) = 0のとき、aを停留点と呼びます。曲線上の点を指すときは(a, f(a))と表します。極大とは、aの十分近くの定義域内のxに対してf(x) ≦ f(a)となることです。極小は不等号の向きが逆で、f(x) ≧ f(a)となることです。極大値・極小値はそれぞれの関数値であり、両方をまとめて極値と呼びます。定数関数のように近傍で値が等しい場合も、この定義では極大かつ極小です。

fが内点aで微分可能で、そこで極値をとるならf′(a) = 0です。例えば極小なら、正のhでは差商 (f(a + h) − f(a))/h は0以上、負のhでは0以下です。両側の差商が同じ微分係数に収束するので、その値は0です。極大でも不等号の向きが逆になるだけで同様です。この命題は、微分可能な内点の極値を探す際に0を候補にできるという必要条件です。

一方、f′(a) = 0から極値を結論することはできません。図1のように、aの両側の導関数が正なら関数は両側で増加し、aは山でも谷でもありません。aの近くで左が正、右が負なら極大、左が負、右が正なら極小です。これは、その両側の区間で微分可能で、aで連続な関数について、導関数の符号から増減を判定する方法です。正負が逆転することが十分な根拠になりますが、判定点の値と両側の値を連続性でつなぐことも必要です。

例えばf(x) = x³ではf′(x) = 3x²です。x = 0で導関数は0ですが、それ以外では正なので0の前後で増加します。f(0)より小さい値と大きい値がどちらも近くにあり、極値ではありません。逆向きの主張を否定するには、この1例で十分です。

必要条件の仮定が欠ける場合もあります。f(x) = |x|は0で極小ですが、左右の差商が一致せず微分できません。したがって「極値なら必ず導関数が0」と無条件には書けません。定義域の端点での扱いも問題の定義に従い、以下では特に断らない限り内点の極値を調べます。

基本例題：水平になった後の向きを見る

関数f(x) = x³ − 3xの停留点と極値を求め、座標と値は整数で答えてください。

多項式なので全実数で連続かつ微分可能です。候補を求めます。

f′(x) = 3x² - 3
       = 3(x - 1)(x + 1)
f′(x) = 0 より x = -1, 1

x < -1では2つの因子がともに負なのでf′(x) > 0です。-1 < x < 1では符号が異なりf′(x) < 0、x > 1ではともに正なのでf′(x) > 0です。図2のように、-1では増加から減少へ、1では減少から増加へ変わります。

それぞれの関数値を元の式に戻します。

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)
      = -1 + 3
      = 2
f(1) = 1³ - 3・1
     = 1 - 3
     = -2

停留点は曲線上の(-1, 2)、(1, -2)です。x = -1で極大値2、x = 1で極小値-2をとります。候補は導関数の因数分解で尽くされ、いずれも実数全体の内点です。導関数が0でない内点は、先ほどの必要条件から極値点になりません。

符号を調べるとき、因子の一部だけを見てはいけません。例えばx = 0ではf′(0) = -3なので、2つの候補の間は減少です。候補の値を関数f′に代入するとどちらも0になり、極値そのものが求まりません。最後はfに代入する場所を確認します。

標準例題：候補が極値にならない場合

関数g(x) = x⁴ − 4x³について、停留点と極値を求め、座標と値は整数で答えてください。

多項式は全実数で連続かつ微分可能です。まず導関数を因数分解します。

g′(x) = 4x³ - 12x²
       = 4x²(x - 3)
g′(x) = 0 より x = 0, 3

x²はx = 0以外で正です。x < 0でも0 < x < 3でもx − 3は負なので、g′(x) < 0です。x > 3ではg′(x) > 0です。0では負から負で符号が変わらず、3では負から正に変わります。

g(0) = 0⁴ - 4・0³
     = 0
g(3) = 3⁴ - 4・3³
     = 81 - 108
     = -27

停留点は(0, 0)、(3, -27)です。x = 0は停留点ですが、その前後で減少しているため極値ではありません。x = 3で極小値-27をとり、極大値はありません。0での接線が水平であることと、そこで極値をとることは別の判断です。

符号表を作る際、0を区切りとして書いたうえで左右をそれぞれ調べます。x²が0になるという情報だけから符号が反転すると決めることはできません。左右の試し値を代入する方法もありますが、その符号が区間全体で変わらない理由を因子ごとに示すと、見落としを防げます。

発展例題：微分できない点も候補に残す

関数h(x) = |x − 2| + x²を考えます。停留点と極値を求め、xと値は分数または整数で答えてください。

絶対値の中身が0になる2で式が切り替わります。関数は実数全体で連続ですが、2で微分可能とは限りません。まず場合分けして、各開区間で微分します。

x < 2 のとき h(x) = 2 - x + x²
                 h′(x) = 2x - 1
x > 2 のとき h(x) = x - 2 + x²
                 h′(x) = 2x + 1

x < 2ではh′(x) = 0からx = 1/2を得ます。x > 2では2x + 1 > 0なので零点はありません。x = 2の左からの傾きは3、右からの傾きは5で一致せず、微分係数は存在しません。したがって2は停留点ではありませんが、極値候補から直ちに除外することもできません。

x < 1/2 では 2x - 1 < 0
1/2 < x < 2 では 2x - 1 > 0
x > 2 では 2x + 1 > 0
h(1/2) = |1/2 - 2| + (1/2)²
         = 3/2 + 1/4
         = 7/4
h(2) = |2 - 2| + 2²
     = 4

1/2では減少から増加に変わり、極小値は7/4です。2の両側は増加し、連続性もあるため2は極値ではありません。停留点は(1/2, 7/4)で、極大値はありません。元の絶対値の式に代入して値を確かめ、1/2が場合分けの条件x < 2を満たすことも確認しました。

この問題では、微分可能な区間内の零点に加え、微分できない内点2を調べました。必要条件は微分可能な点にしか適用できないためです。左の式と右の式が同じ値につながるかも、左右の増減から点そのものを判定するときに欠かせません。

誤答を直す：0の重なりを符号で確かめる

標準例題で「g′(0) = 0だからx = 0で極小値0」と書いたとします。計算した導関数の値は正しいものの、極小の根拠が不足しています。図3のようにg′(x) = 4x²(x − 3)は0の左でも右でも負です。両側で減少するので、0より少し左の関数値はg(0)より大きく、少し右の値は小さくなります。

直すときは「0は停留点である」と候補を記した後、「左右ともg′(x) < 0だから極値でない」と続けます。さらに3では負から正へ変わることを示せば、極小値の場所を取り違えません。符号表は点の上に0を書くためだけの表ではなく、区間の動きを記録する表です。

また、導関数が存在しない点を表から落とすのも失敗です。先の絶対値の例では2を区切って左右を確認しました。もし連続性が欠ける点なら、左右の導関数の符号だけで点の値と近くの値を比較できないので、関数値そのものに戻ります。

候補を選ぶときには、解いた方程式の解が元の定義域に入るかも確かめます。定義域から外れる数では関数値を持たないため、停留点にも極値点にもなりません。区間の端点が含まれる問題では、内点の必要条件をそのまま端点に適用せず、問題の求める極値の定義に沿って片側の値を調べます。候補を並べる段階と、各候補が実際に条件を満たすか調べる段階を分けると、結論の根拠が残ります。

練習問題

次の5問では、特に断らない限り定義域は実数全体です。停留点は曲線上の座標で、極値はそれをとるxと値を正確に答えてください。計算結果は整数または分数で表します。

1. f(x) = x³ − 12xの停留点と極値を求めてください。
2. f(x) = x⁴ + 4x³の停留点と極値を求めてください。
3. f(x) = (x − 1)³ + 5の停留点と極値を求めてください。
4. f(x) = |x + 1| + x²の停留点と極値を求めてください。
5. f(x) = x⁴ − 2x²の停留点と極値を求めてください。

答えと解き方

1. 全実数で微分可能で、f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2)です。零点は-2と2で、符号は左から正、負、正です。f(-2) = -8 + 24 = 16、f(2) = 8 − 24 = -16なので、停留点は(-2, 16)、(2, -16)です。x = -2で極大値16、x = 2で極小値-16です。どちらも元の関数に代入して値を確認できます。

2. 全実数で微分可能で、f′(x) = 4x²(x + 3)です。零点は-3と0です。符号はx < -3で負、-3 < x < 0とx > 0で正です。f(-3) = 81 − 108 = -27、f(0) = 0より、停留点は(-3, -27)、(0, 0)です。x = -3で極小値-27をとり、0では符号が変わらず極値ではありません。極大値はありません。

3. 全実数で微分可能で、f′(x) = 3(x − 1)²です。零点は1で、その両側では正です。f(1) = 5なので停留点は(1, 5)ですが、前後で増加するため極値はありません。1に代入して確かめた値5は極値ではなく、停留点の縦座標です。

4. x < -1ではf(x) = -x − 1 + x²、f′(x) = 2x − 1 < 0です。x > -1ではf(x) = x + 1 + x²、f′(x) = 2x + 1です。後者の零点-1/2はx > -1を満たします。-1の左右の傾きはそれぞれ-3と-1で一致せず、そこでは微分できません。-1の両側は減少し、-1/2では負から正に変わります。f(-1/2) = 1/2 + 1/4 = 3/4なので停留点は(-1/2, 3/4)、x = -1/2で極小値3/4です。極大値はありません。

5. 全実数で微分可能で、f′(x) = 4x³ − 4x = 4x(x − 1)(x + 1)です。零点は-1、0、1で、符号は左から負、正、負、正です。元の式ではf(-1) = -1、f(0) = 0、f(1) = -1です。停留点は(-1, -1)、(0, 0)、(1, -1)です。x = -1と1で極小値-1、x = 0で極大値0をとります。同じ極小値を異なる2点でとることもあります。

要点

• 微分可能な内点の極値では導関数が0です。
• 停留点では左右の導関数の符号を調べます。
• 正から負なら極大、負から正なら極小です。
• 微分できない内点も別に調べます。
• 極値は元の関数に代入して求めます。

つまずきを見分ける

候補を出せても判定が進まないときは、導関数の因子を指して「この因子は候補の左と右で何符号ですか」と問い直します。次に因子の積全体の符号を区間ごとに書き、変化の向きと極大・極小を対応させます。個別指導で確かめるなら、微分できない点を候補に残したか、最後にどの式へ代入したかも手元の計算で確認します。停留点の一瞬の傾きと、その前後の動きを分けると極値の判定が明確になります。