高校数学III 極値を持つ条件—文字を含む導関数の零点と符号変化を分類する｜武蔵野個別指導塾

判別式だけでは決まらない極値の個数を、零点の重なりと正の定義域への所属から、境界を含めて分類します。

よくあるのは、理系高3の演習で、文字を含む導関数の判別式が正と出たところで、極値が2つあると結論する場面です。導関数の方程式に異なる実数解が2つあっても、その一方が関数の定義域に入らないことがあります。また、判別式が0の境界では、重解の前後で符号が変わるかを別に調べる必要があります。候補の数と極値の数の間に、どの確認が必要かを順に追います。

学習範囲としては、導関数を用いた関数の増減と極大・極小を扱います。ここでの主題は極値の有無と個数であり、区間上の最大値・最小値の比較には立ち入りません。

要点（結論から）

• まず関数の定義域と微分可能な範囲を確認します。
• 導関数の零点は候補であり、定義域に入るものを選びます。
• 左右の符号が変わる点で極値を持ちます。

どの境界で分類するか

第1の型は、導関数が2次式になる問題です。判別式を使えば実数の零点が現れる境界が見えます。異なる2つの零点では通常それぞれ符号が変わりますが、重解では符号が変わらないことがあります。判別式の正負だけでなく、0のときの式も書き直します。

第2の型は、対数などによって定義域に制限がある問題です。導関数の式を0とする実数が見つかっても、もとの関数が定義されない点は候補に入りません。零点が定義域の端を横切る文字の値も、分類の境界です。

第3の型は、導関数が複数の因子に分かれる問題です。零点同士が一致すると、各因子の符号変化が打ち消し合う場合があります。どの順番に零点が並ぶか、重なる境界がどこかを先に整理すると、場合分けの漏れを防げます。

候補から極値へ進む条件

関数fが点aの近くで定義され、aの十分近くのどのxについてもf(x) ≤ f(a)となるとき、fはaで極大となります。逆にf(x) ≥ f(a)となるときは極小です。極大値と極小値を合わせて極値と呼びます。ここでは、定義域の内部にある点の左右を比較します。

微分可能な内点で極値を持つなら、そこでf′(a) = 0です。ただし、f′(a) = 0から必ず極値が出るわけではありません。例えばf(x) = x³ではf′(x) = 3x²であり、0を挟んで導関数は正のままです。関数は0の前後で増加するため、0は極値を与えません。

一方、ある内点の左右で導関数が正から負に変われば極大、負から正に変われば極小です。これは、その点の左右での増減を利用する判定です。正から正、負から負なら増減の向きは変わらず、極値にはなりません。導関数の符号を調べる前に、関数がその区間で連続かつ内部で微分可能であることを確かめます。

図1のように、零点の存在、定義域への所属、左右の符号変化は別々の関門です。最初の関門を通った候補も、後の関門で外れることがあります。

文字の範囲を答える際には、境界そのものを必ず代入します。境界の左右で結論が異なることから、境界の結論まで推測することはできません。式の次数が下がる場合も同様で、2次式として判別式を使う前に最高次の係数が0かどうかを確かめます。

基本例題：2つの零点が重なる境界

実数aに対し、全実数で定義された関数

f(x) = x³/3 - ax

が極大と極小の両方を持つためのaの範囲を求めてください。範囲は不等式で答えます。

多項式なので全実数で連続かつ微分可能です。導関数とその零点の関係を調べます。

f′(x) = x² - a
f′(x) = 0 の条件は x² = a

a < 0ならx² − a > 0です。全域で増加し、極値はありません。a = 0ならf′(x) = x²で、0の両側で正です。0は零点ですが、増加から減少へも減少から増加へも変わりません。

a > 0では零点はx = -√a、√aです。x² − a = (x + √a)(x − √a)と分解できます。各因子の符号を比べると、導関数は左から正、負、正です。したがってx = -√aで極大、x = √aで極小となります。図2のように、2点が重なるa = 0を含めないことが要点です。

求める条件はa > 0です。確認としてa = 1をもとの関数に戻すとf(x) = x³/3 − xで、停留点は-1と1です。左右で導関数は正、負、正となり、確かに両方の極値があります。a = 0ではf(x) = x³/3となり、求める性質を満たしません。境界を含めない理由は判別式の計算結果だけでなく、符号が変わらないことです。

標準例題：零点が定義域の端を越える

実数aに対し、x > 0で定義された関数

f(x) = x²/2 - 3x + a log x

が極値を2つ持つためのaの範囲を、不等式で求めてください。対数の真数条件から、0は定義域に含まれません。

この関数はx > 0で連続かつ微分可能です。導関数を通分します。

f′(x) = x - 3 + a/x
       = (x² - 3x + a)/x

x > 0なので分母は正です。導関数の符号は分子q(x) = x² − 3x + aの符号と一致します。2つの極値には、相異なる2つの零点がともに正であることが必要です。また、その条件が成り立てば各零点で符号が変わるので十分です。

qの判別式をDとすると、

D = 9 - 4a
D > 0 は a < 9/4

2根の和は3、積はaです。a > 0かつD > 0なら、実数の2根は積が正で同符号、和が正なのでともに正です。その左右でqの符号は正、負、正となり、極大と極小を1つずつ持ちます。

境界を個別に確認します。a = 0ではq(x) = x(x − 3)ですが、x = 0は定義域外です。x = 3では負から正に変わるので極小は1つです。a < 0では積が負なので2根のうち正のものは1つで、そこに極小を持ちます。a = 9/4ではq(x) = (x − 3/2)²となり、正の零点を挟んでも符号は正のままです。a > 9/4ではqは常に正です。後の2つの場合に極値はありません。

したがって答えは0 < a < 9/4です。例えばa = 2を戻すと、分子は(x − 1)(x − 2)です。1と2はともにx > 0に入り、正、負、正の符号変化をもとの導関数でも確認できます。判別式が正でも、a = -4なら根は-1と4なので、定義域内の候補は4だけです。

発展例題：固定された零点と動く零点

実数aに対して全実数で定義された関数

f(x) = x⁴/4 - (a + 2)x³/3 + ax²

の極値の個数をaによって分類してください。個数は整数で答えます。

多項式であり全実数で連続かつ微分可能です。導関数を因数分解します。

f′(x) = x³ - (a + 2)x² + 2ax
       = x(x² - (a + 2)x + 2a)
       = x(x - 2)(x - a)

候補は0、2、aです。aが0または2に一致するかどうかで、候補の重なり方が変わります。3点が異なるとき、それぞれを通過する際に1つの因子だけが符号を変え、他の因子は0にならず符号を保ちます。したがって各候補で導関数の符号が変わり、極値は3つです。

重なる場合を直接調べます。

a = 0 のとき f′(x) = x²(x - 2)
a = 2 のとき f′(x) = x(x - 2)²

a = 0では0の前後でx²は正なので、0で符号は変わりません。2では負から正に変わり、極小を持ちます。a = 2では2の前後で(x − 2)²は正なので、2で符号は変わりません。0では負から正に変わり、極小を持ちます。

よってa = 0またはa = 2のとき極値は1つ、それ以外のときは3つです。例えばa = 1なら導関数はx(x − 1)(x − 2)です。左から負、正、負、正となり、0と2が極小、1が極大です。a = 0をもとの関数へ戻すとf(x) = x⁴/4 − 2x³/3であり、導関数は上の境界式に一致します。重なった零点を2回数えず、その両側を調べます。

誤答を直す：判別式の後に何を見るか

標準例題で「D > 0だからa < 9/4なら極値が2つ」とする解答を考えます。これは分子の方程式が異なる2実根を持つ条件としては正しいものの、その2点がともにx > 0にあるとは限りません。

例えばa = -4では分子が(x + 1)(x − 4)となります。図3のように-1は定義域の外であり、0は関数そのものが定義されない境目です。x > 0では分母が正なので、4の前で導関数は負、後で正です。極小は1つであり、極値2つという結論は成立しません。

修正には、実数解の個数に続けて「そのうち正の解は何個か」を問います。根の積と和を使えば、根号を含む解の公式を書かずに両方が正かを判定できます。最後に、採用した点の左右で符号が変わることを確認します。a = 0とa = 9/4のような境界は、それぞれ元の式へ戻して検査します。

練習問題

次の5問は、それぞれ極値を持つ条件または個数を求めます。文字はすべて実数とし、範囲は不等式、個数は整数で答えてください。対数の底は自然対数です。

1. 全実数でf(x) = x³/3 − 4bxとします。極値を2つ持つbの範囲を求めてください。
2. x > 0でg(x) = x²/2 − 5x + b log xとします。極値を2つ持つbの範囲を求めてください。
3. 全実数でh(x) = x³/3 − bx² + b²xとします。bによらず極値があるか答えてください。
4. 全実数でp(x) = x⁴/4 − (b + 3)x³/3 + 3bx²/2とします。極値の個数をbによって分類してください。
5. x > 0でq(x) = x + b log xとします。極値を持つbの範囲と、その極値が極大か極小かを答えてください。

練習問題の答えと解き方

いずれの式も指定された定義域で連続かつ微分可能です。各答えを元の定義域と導関数へ戻して確認します。

1. f′(x) = x² − 4bです。b > 0なら零点は-2√bと2√bで、符号は正、負、正です。b = 0では0を挟んで正のまま、b < 0では常に正です。したがって答えはb > 0です。例えばb = 1では元の式はx³/3 − 4xとなり、-2と2が両方とも定義域内にあります。

2. g′(x) = (x² − 5x + b)/xです。x > 0で分母は正です。分子が異なる正の2根を持つ条件は、判別式25 − 4b > 0と根の積b > 0です。和は5なので、この2条件で根はともに正です。答えは0 < b < 25/4です。b = 0では0が除かれ、b = 25/4では重解で符号が変わりません。例えばb = 6を戻すと分子は(x − 2)(x − 3)で、両方の候補が正です。

3. h′(x) = x² − 2bx + b² = (x − b)²です。x = bで0ですが、その左右では正なので符号は変わりません。したがって、どのbでも極値はありません。b = 0を戻してもh(x) = x³/3で、0の両側で増加します。零点の存在だけでは極値を決められない例です。

4. p′(x) = x(x − 3)(x − b)です。bが0または3でなければ3つの零点は異なり、各点で符号が変わるので極値は3つです。b = 0ではx²(x − 3)、b = 3ではx(x − 3)²となり、重なった点では符号が変わらず、残る点でのみ変わります。よってb = 0または3では1つ、それ以外では3つです。b = 1を元の式に戻すと導関数はx(x − 1)(x − 3)となり、3点は相異なります。

5. q′(x) = (x + b)/xです。x > 0で分母は正なので、候補はx = -bが正となるb < 0の場合にあります。その点の前では分子が負、後では正なので極小です。b ≥ 0では導関数は定義域内で正であり、極値はありません。例えばb = -2を戻すとq(x) = x − 2 log xで、候補x = 2は正であり、前後で減少から増加に変わります。

要点

• まず関数の定義域と微分可能な範囲を確認します。
• 導関数の零点は候補であり、定義域に入るものを選びます。
• 左右の符号が変わる点で極値を持ちます。
• 重解や零点が重なる境界は元の式で調べます。
• 判別式に加え、根の位置と個数を照合します。

つまずきを見分ける問い

判別式の不等式だけで答案が終わっていたら、「その根はもとの関数に代入できるか」と問い直します。対数の例なら、正の根の個数を積と和から説明できるかを確かめます。重解で極値と答えた場合は、候補の両側に1点ずつ取って導関数の符号を書きます。個別指導では、候補を出す式と符号変化を示す式の間を指でたどり、どの条件を使ったか言葉にする練習が有効です。極値の条件は、候補を数えるところから左右の増減を結ぶことで決まります。