高校数学A チェバの定理の証明—面積比を消去して三本の線分の関係を導く｜武蔵野個別指導塾

共点をはさむ3つの面積比を循環させ、チェバの式で分子と分母が消える仕組みを組み立てます。

よくあるのは、三角形の内部の1点を通る3本の線を見て、3つの比のうち1つを逆数にしてしまう場面です。式の形だけを思い出そうとすると、どの辺で向きを変えたかが見えなくなります。面積を間に置いて式を作り、最後に消える量を追えば、比の向きには理由があるとわかります。

どのような問いで使うか

1つ目は、3本が内部の1点で交わるとき、辺を分ける比から残る比を求める問いです。点の名前を図に書き込み、辺に沿って同じ向きに一周してから積を作ります。比の前半と後半を別々に覚える必要はありません。

2つ目は、定理そのものを証明する問いです。共点という仮定から、同じ高さを持つ三角形の面積を比べます。辺の比を面積比に置き換えた後、共通の量を消去します。なぜ高さが等しいかまで言葉にすると、式の順序を自分で再現できます。

3つ目は、共点の情報を使って面積や線分の長さを求める問いです。辺の比から全体の長さを分ける段階では、比の和を使います。比の値と実際の長さは別のものなので、最後に元の辺の長さに戻して確かめます。

面積を中継して一周する

つぶれていない三角形 ABC の辺 BC、CA、AB の内部にそれぞれ D、E、F を取り、線分 AD、BE、CF が三角形の内部の点 P で交わるとします。外分点はなく、D、E、F はいずれも端点ではありません。各線分の長さは正で、以下の分母は0ではありません。

このときチェバの定理は、正の長さの比について次の関係を述べます。

BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB = 1

図1のように、辺の上を B から C、C から A、A から B へ進むと、各比は進行方向に並びます。最初の辺を変えても、3つの因子が巡回するだけです。すべてを逆にした CD/DB ・ AE/EC ・ BF/FA も積は1ですが、1つだけ逆にすると一般には1になりません。

図1の面積を使い、なぜ積が1になるかを示します。三角形 XYZ の面積を [XYZ] と書きます。P は AD 上にあるので、三角形 ABD と ACD は底辺をそれぞれ BD、DC と見ると、高さが共通です。したがって次が成り立ちます。

BD/DC = [ABD]/[ACD]

同じ底辺 BD、DC に対して頂点を P に替えた2つの三角形も高さが共通です。よって BD/DC = [PBD]/[PCD] でもあります。D は辺 BC の内部、P は AD の内部にあるため、面積の分割により [ABD] = [ABP] + [PBD]、[ACD] = [ACP] + [PCD] です。

共通の比を r とすれば [ABD] = r[ACD]、[PBD] = r[PCD] です。両式を引くと [ABP] = r[ACP] となります。面積は正なので、割って次を得ます。

BD/DC = [ABP]/[ACP]

同様に頂点と辺の名前を巡回させれば、次の2式が得られます。それぞれ同じ辺を底辺とする面積の差を使った結果です。

CE/EA = [BCP]/[ABP]
AF/FB = [ACP]/[BCP]

3式を掛けると、正の面積 [ABP]、[BCP]、[ACP] が分子と分母でそれぞれ消えます。

BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB
= [ABP]/[ACP] ・ [BCP]/[ABP] ・ [ACP]/[BCP]
= 1

これが内部で共点となる場合の証明です。面積が消えることは計算上の偶然ではありません。各辺の比を、P を含む隣り合う2つの三角形の面積比に直したため、3つの面積が循環して現れます。

基本例題：残る辺の比

三角形 ABC の辺 BC、CA、AB の内部に D、E、F があり、AD、BE、CF は内部の1点 P で交わります。BD:DC = 2:3、CE:EA = 4:5 のとき、AF:FB を最も簡単な整数の比で求めてください。

図2のように B→C→A→B の順で比を書きます。3本が内部で共点という条件があるので、定理を使えます。

図2で AF/FB = x と置くと、x は正です。式を1段ずつ変形します。

(2/3) ・ (4/5) ・ x = 1
(8/15)x = 1
x = 15/8
AF:FB = 15:8

答えを元の配置に戻すと、辺 AB は A 側から 15、8 の割合に分かれます。実際に (2/3) ・ (4/5) ・ (15/8) = 1 です。積の照合に加えて、F が辺の内部にあることも、15 と8がともに正であることから確かめられます。

この計算で 8:15 を答えにしてしまう場合は、x を AF/FB と置いたか FB/AF と置いたかを確認します。置いた文字の意味を保ったまま最後に比へ戻せば、分子と分母の入れ替えを防げます。

標準例題：辺全体から長さへ

三角形 ABC の辺 BC、CA、AB の内部に D、E、F があり、AD、BE、CF は内部の1点で交わります。BD:DC = 3:2、CE:EA = 5:6、AB = 19 cm です。AF、FB をそれぞれ分数または整数の cm で求めてください。

共点の仮定から、AF/FB を y とすると次の式です。

(3/2) ・ (5/6) ・ y = 1
(5/4)y = 1
y = 4/5
AF:FB = 4:5

AB 全体は比の 4 + 5 = 9 に当たります。各部分の長さは次のように求まります。

AF = 19 ・ 4/9 = 76/9 cm
FB = 19 ・ 5/9 = 95/9 cm

元の辺に戻すと 76/9 + 95/9 = 171/9 = 19 cm です。また AF/FB = 76/95 = 4/5 で、与えられた2つの比と掛けた積は (3/2) ・ (5/6) ・ (4/5) = 1 です。両方の長さが正なので F は指定された辺の内部にあります。

ここで AF を 19 ・ 4/5 とするのは誤りです。4/5 は AF と FB の比であって、AF と AB の比ではありません。全体の比は9ですから、AF は全体の 4/9 です。面積比で得た結果を長さへ変えるときは、どの2つを比べているかを再度読みます。

発展例題：共点と面積をつなぐ

三角形 ABC の面積は 84 cm² です。辺 BC、CA、AB の内部に D、E、F があり、AD、BE、CF は内部の点 P で交わります。BD:DC = 2:5、CE:EA = 3:4 とします。AF:FB を最も簡単な整数の比で求め、さらに [ABP]、[BCP]、[CAP] をそれぞれ分数または整数の cm² で求めてください。

まず共点から辺の比を求めます。

(2/5) ・ (3/4) ・ AF/FB = 1
(3/10) ・ AF/FB = 1
AF/FB = 10/3
AF:FB = 10:3

証明で得た面積比を使うと、BD/DC = [ABP]/[ACP] = 2/5、CE/EA = [BCP]/[ABP] = 3/4 です。[ABP] を基準に比をそろえます。

[ABP]:[ACP] = 2:5 = 4:10
[BCP]:[ABP] = 3:4
[ABP]:[BCP]:[CAP] = 4:3:10

P は内部にあるので、この3つの三角形は重ならず ABC を埋めます。比の和は 17 であり、面積は次の通りです。

[ABP] = 84 ・ 4/17 = 336/17 cm²
[BCP] = 84 ・ 3/17 = 252/17 cm²
[CAP] = 84 ・ 10/17 = 840/17 cm²

和は (336 + 252 + 840)/17 = 84 cm² です。元の条件にも戻すと、[ABP]/[CAP] = 2/5、[BCP]/[ABP] = 3/4、[CAP]/[BCP] = 10/3 です。最後の比は AF/FB に一致します。3つとも正なので内部の面積として矛盾しません。

面積比をそろえる際、与えられた 2:5 と 3:4 の数字を順番に並べてはいけません。両方に現れる [ABP] を同じ4にそろえてから、3つの面積を並べます。共通する量を橋渡しにするところが、定理の証明と同じ考え方です。

条件が変わるときの見分け方

この証明の仮定は、非退化な三角形、3点が各辺の内部、3線分が内部の同じ点を通ることです。結論は、指定した向きの正の比の積が1になることです。辺の内部という条件は、面積や分母が正であり、面積を差し引く図の位置関係を保証します。

3本のうち2本しか交点を通るとわかっていないとき、残る1本にも定理をそのまま適用することはできません。積が1であることから共点を示すのは逆の問題であり、順方向の証明とは仮定と結論が入れ替わります。ここでは逆の証明や外分の場合へは広げません。

また、点が頂点に重なると、辺の比に0が分母として現れる場合があります。その式は定義できません。図が細く見えても頂点が一直線上にないこと、点が端点でないことを問題文で確認します。見た目が近いことは共点の証明にはならず、文字として同じ点を通る条件が必要です。

誤答から比の向きを直す

図3のように BD:DC = 2:3、CE:EA = 4:5、AF:FB = 15:8 で3本が共点とします。次の式では最初の因子だけが逆向きです。

誤り: (3/2) ・ (4/5) ・ (15/8) = 1

図3の辺 BC で B から C に進むと、先に通るのは BD、次は DC です。誤式の値は (3/2) ・ (4/5) ・ (15/8) = 9/4 で、1にはなりません。原因は計算の前に DC/BD を選び、残りの2辺とは逆の向きに読んだことです。

修正するときは、各辺の数字をいきなり代入せず、まず BD/DC ・ CE/EA ・ AF/FB と文字で書きます。それから各比を代入すれば (2/3) ・ (4/5) ・ (15/8) = 1 です。3つとも逆向きにする方法もありますが、途中で一辺だけ向きを変えないことが要点です。

積が1にならなかったときには、比の向きのほか、元の共点条件、数値の転記、分数の掛け算も順に調べます。逆に積が1になったことだけで、示されていない共点をこの順方向の定理の仮定として扱うことはできません。どの情報から式を書いたかを区別します。

練習：条件から式を作る

いずれも非退化な三角形 ABC の辺 BC、CA、AB の内部に D、E、F を取り、AD、BE、CF は内部の1点 P で交わるものとします。面積は [XYZ] で表します。比は最も簡単な整数の比、長さと面積は整数または既約分数で答えてください。

1. BD:DC = 5:7、CE:EA = 3:2 のとき、AF:FB を求めてください。
2. BD:DC = 4:9、AF:FB = 3:8、CA = 22 cm のとき、CE と EA の長さを求めてください。
3. BD:DC = 3:4、CE:EA = 2:5、[ABC] = 69 cm² のとき、[ABP]、[BCP]、[CAP] を求めてください。
4. BD:DC = 1:2、CE:EA = 3:5 です。ある人が AF:FB = 3:10 としました。この答えが条件に合うかを積で調べ、合わなければ正しい比を求めてください。
5. BD = 6 cm、DC = 10 cm、CE = 9 cm、EA = 12 cm、AF = 20 cm です。FB を求め、求めた長さが条件の比に戻ることを確かめてください。

練習の解答と解き方

1. 共点を使って (5/7) ・ (3/2) ・ AF/FB = 1 と置きます。よって (15/14) ・ AF/FB = 1、AF/FB = 14/15 です。答えは 14:15 です。正の比であり、元の2つと掛けると (5/7) ・ (3/2) ・ (14/15) = 1 に戻ります。

2. CE/EA = z とすると (4/9) ・ z ・ (3/8) = 1 です。したがって z/6 = 1、z = 6 となり、CE:EA = 6:1 です。辺全体の比は7なので CE = 22 ・ 6/7 = 132/7 cm、EA = 22/7 cm です。和は 154/7 = 22 cm、比は 6:1 となり、積も (4/9) ・ 6 ・ (3/8) = 1 です。

3. 証明の面積比から [ABP]:[CAP] = 3:4、[BCP]:[ABP] = 2:5 です。[ABP] を15にそろえると [ABP]:[BCP]:[CAP] = 15:6:20 です。和は41なので、順に 1035/41 cm²、414/41 cm²、1380/41 cm² です。和は 2829/41 = 69 cm² で、15:20 = 3:4、6:15 = 2:5 と元の比に戻ります。

4. 提示された比を入れると (1/2) ・ (3/5) ・ (3/10) = 9/100 で、1ではありません。条件に合わないため、AF/FB = w として (1/2) ・ (3/5) ・ w = 1 を解きます。(3/10)w = 1、w = 10/3 です。正しい比は 10:3 で、(1/2) ・ (3/5) ・ (10/3) = 1 と戻せます。

5. FB = t cm とすると、正の長さの比を使って (6/10) ・ (9/12) ・ (20/t) = 1 です。約分すると 9/t = 1 なので t = 9 です。答えは 9 cm です。元の長さに戻すと (6/10) ・ (9/12) ・ (20/9) = 1 で、各線分が正という条件にも合います。

覚えておきたいこと

• 内部の共点を仮定し、3辺を同じ向きに一周して比を置きます。
• 辺の比は共点を含む三角形の面積比に直せます。
• 3つの面積が循環して消えるので、比の積は1です。
• 長さを求めるときは部分の比を全体の比に直します。

比を逆にしやすいときは、式の前に図の辺を指でたどり、各分点の前後を声に出してみてください。個別指導で確かめるなら、共点が仮定のどこにあるか、等しい高さを持つ2つの三角形はどれか、面積の差を取っても比が保たれる理由は何かを本人の言葉で説明してもらいます。式が正しくても長さへの換算で止まる場合は、辺全体が比の和に当たることから戻ります。向きと面積の対応を追えば、3つの因子は自分で作れます。