高校数学III 一点での連続性—関数値と左右の極限の三つを別々に確かめる｜武蔵野個別指導塾

穴のある分数式や跳びのある関数を使い、点の値と左右の極限を分けて一点での連続性を判定します。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで左右から近づいた値が一致すると、接続点の関数値もその値に等しいと決めてしまう場面です。左右の式が同じ高さに近づいていても、その点に別の値が指定されていることがあります。式に代入できない穴もあります。近くの値と点そのものの値を別々に書き出し、最後に照合すると、どの条件が不足したかまで説明できます。

判定はどこで分かれるか

出方の1つは、分母がゼロになる点を含む分数式です。約分後の式には代入できても、もとの式がその点で定義されているとは限りません。穴を埋める値が別に与えられた場合は、その値と極限を比べます。未定義の場合には、元の関数についてその点で連続とはいえません。

もう1つは、接続点を境に式が変わる関数です。左側と右側で使う式をそれぞれ選び、片側極限を求めます。両者が異なれば点の値を何にしても両側の極限は存在せず、連続にはなりません。一致した場合でも、点を含む等号がどちらに付くかを読んで関数値を別に求めます。

定義域の端では、定義域の外側からの値を要求しません。たとえば左端なら右側から近づいた極限と端の関数値を比較します。この片側連続の判定と、左右両側が定義域にある点の判定を区別しましょう。ここでは一点の連続性を扱い、微分可能性には進みません。

三つの欄を埋める

点aの両側の近くで定義された関数fについて、fがaで連続であるとは、f(a)が定義され、lim[x→a] f(x)が存在し、その極限値がf(a)に等しいことです。両側から近づける場合、有限の左極限と右極限が同じ値であることが、両側の有限な極限の存在に対応します。したがって実際の計算では、左極限、右極限、f(a)をそれぞれ求めて照合します。

図1のように、左右の矢印が同じ場所を指しても、中央の点がそこにあるかを別に調べます。点の値が未定義なら、左右が一致しても連続性の条件は満たされません。左右が食い違うときも、点の値がどちらか一方に一致するだけでは足りません。

図1の3欄が同じ有限値にそろう場合に連続です。極限の計算中にaを除いて式を変形することはできますが、その変形はaにおける元の式の値を新たに作りません。点の値は元の定義から読みます。

左端aを含み、その右側に定義域があるときは、右極限がf(a)に等しければ右連続です。右端では左極限を使います。端点の外側には定義域がないので、その側の式を勝手に補って判定しません。また、定義域にaが含まれなければf(a)自体がなく、端点としての片側連続も判定できません。

基本例題：穴を埋める値

関数fを、x ≠ 2ではf(x) = (x² − 4)/(x − 2)、x = 2ではf(2) = 5と定めます。x = 2で連続か判定し、連続でなければ、他の点の値を変えずにf(2)をどの値に取り直せば連続になるか、整数で求めてください。

まず分母はx = 2でゼロです。x ≠ 2という条件のもとで因数分解してから約分します。

(x² - 4)/(x - 2)
= ((x - 2)(x + 2))/(x - 2)
= x + 2  （x ≠ 2）

この等式は2以外で成立します。2の左からでも右からでもx + 2は4に近づくので、次のようになります。

lim[x→2-] f(x) = 4
lim[x→2+] f(x) = 4
lim[x→2] f(x) = 4
f(2) = 5

極限は存在しますが、定義された値5と一致しないため、元のfは2で連続ではありません。f(2)を4に取り直せば、左右の極限と点の値が4でそろうため連続になります。点以外の値を変更する必要はありません。

図2のように、直線上の白い丸は近くの式が近づく位置、塗られた点は指定された関数値です。図2では両者の高さが異なるので、点を白い丸の位置へ移した場合に限って連続になります。約分後の式に2を代入した4は極限の計算に使う値であり、元の定義に書かれた5を上書きする根拠にはなりません。

元の条件に戻して確かめます。x ≠ 2では分数式が変わらず、x = 2だけを4にすれば、左右の式が向かう高さと指定値がともに4です。逆に点を5のままにすれば、どれほど2に近づいても近くの値は4に近づくため、点の値とのずれは消えません。

標準例題：跳びを点の値で直せるか

関数gを、x < 1ではg(x) = 2x + 1、x ≥ 1ではg(x) = x + 4と定めます。x = 1で連続か判定し、g(1)だけを別の実数に変更して連続にできるか答えてください。

1の左側では前の式、右側では後の式を使います。点そのものには等号を含む後の式を使います。

lim[x→1-] g(x) = 2・1 + 1
                  = 3
lim[x→1+] g(x) = 1 + 4
                  = 5
g(1) = 1 + 4
     = 5

左極限3と右極限5が異なるため、両側の極限は存在しません。したがってgは1で連続ではありません。右極限とg(1)がともに5であっても、左からの接近が3に向かうことは変わりません。

点の値を3に変更すると左側とは一致しますが、右側の極限5とは一致しません。5にしても左側が一致せず、他の値でも左右の食い違いは残ります。点の値だけの変更では連続にできません。左右の式を点以外でも変更するなら別の問題ですが、この条件では許されていません。

元の区分に戻すと、1より小さい値が1に近づくとき2x + 1は3へ向かい、1より大きい値ではx + 4が5へ向かいます。等号の位置が変わっても、この2つの片側極限は変わりません。等号は点の値を決めるために必要であり、左右の極限まで決めるものではないと整理します。

発展例題：定義域の端を読む

定義域をx ≥ 4とする関数hを、x > 4ではh(x) = (√x − 2)/(x − 4)、x = 4ではh(4) = 1/4と定めます。左端4で右連続か判定し、x < 4からの極限が必要か説明してください。

x > 4ではx − 4はゼロではなく、√x + 2も正です。有理化して、定義域内で4に近づく値を調べます。

(√x - 2)/(x - 4)
= ((√x - 2)(√x + 2))/((x - 4)(√x + 2))
= (x - 4)/((x - 4)(√x + 2))
= 1/(√x + 2)  （x > 4）
lim[x→4+] h(x) = 1/(2 + 2)
                   = 1/4
h(4) = 1/4

右極限と端の値が一致するので、hは4で右連続です。定義域には4より小さい数が含まれないため、左から近づく関数値はこの関数について用意されていません。左極限を条件として要求せず、定義域内からの接近を使います。

元の式に戻ると、x > 4では分母は正で、根号も定義されています。有理化に使った因子はゼロではありません。点4では分数式に代入するのでなく、別に定めた1/4を使うことが、右極限との照合につながります。

もし端の値が1/4以外なら、右極限はそのまま1/4でも右連続ではありません。また4を定義域から除けば右極限は求められますが、h(4)がないため4での右連続性は成り立ちません。近づく道筋と、到着点が定義されていることは別の条件です。

誤答を直す：穴と値を混同しない

基本例題で「約分するとx + 2だから、f(2) = 4。よって連続」とする解答を考えます。約分した式が表すのは、分母がゼロでないxでの値です。元の定義は2での値を5と別に与えているので、4をそのままf(2)と書く行に誤りがあります。

図3のように、近くの式から得た4は極限の欄へ、点の定義から得た5は関数値の欄へ入れます。図3の2つを比較すれば不一致が残ります。直すときは、約分の横にx ≠ 2を残し、最後にf(2) = 5を元の問題文から書き出します。

逆の失敗もあります。「元の分数式は2で計算できないので、極限もない」とする判断です。点での代入と、その点を除いて近づける操作は違います。約分後の式を2以外で使えば、左右の極限はともに4と求められます。ただし、点の値が未定義の分数関数なら、そのままでは2で連続ではありません。極限の存在と連続性の成立を一度に判定せず、必要な欄を順に確認しましょう。

練習問題

次の各問は、左右の式と点の値を元の定義に戻して確認してください。値を求める問は整数または分数で答えます。

1. p(x) = (x² − 9)/(x − 3)をx ≠ 3で定めます。x = 3での極限を求め、元のpが3で連続か判定してください。
2. q(x)をx ≠ -2では(x² − 4)/(x + 2)、x = -2では-4と定めます。-2で連続か判定してください。
3. r(x)をx < 0では3x + 2、x ≥ 0ではx + 2と定めます。0で連続か判定してください。
4. s(x)をx ≤ 2ではx + 1、x > 2では2x + 1と定めます。2で連続か判定し、点の値だけの変更で連続にできるか答えてください。
5. 定義域x ≥ 9で、t(x)をx > 9では(√x − 3)/(x − 9)、x = 9では1/6と定めます。9で右連続か判定してください。

練習問題の答えと道筋

1. x ≠ 3で分母はゼロでないので、因数分解して約分します。

(x² - 9)/(x - 3)
= ((x - 3)(x + 3))/(x - 3)
= x + 3
lim[x→3] p(x) = 6

左右とも6へ近づきますが、元のpは3で定義されていません。したがって元のpは3で連続ではありません。3での値を6と別に定めれば連続に延長できますが、それは元のpとは定義域の異なる関数です。

2. x ≠ -2で次のように変形します。

(x² - 4)/(x + 2)
= ((x - 2)(x + 2))/(x + 2)
= x - 2
lim[x→-2-] q(x) = -4
lim[x→-2+] q(x) = -4
q(-2) = -4

左右と点の値が一致するので連続です。元の定義に戻しても、-2以外では分数式、-2では指定値-4を使っています。約分した式が点の定義を置き換えたわけではありません。

3. 0の左と右で、それぞれの一次式を使います。

lim[x→0-] r(x) = 3・0 + 2 = 2
lim[x→0+] r(x) = 0 + 2 = 2
r(0) = 0 + 2 = 2

3つが一致するので0で連続です。等号は後の式にあるため、点の値にはx + 2を使いました。左側の式を点で使っても偶然2ですが、正しい読み取りとは区別します。

4. 接続点の左右と、等号のある側の値を求めます。

lim[x→2-] s(x) = 2 + 1 = 3
lim[x→2+] s(x) = 2・2 + 1 = 5
s(2) = 2 + 1 = 3

左右の極限が異なるため連続ではありません。点の値を変更しても左右の式は変わらず、両側の極限が存在しないので、点の値だけでは連続にできません。元のx ≤ 2とx > 2という範囲に戻すと、左から3、右から5への接近が確かに残ります。

5. x > 9で√x + 3は正なので有理化できます。

(√x - 3)/(x - 9)
= ((√x - 3)(√x + 3))/((x - 9)(√x + 3))
= 1/(√x + 3)
lim[x→9+] t(x) = 1/(3 + 3) = 1/6
t(9) = 1/6

右極限と端の値が一致するので右連続です。定義域は9以上であり、左側の値を要求しません。元の分数式は9で使わず、定められた点の値を照合しています。

要点

左右から近づける点では、左極限・右極限・点の値を分けて求めます。 3つが同じ有限値なら連続で、どれかが欠けるか異なれば連続ではありません。 定義域の端では、定義域内からの片側極限と端の値を比べます。

途中式から見えるつまずき

個別指導で確認するなら、まず問題文の等号に印を付けてもらい、点の値をどの式から読んだかを見ます。次に約分の行に除外した点が残っているかを確かめ、左極限・右極限・関数値を別々に書いてもらいます。3つの数字が偶然同じでも、それぞれの根拠が説明できるかが確認の焦点です。

端点では、定義域を数直線に書き、どちら側から点に近づけるかを問い直します。未定義の点、異なる左右の極限、点の値だけの不一致を区別できれば、連続でない理由を一文で示せます。点に近い値と点の値を分けて読むことが、一点での連続性の判定を支えます。