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高校数学A 円周角と弧の対応—頂点の位置を分けて等しい角と補角を読み取る｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学A 図形の性質を掘り下げる

同じ弦の両側で等角と補角が切り替わる理由を、頂点を含まない弧と大小2つの中心角から説明します。

よくあるのは、高1が円の中の同じ弦を見つけ、頂点の位置を確かめずに2つの角を等しくする場面です。弦の両側に頂点が分かれると、2つの角は一般には等しくありません。角の両辺が円から切り取る弧を選び、どちらの弧に対する角かを追ってみましょう。

角を追う前に見る場所

円周角を使う問題には、まず同じ弦を見込む2つの角を比べる型があります。頂点が弦の同じ側にあれば角は等しく、反対側にあれば和が180°です。弦の名前を見つけた直後に等号を書かず、2つの頂点を直線の両側に分けます。

次に、中心角から円周角を求める型があります。中心角が示す弧に頂点が入っていないかで、半分にする角が変わります。小さい中心角を常に半分にするとは限りません。弧の反対側から見ると、360°から引いた大きい中心角が対応します。

さらに、円周上の点を移動させたときの角を場合分けする型があります。頂点が端点を越えて別の弧へ移ると、見込む弧も切り替わります。端点そのものでは角の一方の辺が定まらないため、計算から除きます。

弦を挟んで弧を選ぶ

円周上の異なる2点 A、B を結ぶ線分 AB を弦といいます。A から B へ円周をたどる道は2つあり、それぞれを弧 AB と呼びます。区別が必要なら途中の点を添えて弧 ACB のように書きます。A、B が直径の両端でないとき、2つは小さい弧と大きい弧です。直径のときは両方が半円です。

図1のように、P と Q は弦 AB の同じ側、R は反対側にあります。角 APB が見込むのは、P を含まない方の弧 ARB です。角 AQB も同じ弧を見込みます。一方、角 ARB は R を含まない弧 APQB を見込みます。角の頂点を含む弧ではないことが、取り違えを防ぐ目印です。

図1の中心 O から A、B に半径を引きます。中心を頂点とする角には小さい方と、その外側に回る大きい方があります。弧に対応する中心角は、その弧を O から掃く角です。大きい方は180°を超える角として扱います。円周角の定理は、円周上の異なる3点 A、B、P に対し、角 APB が、P を含まない弧 AB に対応する中心角の半分になるというものです。

この定理から同じ弧を見込む角は等しくなります。反対側の頂点 P、R の場合は、対応する2つの中心角の和が360°です。それぞれを半分にすると、角 APB + 角 ARB = 180°となります。これは弦 AB が直径でも成り立ち、そのとき両方が90°です。逆に、和が180°だから円周上にあると判定する話は、ここで使う定理とは別です。

弧を指すときは、円周角の両辺が円と交わる端点を先に決めます。その後、頂点を避ける経路をなぞります。中心角を選ぶときも同じ経路を中心から見ます。端点が同じでも経路が違えば、対応する角は一般に違います。

直径と端点に近い位置

A、B が直径の両端なら、中心 O は弦 AB 上にあります。どちらの半円に頂点を置いても、頂点を含まない半円の中心角は180°です。したがって円周角は90°になり、同じ側の等角と反対側の補角の両方に矛盾しません。この特別な配置を、一般の弦でも両側の角が等しいという根拠にしないようにします。

頂点を円周上で A に近づけても、A に到達する前なら、同じ弧上にある限り見込む弧は変わりません。一方、頂点が A に一致すると線分 PA が長さ0になり、角 APB を定義できません。A を通り越して反対側の弧に移れば、今度は別の弧を見込みます。連続して点を動かす図でも、端点を除いて場合を分ける理由がここにあります。

また、弦 AB に対して同じ側にあるかどうかは、線分 AB の上下を目分量で眺めるのではなく、直線 AB を境として考えます。円を回転させても直線の両側という関係は変わらず、角の関係も変わりません。点の並びを円周に沿って書き出す方法も有効です。端点 A、B の間に2つの頂点がともに入るなら同じ弧上にあり、片方ずつ別の弧にあれば反対側です。

基本例題：同じ弦の両側

円周上に異なる4点 A、B、P、R があり、P と R は直線 AB の反対側にあります。角 APB = 64°です。角 ARB を度で求めてください。

図2のように、P と R が見込む2つの弧は合わせて円周を一周します。弦 AB の両側なので、2つの円周角の和は180°です。

角 ARB を x° とすると、図2に対応する式は次のようになります。

64 + x = 180
x = 180 - 64
x = 116

答えは116°です。元の配置に戻して64°と116°を足すと180°です。P が見込む弧の中心角は128°、残りの弧に対応する中心角は232°です。R は後者を見込むので、その半分も116°になります。大きい中心角を使う場面を確認できました。

もし R が P と同じ側へ移れば、見込む弧は P と同じになり、角 ARB は64°です。数字を変えずに頂点の側だけを変えると、等角か補角かが切り替わります。ただし移動先は A、B と異なる円周上の点とします。

標準例題：中心角の小さい方を使うとは限らない

中心 O の円で、A、B は直径の両端ではなく、小さい方の中心角 AOB は142°です。P は小さい弧 AB 上に、Q は大きい弧 AB 上にあり、いずれも A、B と異なります。角 APB と角 AQB をそれぞれ度で求めてください。

Q は大きい弧上なので、Q を含まない弧は小さい弧 AB です。その中心角142°を半分にします。

角 AQB = 142° / 2
角 AQB = 71°

P は小さい弧上にあります。P を含まない大きい弧に対応する中心角は、円を一周する角から142°を引いた角です。

大きい弧に対応する中心角 = 360° - 142°
                         = 218°
角 APB = 218° / 2
角 APB = 109°

答えは角 APB = 109°、角 AQB = 71°です。P と Q は弦 AB の反対側ですから、109° + 71° = 180°という条件にも戻ります。また、それぞれを2倍すると218°、142°で、指定された小さい方の中心角に一致します。

小さい弧上の頂点が小さい角を作ると覚えると、ここで逆になります。小さい弧上の頂点から見えるのは、頂点を含まない大きい弧です。角の大きさを選ぶ前に、見込む弧を指でなぞると判断できます。

発展例題：文字式で位置の条件まで調べる

円周上に異なる4点 A、B、P、Q があり、P と Q は直線 AB の反対側にあります。角 APB = (3x + 15)°、角 AQB = (5x − 11)°です。x と2つの角を求め、角度は度で答えてください。

反対側の円周角は補角です。角の式を足して180°と置きます。

(3x + 15) + (5x - 11) = 180
8x + 4 = 180
8x = 176
x = 22

それぞれの角に代入します。

角 APB = (3・22 + 15)°
       = 81°
角 AQB = (5・22 - 11)°
       = 99°

答えは x = 22、角 APB = 81°、角 AQB = 99°です。元の式に戻すと81°と99°になり、和は180°です。どちらも0°より大きく180°より小さいので、退化しない円周角として位置条件に矛盾しません。対応する中心角は162°と198°で、合わせて360°です。

同じ式でも P と Q が同じ側という条件なら、今度は2つの角を等しくします。その場合は 3x + 15 = 5x − 11 から x = 13、両角は54°です。この比較は、立式を決めるのが文字式の見かけではなく、頂点の位置であることを示します。

間違いを弧から直す

基本例題で、同じ弦 AB を見込むから角 ARB = 64°とする答えを考えます。図3のように、P と R は弦の反対側です。弦の端点は共通でも、P の見込む弧と R の見込む弧は別です。

誤りの原因は、同じ弦という条件だけで同じ弧まで決めてしまったことです。図3で P を含まない弧と R を含まない弧を別々になぞれば、2つの中心角は一周分になります。したがって円周角は補角で、正しくは180° − 64° = 116°です。

誤答を代入して検査する方法もあります。64° + 64° = 128°で、反対側の角の和180°に届きません。ただし両角が90°の場合は等しくも補角にもなるので、数値が等しいことだけから同じ側と判断することはできません。その場合は AB が直径であることを、弧と中心角から確かめます。

中心角を半分にする際の失敗も似ています。頂点が小さい弧上にあるのに、小さい中心角を選ぶと、頂点を含む弧を見込んだことになります。半分にする前に、頂点を含まない弧と中心角を結び直します。図が傾いていて上下が入れ替わっても、弦を含む直線のどちら側かで判定できます。

角の記号にも注意します。角 APB の真ん中の P が頂点で、両端の A、B が弧の端点です。角 PAB なら頂点は A に変わり、見込む弧も PB になります。記号に同じ3文字が並んでいても、順序を無視して同じ角とは扱えません。式を立てる前に頂点と弦の端点を分けて読みます。

練習：弧を指定してから計算する

次の各問で点はすべて指定された円の円周上にあり、同じ記号は同じ点を表します。角度は度で答えてください。

異なる4点 A、B、C、D について、C と D は直線 AB の同じ側にあり、角 ACB = 37°です。角 ADB を求めてください。
異なる4点 E、F、G、H について、G と H は直線 EF の反対側にあり、角 EGF = 123°です。角 EHF を求めてください。
中心 O の円で小さい中心角 MON は96°です。P は小さい弧 MN 上、Q は大きい弧 MN 上にあり、端点とは異なります。角 MPN と角 MQN を求めてください。
異なる4点 A、B、C、D のうち C、D は直線 AB の反対側です。角 ACB = (2t + 8)°、角 ADB = (4t − 2)°のとき、t と両角を求めてください。
円の直径 XY の端点と異なる円周上の点 U、V が直線 XY の反対側にあります。角 XUY と角 XVY を求め、両角が等しい理由を弧で説明してください。

練習の答えと道筋

答えは37°です。C、D は同じ側なので、どちらも反対側の同じ弧 AB を見込みます。対応する中心角はどちらも74°で、半分に戻すと指定の37°と答えの37°です。反対側なら補角になるため、側を最初に確かめます。
答えは57°です。反対側の角は補角なので、180° − 123° = 57°です。元の角と足すと123° + 57° = 180°です。対応する中心角は246°と114°で、和が360°になることでも弧の組を確認できます。
答えは角 MPN = 132°、角 MQN = 48°です。P が見込む大きい弧の中心角は360° − 96° = 264°、その半分は132°です。Q が見込む小さい弧の中心角は96°なので、その半分は48°です。両角の和は180°で、それぞれの2倍は264°と96°に戻ります。
答えは t = 29、角 ACB = 66°、角 ADB = 114°です。反対側なので (2t + 8) + (4t − 2) = 180、整理すると6t + 6 = 180、6t = 174、t = 29です。元の式に代入すると2・29 + 8 = 66、4・29 − 2 = 114です。和は180°で、両角とも0°と180°の間にあります。
答えはどちらも90°です。直径の両端が分ける2つの弧はいずれも半円で、各中心角は180°です。U と V は反対側なので別の半円を見込みますが、その中心角が等しいため両角も等しくなります。90° + 90° = 180°となり、反対側の条件にも合います。

手元に残す要点

円周角が見込む弧は、両辺の端点を結び、頂点を含まない方です。
同じ弦の同じ側では等角、反対側では補角です。
対応する中心角は大きい方も含めて選び、円周角の2倍です。
直径なら両側の円周角はいずれも90°です。

頂点を移したときに答えが変わる理由を説明できなければ、まず弦の両側と2つの弧を色分けしてみます。個別指導で確かめるなら、角の数値を計算する前に、どの弧を見込むかを本人の言葉で指してもらいます。その後、中心角の和が360°になる理由と、端点を頂点にできない理由を尋ねると、位置条件の理解を確かめられます。弧を選ぶ順序が整えば、等角と補角の分岐も追えます。